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江苏专用2022高考数学二轮复习专题一第5讲导数与实际应用及不等式问题提升训练理
江苏专用2022高考数学二轮复习专题一第5讲导数与实际应用及不等式问题提升训练理
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第5讲 导数与实际应用及不等式问题一、填空题1.已知函数f(x)=x3-2x2+3m,x∈[0,+∞),若f(x)+5≥0恒成立,则实数m的取值范围是________.解析 f′(x)=x2-4x,由f′(x)>0,得x>4或x<0.∴f(x)在(0,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,∴当x∈[0,+∞)时,f(x)min=f(4).∴要使f(x)+5≥0恒成立,只需f(4)+5≥0恒成立即可,代入解之得m≥.答案 2.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是________.解析 ∵2x(x-a)<1,∴a>x-.令f(x)=x-,∴f′(x)=1+2-xln2>0.∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)>f(0)=0-1=-1,∴a的取值范围为(-1,+∞).答案 (-1,+∞)3.(2022·江苏卷)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.解析 作出二次函数f(x)的图象,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,则有即解得-<m<0.答案 4.(2022·南师附中调研)已知函数f(x)=x3-x2-3x+,直线l:9x+2y+c=0,若当x∈[-2,2]时,函数y=f(x)的图象恒在直线l下方,则c的取值范围是________.7\n解析 根据题意知x3-x2-3x+<-x-在x∈[-2,2]上恒成立,则->x3-x2+x+,设g(x)=x3-x2+x+,则g′(x)=x2-2x+,则g′(x)>0恒成立,所以g(x)在[-2,2]上单调递增,所以g(x)max=g(2)=3,则c<-6.答案 (-∞,-6)5.如图,某飞器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为______________.解析 设所求解析式为y=ax3+bx2+cx+d(a≠0),∵函数图象过(0,0)点,∴d=0.又图象过(-5,2),(5,-2),∴函数为奇函数.∴b=0,代入可得-125a-5c=2,①又y′=3ax2+c,当x=-5时,y′=75a+c=0,②由①②得a=,c=,∴函数解析式为y=x3-x.答案 y=x3-x6.(2022·全国Ⅱ卷改编)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________.解析 因为f(x)(x∈R)为奇函数,f(-1)=0,所以f(1)=-f(-1)=0.当x≠0时,令g(x)=,则g(x)为偶函数,且g(1)=g(-1)=0.则当x>0时,g′(x)=7\n′=<0,故g(x)在(0,+∞)上为减函数,在(-∞,0)上为增函数.所以在(0,+∞)上,当0<x<1时,g(x)>g(1)=0⇔>0⇔f(x)>0;在(-∞,0)上,当x<-1时,g(x)<g(-1)=0⇔<0⇔f(x)>0.综上,得使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).答案 (-∞,-1)∪(0,1)7.(2022·苏、锡、常、镇模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为________.解析 若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;当x>0时,即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥-.令g(x)=-,则g′(x)=,所以g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.因此g(x)max=g=4,从而a≥4.当x<0时,即x∈[-1,0)时,同理a≤-.g(x)在区间[-1,0)上单调递增,所以g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,综上可知a=4.答案 48.(2022·青岛模拟)已知函数f(x)=x-,g(x)=x2-2ax+4,若对于任意x1∈[0,1],存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是________.解析 由于f′(x)=1+>0,因此函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以x∈[0,1]时,f(x)min=f(0)=-1.根据题意可知存在x∈[1,2],使得g(x)=x2-2ax+4≤-1,即x2-2ax+5≤0,即a≥+能成立,令h(x)=+,则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立,只需使a≥h(x)min,又函数h(x)=+在x7\n∈[1,2]上单调递减,所以h(x)min=h(2)=,故只需a≥.答案 二、解答题9.(2022·天津卷改编)已知函数f(x)=nx-xn,x∈R,其中n∈N*,n≥2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x).(1)解 由f(x)=nx-xn,可得f′(x)=n-nxn-1=n(1-xn-1).其中n∈N*,且n≥2,下面分两种情况讨论:①当n为奇数时.令f′(x)=0,解得x=1,或x=-1.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f′(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘所以,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)内单调递增.②当n为偶数时.当f′(x)>0,即x<1时,函数f(x)单调递增;当f′(x)<0,即x>1时,函数f(x)单调递减;所以,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.(2)证明 设点P的坐标为(x0,0),则x0=n,f′(x0)=n-n2.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x-x0),即g(x)=f′(x0)(x-x0).令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0),则F′(x)=f′(x)-f′(x0).由于f′(x)=-nxn-1+n在(0,+∞)上单调递减,故F′(x)在(0,+∞)上单调递减,又因为F′(x0)=0,所以当x∈(0,x0)时,F′(x)>0,当x∈(x0,+∞)时,F′(x)<0,7\n所以F(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,所以对于任意的正实数x,都有F(x)≤F(x0)=0,即对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x).10.(2022·苏州调研)根据统计资料,某工艺品厂的日产量最多不超过20件,每日产品废品率p与日产量x(件)之间近似地满足关系式p=(日产品废品率=×100%)已知每生产一件正品可赢利2千元,而生产一件废品则亏损1千元(该车间的日利润y=日正品赢利额-日废品亏损额).(1)将该车间日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数;(2)当该车间的日产量为多少件时,日利润最大?最大日利润是几千元?解 (1)由题意可知y=2x(1-p)-px=(2)考虑函数f(x)=当1≤x≤9时,f′(x)=2-,令f′(x)=0,得x=15-3.当1≤x<15-3时,f′(x)>0,函数f(x)在[1,15-3)上单调递增;当15-3<x≤9时,f′(x)<0,函数f(x)在(15-3,9]上单调递减.所以当x=15-3时,f(x)取得极大值,也是最大值,又x是整数,f(8)=,f(9)=9,7\n所以当x=8时,f(x)有最大值.当10≤x≤20时,f′(x)=-=≤0,所以函数f(x)在[10,20]上单调递减,所以当x=10时,f(x)取得极大值,也是最大值.由于>,所以当该车间的日产量为10件时,日利润最大.故当该车间的日产量为10件时,日利润最大,最大日利润是千元.11.已知函数f(x)=(m,n∈R)在x=1处取得极值2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=lnx+,若对任意的x1∈R,总存在x2∈[1,e],使得g(x2)≤f(x1)+,求实数a的取值范围.解 (1)f′(x)===,由于f(x)在x=1处取得极值2,故f′(1)=0,f(1)=2,即解得经检验,此时f(x)在x=1处取得极值.故f(x)=.(2)由(1)知f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x).故f(x)为奇函数,f(0)=0.当x>0时,f(x)>0,f(x)=≤2,当且仅当x=1时取“=”.故f(x)的值域为[-2,2],7\n从而f(x1)+≥.依题意有g(x)min≤,x∈[1,e],g′(x)=-=,①当a≤1时,g′(x)≥0,函数g(x)在[1,e]上单调递增,其最小值为g(1)=a≤1<,符合题意;②当1<a<e时,函数g(x)在[1,a]上单调递减,在[a,e]上单调递增,所以函数g(x)的最小值为g(a)=lna+1.由lna+1≤,得0<a≤,从而知当1<a≤时,符合题意;③当a≥e时,显然函数g(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为g(e)=1+≥2>,不符合题意.综上所述,a的取值范围为(-∞,].7
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:25:04
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文章作者:U-336598
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