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江苏专用2022高考数学二轮复习专题七第4讲不等式选讲提升训练理选做部分

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第4讲 不等式选讲1.(2022·江苏卷)已知实数x,y满足:|x+y|<,|2x-y|<,求证:|y|<.证明 因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|,由题设知,|x+y|<,|2x-y|<,从而3|y|<+=,所以|y|<.2.(2022·江苏卷)解不等式:x+|2x-1|<3.解 原不等式可化为或解得≤x<或-2<x<.所以不等式的解集是.3.(1)已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2;(2)已知a,b,c都是正数,求证:≥abc.证明 (1)(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2,因为a,b都是正数,所以a+b>0,又因为a≠b,所以(a-b)2>0,于是(a+b)(a-b)2>0,即(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,所以a3+b3>a2b+ab2.(2)因为b2+c2≥2bc,a2≥0,所以a2(b2+c2)≥2a2bc.①同理b2(a2+c2)≥2ab2c.②c2(a2+b2)≥2abc2.③①②③相加得2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2a2bc+2ab2c+2abc2,从而a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).由a,b,c都是正数,得a+b+c>0,因此≥abc.4.已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.(1)解 因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,3\n所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明 由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r2≥3.5.设函数f(x)=2|x-1|+|x+2|.(1)求不等式f(x)≥4的解集;(2)若不等式f(x)<|m-2|的解集是非空集合,求实数m的取值范围.解 (1)f(x)=令f(x)≥4,则或或解得x≤0或x≥,所以不等式f(x)≥4的解集是.(2)f(x)在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,所以f(x)≥f(1)=3.由于不等式f(x)<|m-2|的解集是非空集合,所以|m-2|>3,解得m<-1或m>5,即实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(5,+∞).6.(2022·全国Ⅱ卷)设a、b、c、d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则+>+;(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明 (1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+>+.(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+>+.②若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd,于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.3\n因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.3

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发布时间:2022-08-25 23:25:02 页数:3
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文章作者:U-336598

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