江苏专用2022高考数学二轮复习专题一第4讲导数与函数图象的切线及函数零点问题提升训练理

第4讲　导数与函数图象的切线及函数零点问题一、填空题1．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析　易知点(－1，－1)在曲线上，且y′＝＝，所以切线斜率k＝y′|x＝－1＝＝2.由点斜式得切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.答案　2x－y＋1＝02．若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b的值为________．解析　∵f′(x)＝－asinx，∴f′(0)＝0.又g′(x)＝2x＋b，∴g′(0)＝b，∴b＝0.又g(0)＝1＝m，∴f(0)＝a＝m＝1，∴a＋b＝1.答案　13．(2022·邯郸模拟)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值为________．解析　∵y′＝3x2＋a.∴y′|x＝1＝3＋a＝k，又3＝k＋1，∴k＝2，∴a＝－1.又3＝1＋a＋b，∴b＝3，∴2a＋b＝－2＋3＝1.答案　14．(2022·武汉模拟)曲线y＝xlnx在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为________．解析　依题意得y′＝1＋lnx，y′|x＝e＝1＋lne＝2，所以－×2＝－1，a＝2.答案　25．(2022·扬州模拟)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．解析　函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex与y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数5\ng(x)＝2x－ex与y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．答案　(－∞，2ln2－2]6．已知f(x)＝x3＋f′x2－x，则f(x)的图象在点处的切线斜率是________．解析　f′(x)＝3x2＋2f′x－1，令x＝，可得f′＝3×＋2f′×－1，解得f′＝－1，所以f(x)的图象在点处的切线斜率是－1.答案　－17．(2022·南京、盐城模拟)关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．解析　由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以解得－4＜a＜0.答案　(－4，0)8．(2022·安徽卷)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号)．①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.解析　令f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a<0时，由于选项当中a＝－3，∴只考虑a＝－3这一种情况，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要使f(x)＝0仅有一个实根，则需f(x)极大<0或f(x)极小>0，∴b<－2或b>2，①③正确，所有正确条件为①③④⑤.答案　①③④⑤二、解答题9．已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．(1)求a；(2)求函数f(x)的单调区间；5\n(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围．解　f(x)的定义域为(－1，＋∞)．(1)f′(x)＝＋2x－10，又f′(3)＝＋6－10＝0，∴a＝16.经检验此时x＝3为f(x)的极值点，故a＝16.(2)由(1)知f′(x)＝.当－1<x<1或x>3时，f′(x)>0；当1<x<3时，f′(x)<0.∴f(x)的单调增区间为(－1，1)，(3，＋∞)，单调减区间为(1，3)．(3)由(2)知，f(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0.所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln2－9，极小值为f(3)＝32ln2－21.因为f(16)>162－10×16>16ln2－9＝f(1)，f(e－2－1)<－32＋11＝－21<f(3)，所以根据函数f(x)的大致图象可判断，在f(x)的三个单调区间(－1，1)，(1，3)，(3，＋∞)内，直线y＝b与y＝f(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)<b<f(1)．因此b的取值范围为(32ln2－21，16ln2－9)．10．(2022·南师附中模拟)已知函数f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R)．(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在上有两个零点，求实数m的取值范围．解　(1)当a＝2时，f(x)＝2lnx－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率k＝f′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)g(x)＝2lnx－x2＋m，则g′(x)＝－2x＝.因为x∈，所以当g′(x)＝0时，x＝1.当＜x＜1时，g′(x)＞0；当1＜x＜e时，g′(x)＜0.5\n故g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝m－1.又g＝m－2－，g(e)＝m＋2－e2，g(e)－g＝4－e2＋＜0，则g(e)＜g，所以g(x)在上的最小值是g(e)．g(x)在上有两个零点的条件是解得1＜m≤2＋，所以实数m的取值范围是.11．(2022·江苏高考命题原创卷)已知函数f(x)＝x2－alnx－1，函数F(x)＝.(1)如果函数f(x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，求实数a的取值范围；(2)当a＝2时，你认为函数y＝的图象与y＝F(x)的图象有多少个公共点？请证明你的结论．解　(1)∵f(x)＝x2－alnx－1的定义域为(0，＋∞)，函数f(x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，∴f′(x)＝2x－＞0在(0，＋∞)上恒成立．∴a＜2x2在(0，＋∞)上恒成立，∵y＝2x2＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴a≤0.∴所求的a的取值范围为(－∞，0]．(2)当a＝2时，函数y＝的图象与y＝F(x)的图象没有公共点．当a＝2时，y＝＝，它的定义域为{x|x＞0且x≠1}，F(x)的定义域为[0，＋∞)．当x＞0且x≠1时，由＝F(x)得x2－2lnx－x＋2－2＝0.设h(x)＝x2－2lnx－x＋2－2，则h′(x)＝2x－－1＋＝5\n.∴当0＜x＜1时，h′(x)＜0，此时，h(x)单调递减；当x＞1时，h′(x)＞0，此时，h(x)单调递增．∴当x＞0且x≠1时，h(x)＞h(1)＝0，即h(x)＝0无实数根．∴当a＝2，x＞0且x≠1时，＝F(x)无实数根．∴当a＝2时，函数y＝的图象与y＝F(x)的图象没有公共点．5