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江苏专用2022高考数学二轮复习专题三第2讲数列的综合应用提升训练理
江苏专用2022高考数学二轮复习专题三第2讲数列的综合应用提升训练理
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第2讲 数列的综合应用一、填空题1.(2022·全国Ⅱ卷)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=____________.解析 由题意,得S1=a1=-1,又由an+1=SnSn+1,得Sn+1-Sn=SnSn+1,所以Sn≠0,所以=1,即-=-1,故数列是以=-1为首项,-1为公差的等差数列,得=-1-(n-1)=-n,所以Sn=-.答案 -2.数列{an}的通项公式an=,若{an}的前n项和为24,则n为________.解析 an==-(-),前n项和Sn=-[(1-)+(-)+…+(-)]=-1=24,故n=624.答案 6243.(2022·江苏卷改编)各项均为正数的等比数列{an}满足a1a7=4,a6=8,若函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10的导数为f′(x),则f′=________.解析 因为各项均为正数的等比数列{an}满足a1a7=4,a6=8,所以a4=2,q=2,故an=2n-3,又f′(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9,所以f′=2-2+2×2-2+3×2-2+…+10×2-2=2-2×=.答案 4.在等差数列{an}中,a1=142,d=-2,从第一项起,每隔两项取出一项,构成新的数列{bn},则此数列的前n项和Sn取得最大值时n的值是________.解析 因为从第一项起,每隔两项取出一项,构成数列{bn},所以新数列的首项为b1=a1=142,公差为d′=-2×3=-6,则bn=142+(n-1)(-6).令bn≥0,解得n≤24,因为n∈N*,所以数列{bn}的前24项都为正数项,从25项开始为负数项.因此新数列{bn}的前24项和取得最大值.答案 245.在正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5n,则数列{an}的通项公式为________.6\n解析 在递推公式an+1=2an+3×5n的两边同时除以5n+1,得=×+,①令=bn,则①式变为bn+1=bn+,即bn+1-1=(bn-1),所以数列{bn-1}是等比数列,其首项为b1-1=-1=-,公比为.所以bn-1=×,即bn=1-×=,故an=5n-3×2n-1.答案 an=5n-3×2n-16.(2022·苏、锡、常、镇模拟)已知各项都为正的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值为________.解析 由a7=a6+2a5,得a1q6=a1q5+2a1q4,整理有q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾,舍去),又由=4a1,得aman=16a,即a2m+n-2=16a,即有m+n-2=4,亦即m+n=6,那么+=(m+n)=≥=,当且仅当=,m+n=6,即n=2m=4时取得最小值.答案 7.(2022·南通调研)设Sn为数列{an}的前n项之和,若不等式a+≥λa对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立,则λ的最大值为________.解析 a1=0时,不等式恒成立;当a1≠0时,λ≤+,将an=a1+(n-1)d,Sn=na1+代入上式,并化简得:λ≤+,所以λ≤,即λmax=.答案 8.(2022·南京、盐城模拟)已知等比数列{an}的首项为,公比为-,其前n项和为Sn,若A≤Sn-≤B对n∈N*恒成立,则B-A的最小值为________.6\n解析 依题意得Sn==1-,当n为奇数时,Sn=1+∈;当n为偶数时,Sn=1-∈.由函数y=x-在(0,+∞)上是增函数得Sn-的取值范围是∪,因此有A≤-,B≥,B-A≥+=,即B-A的最小值是.答案 二、解答题9.数列{an}满足an=2an-1+2n+1(n∈N*,n≥2),a3=27.(1)求a1,a2的值;(2)是否存在一个实数t,使得bn=(an+t)(n∈N*),且数列{bn}为等差数列?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由;(3)求数列{an}的前n项和Sn.解 (1)由a3=27,得27=2a2+23+1,∴a2=9,∵9=2a1+22+1,∴a1=2.(2)假设存在实数t,使得{bn}为等差数列,则2bn=bn-1+bn+1,(n≥2且n∈N*)∴2×(an+t)=(an-1+t)+(an+1+t),∴4an=4an-1+an+1+t,∴4an=4×+2an+2n+1+1+t,∴t=1.即存在实数t=1,使得{bn}为等差数列.(3)由(1),(2)得b1=,b2=,∴bn=n+,∴an=·2n-1=(2n+1)2n-1-1,Sn=(3×20-1)+(5×21-1)+(7×22-1)+…+[(2n+1)×2n-1-1]=3+5×2+7×22+…+(2n+1)×2n-1-n,①∴2Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n-2n,②由①-②得-Sn=3+2×2+2×22+2×23+…+2×2n-1-(2n+1)×2n+n=1+2×-(2n+1)×2n+n=(1-2n)×2n+n-1,6\n∴Sn=(2n-1)×2n-n+1.10.(2022·江苏卷)设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),Sn是其前n项的和.记bn=,n∈N*,其中c为实数.(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比数列,证明:Snk=n2Sk(k,n∈N*);(2)若{bn}是等差数列,证明:c=0.证明 由题设,Sn=na+d.(1)由c=0,得bn==a+d.又b1,b2,b4成等比数列,所以b=b1b4,即=a,化简得d2-2ad=0.因为d≠0,所以d=2a.因此,对于所有的m∈N*,有Sm=m2a.从而对于所有的k,n∈N*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk.(2)设数列{bn}的公差为d1,则bn=b1+(n-1)d1,即=b1+(n-1)d1,n∈N*,代入Sn的表达式,整理得,对于所有的n∈N*,有n3+(b1-d1-a+d)n2+cd1n=c(d1-b1).令A=d1-d,B=b1-d1-a+d,D=c(d1-b1),则对于所有的n∈N*,有An3+Bn2+cd1n=D.(*)在(*)式中分别取n=1,2,3,4,得A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,从而有由②,③得A=0,cd1=-5B,代入方程①,得B=0,从而cd1=0.即d1-d=0,b1-d1-a+d=0,cd1=0.若d1=0,则由d1-d=0,得d=0,与题设矛盾,所以d1≠0.又cd1=0,所以c=0.11.(2022·南京、盐城模拟)已知数列{an}满足a1=a(a>0,a∈N*),a1+a2+…+an-pan+1=0(p≠0,p≠-1,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式an;(2)若对每一个正整数k,若将ak+1,ak+2,ak+3按从小到大的顺序排列后,此三项均6\n能构成等差数列,且公差为dk.①求p的值及对应的数列{dk}.②记Sk为数列{dk}的前k项和,问是否存在a,使得Sk<30对任意正整数k恒成立?若存在,求出a的最大值;若不存在,请说明理由.解 (1)因为a1+a2+…+an-pan+1=0,所以n≥2时,a1+a2+…+an-1-pan=0,两式相减,得=(n≥2),故数列{an}从第二项起是公比为的等比数列,又当n=1时,a1-pa2=0,解得a2=,从而an=(2)①由(1)得ak+1=,ak+2=,ak+3=,若ak+1为等差中项,则2ak+1=ak+2+ak+3,即=1或=-2,解得p=-;此时ak+1=-3a(-2)k-1,ak+2=-3a(-2)k,所以dk=|ak+1-ak+2|=9a·2k-1,若ak+2为等差中项,则2ak+2=ak+1+ak+3,即=1,此时无解;若ak+3为等差中项,则2ak+3=ak+1+ak+2,即=1或=-,解得p=-,此时ak+1=-,ak+3=-,所以dk=|ak+1-ak+3|=·,综上所述,p=-,dk=9a·2k-1或p=-,dk=·.②当p=-时,Sk=9a(2k-1).则由Sk<30,得a<,当k≥3时,<1,所以必定有a<1,所以不存在这样的最大正整数.6\n当p=-时,Sk=,则由Sk<30,得a<,因为>,所以a=13满足Sk<30恒成立;但当a=14时,存在k=5,使得a>,即Sk<30,所以此时满足题意的最大正整数a=13.6
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所属:
高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:25:00
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文章作者:U-336598
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