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浙江专用2022高考数学二轮复习专题3.2数列求和及数列的综合应用精练理

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第2讲 数列求和及数列的综合应用(建议用时:60分钟)一、选择题1.(2022·福建卷)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于(  ).A.8B.10C.12D.14解析 利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解.由题意知a1=2,由S3=3a1+×d=12,解得d=2,所以a6=a1+5d=2+5×2=12,故选C.答案 C2.数列{an}的通项公式an=,若{an}的前n项和为24,则n为(  ).A.25B.576C.624D.625解析 an==-(-),前n项和Sn=-[(1-)+(-)+…+(-)]=-1=24,故n=624.故选C.答案 C3.(2022·浙江卷)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则(  ).A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>0解析 ∵a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)·(a1+7d),整理得a1=-d,∴a1d=-d2<0,又S4=4a1+d=-,∴dS4=-<0,故选B.答案 B4.设{an}是公差不为0的等差数列,a1=2且a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前n项和Sn=(  ).A.+B.+6\nC.+D.n2+n解析 设等差数列{an}的公差为d,由已知得a=a1a6,即(2+2d)2=2(2+5d),解得d=,故Sn=2n+×=+.答案 A5.(2022·北京卷)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是(  ).A.若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a2>D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0解析 A,B选项易举反例,C中若0<a1<a2,∴a3>a2>a1>0,∵a1+a3>2,又2a2=a1+a3,∴2a2>2,即a2>成立.答案 C6.Sn是等比数列{an}的前n项和,a1=,9S3=S6,设Tn=a1a2a3…an,则使Tn取最小值的n值为(  ).A.3B.4C.5D.6解析 设等比数列的公比为q,故由9S3=S6,得9×=,解得q=2,故=an=×2n-1,易得当n≤5时,<1,即Tn<Tn-1;当n≥6时,Tn>Tn-1,据此数列单调性可得T5为最小值.答案 C7.已知数列{an}的通项公式是an=-n2+12n-32,其前n项和是Sn,对任意的m,n∈N*且m<n,则Sn-Sm的最大值是(  ).A.-21B.4C.8D.10解析 由于an=-(n-4)(n-8),故当n<4时,an<0,Sn随n的增加而减小,S3=S4,当4<n<8时,an>0,Sn随n的增加而增大,S7=S8,当n>8时,an<0,Sn随n的增加而减小,故Sn-Sm≤S8-S4=a5+a6+a7+a8=a5+a6+a7=10.答案 D二、填空题6\n8.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=________.解析 由已知得②-①得a1q2+a1q3=3a1q(q2-1),即2q2-q-3=0.解得q=或q=-1(舍).答案 9.在正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5n,则数列{an}的通项公式为________.解析 在递推公式an+1=2an+3×5n的两边同时除以5n+1,得=×+,①令=bn,则①式变为bn+1=bn+,即bn+1-1=(bn-1),所以数列{bn-1}是等比数列,其首项为b1-1=-1=-,公比为.所以bn-1=×n-1,即bn=1-×n-1=,故an=5n-3×2n-1.答案 an=5n-3×2n-110.(2022·江苏卷)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列前10项的和为________.解析 ∵a1=1,an+1-an=n+1,∴a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n,将以上n-1个式子相加得an-a1=2+3+…+n=,即an=,令bn=,故bn==2,故S10=b1+b2+…+b10=2=.答案 11.设y=f(x)是一次函数,f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)=________.解析 设f(x)=kx+b(k≠0),又f(0)=1,所以b=1,即f(x)=kx+1(k≠0).由f(1),f(4),f(13)成等比数列,得f2(4)=f(1)·f(13),即(4k+1)2=(k+1)(13k+1).因为k≠0,所以k=2,所以f(x)=2x+1,所以f(2)+f(4)+…+f(2n)=5+9+…+4n+1==n(2n+3).答案 n(2n+3)6\n12.(2022·新课标全国Ⅱ卷)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=____________.解析 由题意,得S1=a1=-1,又由an+1=SnSn+1,得Sn+1-Sn=SnSn+1,所以Sn≠0,所以=1,即-=-1,故数列是以=-1为首项,-1为公差的等差数列,得=-1-(n-1)=-n,所以Sn=-.答案 -三、解答题13.(2022·山东卷)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.(1)求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.解 (1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,当n>1时,2Sn-1=3n-1+3,此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,即an=3n-1,所以an=(2)因为anbn=log3an,所以b1=,当n>1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n.所以T1=b1=;当n>1时,Tn=b1+b2+b3+…+bn=+(1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n),所以3Tn=1+(1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n),两式相减,得2Tn=+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n=+-(n-1)×31-n=-,所以Tn=-,经检验,n=1时也适合.6\n综上可得Tn=-.14.(2022·四川卷)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列的前n项和Tn.解 (1)由已知,b7=2a7,b8=2a8=4b7,有2a8=4×2a7=2a7+2.解得d=a8-a7=2.所以Sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.(2)函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-2a2=(2a2ln2)(x-a2),它在x轴上的截距为a2-.由题意知,a2-=2-,解得a2=2.所以d=a2-a1=1,从而an=n,bn=2n.所以Tn=+++…++,2Tn=+++…+.因此,2Tn-Tn=1+++…+-=2--=.所以Tn=.15.(2022·浙江卷)已知数列{an}满足a1=且an+1=an-a(n∈N*).(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{a}的前n项和为Sn,证明:≤≤(n∈N*).6\n解 (1)由题意得an+1-an=-a≤0,即an+1≤an,故an≤.由an=(1-an-1)an-1得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0.由0<an≤得==∈[1,2],即1≤≤2.(2)由题意得a=an-an+1,所以Sn=a1-an+1①由-=和1≤≤2得1≤-≤2,所以n≤-≤2n,因此≤an+1≤(n∈N*).②由①②得≤≤(n∈N*).6

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发布时间:2022-08-25 23:15:10 页数:6
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文章作者:U-336598

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