江苏专用2022高考数学二轮复习专题五第2讲圆锥曲线的基本问题提升训练理

第2讲　圆锥曲线的基本问题一、填空题1．(2022·南通·泰州调研)双曲线－＝1(m>0)的离心率为，则m等于________．解析　由题意得c＝，所以＝，解得m＝9.答案　92．(2022·安徽卷改编)双曲线－x2＝1的渐近线方程为________．解析　焦点在y轴上的渐近线方程为y＝±x＝±2x.答案　y＝±2x3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为________．解析　由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，即c＝1，又e＝＝，可得a＝，结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－y2＝1.答案　5x2－y2＝14．(2022·湖南卷)设F是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．解析　不妨设F(c，0)，则由条件知P(－c，±2b)，代入－＝1得＝5，∴e＝.答案　5．(2022·江苏五市模拟)已知椭圆＋＝1(0＜m＜9)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆与A，B两点，若AF2＋BF2的最大值为10，则m的值为________．解析　已知椭圆＋＝1(0＜m＜9)中，a2＝9，b2＝m.AF2＋BF2＝4a－AB≤10，∴AB≥2，ABmin＝＝＝2，解得m＝3.5\n答案　36．(2022·新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．解析　直线AB的斜率k＝＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以①－②得＝－·.又x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以k＝－×，所以＝，③又a2－b2＝c2＝9，④由③④得a2＝18，b2＝9.故椭圆E的方程为＋＝1.答案　＋＝17．(2022·天津卷改编)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝________．解析　因为双曲线的离心率e＝＝2，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，与抛物线的准线x＝－相交于A，B，所以△AOB的面积为××p＝，又p>0，所以p＝2.答案　28．(2022·青岛模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________．解析　∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，5\n∴圆心为C(3，0)．又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴＝2，∴5b2＝4a2.①又∵－＝1的右焦点F2(，0)为圆心C(3，0)，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为－＝1.答案　－＝1二、解答题9．已知曲线C上的动点P(x，y)满足到定点A(－1，0)的距离与到定点B(1，0)的距离之比为.(1)求曲线C的方程；(2)过点M(1，2)的直线l与曲线C交于两点M、N，若MN＝4，求直线l的方程．解　(1)由题意得PA＝PB，故＝化简得：x2＋y2－6x＋1＝0(或(x－3)2＋y2＝8)即为所求．(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1.将x＝1代入方程x2＋y2－6x＋1＝0得y＝±2，所以MN＝4，满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx－k＋2，由圆心到直线的距离d＝2＝，解得k＝0，此时直线l的方程为y＝2.综上所述，满足题意的直线l的方程为x＝1或y＝2.10．(2022·安徽卷)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足BM＝2MA，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．5\n解　(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝，进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，从而有解得b＝3.所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.11．(2022·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．解　设椭圆的焦距为2c，则F1(－c，0)，F2(c，0)．(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.又BF2＝，故a＝.5\n因为点C在椭圆上，所以＋＝1.解得b2＝1.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)因为B(0，b)，F2(c，0)在直线AB上，所以直线AB的方程为＋＝1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以·＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝.因此e＝.5