【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 高考必会题型 专题三 函数与导数 第17练 存在与恒成立问题
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第17练 存在与恒成立问题题型一 不等式的恒成立问题例1 已知函数f(x)=ax-1-lnx,a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围.破题切入点 有关不等式的恒成立求参数范围的问题,通常采用的是将参数分离出来的方法.解 (1)在区间(0,+∞)上,f′(x)=a-=,当a≤0时,f′(x)<0恒成立,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减;当a>0时,令f′(x)=0得x=,在区间(0,)上,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,在区间(,+∞)上,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.综上所述:当a≤0时,f(x)的单调递减区间是(0,+∞),无单调递增区间;当a>0时,f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+∞).(2)因为函数f(x)在x=1处取得极值,所以f′(1)=0,解得a=1,经检验可知满足题意.由已知f(x)≥bx-2,即x-1-lnx≥bx-2,即1+-≥b对∀x∈(0,+∞)恒成立,令g(x)=1+-,则g′(x)=--=,易得g(x)在(0,e2]上单调递减,在[e2,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(e2)=1-,即b≤1-.题型二 存在性问题例2 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3.(1)求f(x)的解析式;(2)若过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.-9-\n破题切入点 (1)利用极值处导数为0及导数的几何意义求出f(x).(2)借助导数几何意义表示切线方程,然后分离参数,利用数形结合求m的范围.解 (1)f′(x)=3ax2+2bx+c.依题意⇒又f′(0)=-3,∴c=-3,∴a=1,∴f(x)=x3-3x.(2)设切点为(x0,x-3x0),∵f′(x)=3x2-3.∴f′(x0)=3x-3.∴切线方程为y-(x-3x0)=(3x-3)(x-x0).又切线过点A(2,m).∴m-(x-3x0)=(3x-3)(2-x0).∴m=-2x+6x-6.令g(x)=-2x3+6x2-6,则g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2),由g′(x)=0得x=0或x=2.g(x)极小值=g(0)=-6,g(x)极大值=g(2)=2.画出草图如图.∴当-6<m<2时,m=-2x3+6x2-6有三解.即可作曲线y=f(x)的三条切线.题型三 存在与恒成立的综合性问题例3 已知a>0,函数f(x)=lnx-ax2,x>0.(f(x)的图象连续不断)(1)求f(x)的单调区间;(2)当a=时,证明:存在x0∈(2,+∞),使f(x0)=f;(3)若存在均属于区间[1,3]的α,β,且β-α≥1,使f(α)=f(β),证明:≤α≤.破题切入点 考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性,解不等式函数的零点等基础知识,既有存在,又有恒成立问题.(1)解 f′(x)=-2ax=,x∈(0,+∞),令f′(x)=0,解得x=,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:xf′(x)+0-f(x)极大值所以f(x)的单调递增区间是,f(x)的单调递减区间是.-9-\n(2)证明 当a=时,f(x)=lnx-x2.由(1)知f(x)在(0,2)内单调递增,在(2,+∞)内单调递减.令g(x)=f(x)-f,由于f(x)在(0,2)内单调递增,故f(2)>f,即g(2)>0.取x′=e>2,则g(x′)=<0.所以存在x0∈(2,x′),使g(x0)=0,即存在x0∈(2,+∞),使f(x0)=f.(说明:x′的取法不唯一,只要满足x′>2,且g(x′)<0即可)(3)证明 由f(α)=f(β)及(1)的结论知α<<β,从而f(x)在[α,β]上的最小值为f(α).又由β-α≥1,α,β∈[1,3],知1≤α≤2≤β≤3.故即从而≤a≤.总结提高 (1)存在与恒成立两个热点词汇在高考中频繁出现,关键要把握两个词语的本质:存在即存在量词,“有的”意思;恒成立即全称量词,“任意的”意思.(2)解决这类问题的关键是转化与化归思想,转化为求解函数的最大值与最小值问题.(3)函数与方程思想的应用在求解参数范围中体现的淋漓尽致,将参数分离出来,另一侧设为函数,转化为求解另一侧函数的最大值和最小值问题.1.(2022·课标全国Ⅱ改编)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是________.答案 (-1,+∞)解析 ∵2x(x-a)<1,∴a>x-.令f(x)=x-,∴f′(x)=1+2-xln2>0.∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)>f(0)=0-1=-1,∴a的取值范围为(-1,+∞).2.已知函数f(x)=2ax3-3ax2+1,g(x)=-x+,若任意给定的x0∈[0,2],总存在两个不同的xi(i=1,2)∈[0,2],使得f(xi)=g(x0)成立,则实数a的取值范围是________.答案 (-∞,-1)解析 当a=0时,显然不成立;当a>0时,注意到f′(x)=6ax2-6ax=6ax(x-1),-9-\n即f(x)在[0,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数,又f(0)=1<=g(0),当x0=0时,结论不可能成立;进一步,可知a<0,此时g(x)在[0,2]上是增函数,且取值范围是[,-+],同时f(x)在0≤x≤1时,函数值从1增大到1-a,在1≤x≤2时,函数值从1-a减少到1+4a,所以“任意给定的x0∈[0,2],总存在两个不同的xi(i=1,2)∈[0,2],使得f(xi)=g(x0)成立”当且仅当即解得a<-1.3.(2022·课标全国Ⅱ改编)设函数f(x)=sin.若存在f(x)的极值点x0满足x+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是____________________.答案 (-∞,-2)∪(2,+∞)解析 ∵f(x)=sin的极值点即为函数图象中的最高点或最低点的横坐标,由三角函数的性质可知T==2m,∴x0=+km(k∈Z).假设不存在这样的x0,即对任意的x0都有x+[f(x0)]2≥m2,则(+km)2+3≥m2,整理得m2(k2+k-)+3≥0,即k2+k-≥-恒成立,因为y=k2+k-的最小值为-(当k=-1或0时取得),故-2≤m≤2,因此原存在性命题成立的条件是m>2或m<-2.4.(2022·山东改编)已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是________.①>;②ln(x2+1)>ln(y2+1);③sinx>siny;④x3>y3.答案 ④解析 因为0<a<1,ax<ay,所以x>y.采用赋值法判断,①中,当x=1,y=0时,<1,①不成立.②中,当x=0,y=-1时,ln1<ln2,②不成立.③中,当x=0,y=-π时,sinx=siny=0,③不成立.④中,因为函数y=x3在R上是增函数,故④正确.5.若函数f(x)=lnx-ax2-2x(a≠0)存在单调递减区间,则实数a的取值范围是________________.答案 -1<a<0或a>0解析 对函数f(x)求导,得f′(x)=-(x>0).-9-\n依题意,得f′(x)<0在(0,+∞)上有解,即ax2+2x-1>0在(0,+∞)上有解,∴Δ=4+4a>0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根,∴a>-1,又∵a≠0,∴-1<a<0或a>0.6.(2022·辽宁改编)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是________.答案 [-6,-2]解析 当x=0时,ax3-x2+4x+3≥0变为3≥0恒成立,即a∈R.当x∈(0,1]时,ax3≥x2-4x-3,a≥,∴a≥max.设φ(x)=,φ′(x)==-=->0,∴φ(x)在(0,1]上递增,φ(x)max=φ(1)=-6.∴a≥-6.当x∈[-2,0)时,a≤,∴a≤min.仍设φ(x)=,φ′(x)=-.当x∈[-2,-1)时,φ′(x)<0,当x∈(-1,0)时,φ′(x)>0.∴当x=-1时,φ(x)有极小值,即为最小值.而φ(x)min=φ(-1)==-2,∴a≤-2.综上知-6≤a≤-2.7.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为________.答案 4解析 若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;当x>0时,即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥-.即g(x)=-,则g′(x)=,-9-\n所以g(x)在区间(0,]上单调递增,在区间[,1]上单调递减,因此g(x)max=g()=4,从而a≥4.当x<0,即x∈[-1,0)时,同理a≤-.g(x)在区间[-1,0)上单调递增,所以g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,综上可知a=4.8.(2022·江苏)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.答案 (-,0)解析 作出二次函数f(x)的图象,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,则有即解得-<m<0.9.已知函数f(x)=x-,g(x)=x2-2ax+4,若对于任意x1∈[0,1],存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是__________.答案 解析 由于f′(x)=1+>0,因此函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以x∈[0,1]时,f(x)min=f(0)=-1.根据题意可知存在x∈[1,2],使得g(x)=x2-2ax+4≤-1,即x2-2ax+5≤0,即a≥+能成立,令h(x)=+,则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立,只需使a≥h(x)min,又函数h(x)=+在x∈[1,2]上单调递减,所以h(x)min=h(2)=,故只需a≥.10.(2022·浙江)已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a>0),若f(x)在[-1,1]上的最小值记为g(a).(1)求g(a);(2)证明:当x∈[-1,1]时,恒有f(x)≤g(a)+4.(1)解 因为a>0,-1≤x≤1.所以①当0<a<1时,若x∈[-1,a],则f(x)=x3-3x+3a,f′(x)=3x2-3<0,故f(x)在(-1,a)上是减函数;若x∈[a,1],则f(x)=x3+3x-3a,f′(x)=3x2+3>0,故f(x)在(a,1)上是增函数.-9-\n所以g(a)=f(a)=a3.②当a≥1时,有x≤a,则f(x)=x3-3x+3a,f′(x)=3x2-3<0,故f(x)在(-1,1)上是减函数,所以g(a)=f(1)=-2+3a.综上,g(a)=(2)证明 令h(x)=f(x)-g(a).①当0<a<1时,g(a)=a3.若x∈[a,1],则h(x)=x3+3x-3a-a3,h′(x)=3x2+3,所以h(x)在(a,1)上是增函数,所以,h(x)在[a,1]上的最大值是h(1)=4-3a-a3,且0<a<1,所以h(1)≤4.故f(x)≤g(a)+4.若x∈[-1,a],则h(x)=x3-3x+3a-a2,h′(x)=3x2-3,所以h(x)在(-1,a)上是减函数,所以,h(x)在[-1,a]上的最大值是h(-1)=2+3a-a3.令t(a)=2+3a-a3,则t′(a)=3-3a2>0,知t(a)在(0,1)上是增函数.所以,t(a)<t(1)=4,即h(-1)<4.故f(x)≤g(a)+4.②当a≥1时,g(a)=-2+3a,故h(x)=x3-3x+2,h′(x)=3x2-3,此时h(x)在(-1,1)上是减函数,因此h(x)在[-1,1]上的最大值是h(-1)=4.故f(x)≤g(a)+4.综上,当x∈[-1,1]时,恒有f(x)≤g(a)+4.11.已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.(1)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;(2)证明:(x-1)f(x)≥0.(1)解 f′(x)=+lnx-1=lnx+,xf′(x)=xlnx+1,而xf′(x)≤x2+ax+1(x>0)等价于lnx-x≤a.令g(x)=lnx-x,则g′(x)=-1.当0<x<1时,g′(x)>0;当x≥1时,g′(x)≤0,x=1是g(x)的最大值点,∴g(x)≤g(1)=-1.综上可知,a的取值范围是.(2)证明 由(1)知,g(x)≤g(1)=-1,即lnx-x+1≤0.当0<x<1时,f(x)=(x+1)lnx-x+1=xlnx+(lnx-x+1)<0,∴(x-1)f(x)>0;当x≥1时,f(x)=lnx+(xlnx-x+1)=lnx+x=lnx-x≥0.∴(x-1)f(x)≥0.-9-\n综上,在定义域内满足(x-1)f(x)≥0恒成立.12.(2022·陕西)设函数f(x)=lnx+,m∈R.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;(2)讨论函数g(x)=f′(x)-零点的个数;(3)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.解 (1)由题设,当m=e时,f(x)=lnx+,则f′(x)=,∴当x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减,当x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增,∴当x=e时,f(x)取得极小值f(e)=lne+=2,∴f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)=f′(x)-=--(x>0),令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).设φ(x)=-x3+x(x≥0),则φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减.∴x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点,∴φ(x)的最大值为φ(1)=.又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象(如图),可知①当m>时,函数g(x)无零点;②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;-9-\n当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点.(3)对任意的b>a>0,<1恒成立,等价于f(b)-b<f(a)-a恒成立.(*)设h(x)=f(x)-x=lnx+-x(x>0),∴(*)等价于h(x)在(0,+∞)上单调递减.由h′(x)=--1≤0在(0,+∞)上恒成立,得m≥-x2+x=-(x-)2+(x>0)恒成立,∴m≥(对m=,h′(x)=0仅在x=时成立),∴m的取值范围是[,+∞).-9-
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