【考前三个月】（江苏专用）2022高考数学 高考必会题型 专题三 函数与导数 第16练 导数的综合应用

第16练　导数的综合应用题型一　利用导数研究函数图象例1　下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝________.破题切入点　先求出函数f(x)的导函数，确定导函数图象，从而求出a的值．然后代入－1求得函数值．答案　或－解析　∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．若图象不过原点，则f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若图象过原点，则f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a>0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.题型二　利用导数研究函数的零点或方程的根例2　设函数f(x)＝x3－ax2－ax，g(x)＝2x2＋4x＋c.(1)试判断函数f(x)的零点个数；(2)若a＝－1，当x∈[－3,4]时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求c的取值范围．破题切入点　(1)对f(x)求导找出极值点、对a讨论看图象与x轴交点的个数．(2)结合两个函数的图象求解．解　(1)f(x)＝x3－ax2－ax＝x(x2－ax－a)，令f(x)＝0，得x＝0或x2－ax－a＝0.(*)显然方程(*)的根的判别式Δ＝(－a)2－4××(－a)＝a2＋a＝a(a＋)．当a<－或a>0时，Δ>0，方程(*)有两个非零实根，-9-\n此时函数f(x)有3个零点；当a＝－时，Δ＝0，方程(*)有两个相等的非零实根，此时函数f(x)有2个零点；当a＝0时，Δ＝0，方程(*)有两个相等的零实根，此时函数f(x)有1个零点；当－<a<0时，Δ<0，方程(*)没有实根，此时函数f(x)有1个零点．综上所述：当a<－或a>0时，函数f(x)有3个零点；当a＝－时，函数f(x)有2个零点；当－<a≤0时，函数f(x)只有1个零点．(2)设f(x)＝g(x)，则x3－ax2－ax＝2x2＋4x＋c，因为a＝－1，所以c＝x3－x2－3x.设F(x)＝x3－x2－3x，x∈[－3,4]，则F′(x)＝x2－2x－3，令F′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，F′(x)和F(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1，3)3(3，4)4F′(x)＋＋0－0＋＋F(x)－9－9－由此可知F(x)在[－3，－1]，[3,4]上是增函数，在[－1,3]上是减函数．当x＝－1时，F(x)取得极大值F(－1)＝；当x＝3时，F(x)取得极小值F(3)＝－9，而F(－3)＝－9，F(4)＝－.如果函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，则函数F(x)与y＝c的图象有两个公共点，所以－<c<或c＝－9.题型三　导数在实际问题中的应用例3　某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为-9-\n立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.破题切入点　考查圆柱及球的表面积与体积求法，函数关系式的建立及实际问题中定义域的求解，通过求导判断函数的单调性，从而确定函数的最值等问题．解　(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，故l＝＝－r＝(－r)．由于l≥2r，因此0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×(－r)×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－＝(r3－)，0<r≤2.由于c>3，所以c－2>0.当r3－＝0时，r＝.令＝m，则m>0，所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0<m<2，即c>时，当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2)时，y′>0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2，即3<c≤时，当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤时，建造费用最小时r＝2；-9-\n当c>时，建造费用最小时r＝.总结提高　(1)利用导数研究函数图象或方程的根、零点等问题，一般都是先求导得出函数的单调性与极值，然后再画出函数的大致图象．(2)利用导数解决实际问题要注意：①函数的定义域；②极值和最值的区别；③最后还原到实际问题中作答．1．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，现给出如下结论：①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是________．答案　②③解析　f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x2－4x＋3)＝3(x－1)(x－3)，函数f(x)和导函数f′(x)的大致图象如图所示：由图得f(1)＝1－6＋9－abc＝4－abc>0，f(3)＝27－54＋27－abc＝－abc<0，且f(0)＝－abc＝f(3)<0，所以f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.2.若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为________．答案　③解析　根据f′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除①④；从适合f′(x)＝0的点可以排除②.3．已知a≤＋lnx对任意x∈[，2]恒成立，则a的最大值为________．答案　0-9-\n解析　设f(x)＝＋lnx，则f′(x)＝＋＝.当x∈[，1)时，f′(x)<0，故函数f(x)在[，1)上单调递减；当x∈(1,2]时，f′(x)>0，故函数f(x)在(1,2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0.4．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为________．答案　(0，＋∞)解析　构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.5．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．答案　(－4,0)解析　由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.当x<0或x>2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0.所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(0)＝－a，当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(2)＝－4－a.所以解得－4<a<0.6．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，下列关于函数f(x)的四个命题：x－1045f(x)1221①函数y＝f(x)是周期函数；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．其中真命题的个数是________．答案　1解析　首先排除①，不能确定周期性；f(x)在[0,2]上时，f′(x)<0，故②正确；当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，结合原函数的单调性知0≤t≤5，所以排除③；不能确定在x＝2时函数值和a的大小，故不能确定几个零点，故④错误．-9-\n7．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．答案　(－∞，2ln2－2]解析　函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．8．某名牌电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系：y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．答案　40解析　∵y′＝x2－39x－40，令y′＝0.即x2－39x－40＝0，解得x＝40或x＝－1(舍)．当x>40时，y′>0，当0<x<40时，y′<0，所以当x＝40时，y最小．9．把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________．答案　2∶1解析　设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝，圆柱体积V＝π2x＝(x3－12x2＋36x)(0<x<6)，V′＝(x－2)(x－6)．当x＝2时，V最大．此时底面周长为6－x＝4,4∶2＝2∶1.10．(2022·重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元．所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意得200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．因为r>0，又由h>0可得r<5，故函数V(r)的定义域为(0,5)．(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)，令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．-9-\n由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．11．(2022·江苏)已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R上的偶函数；(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)<a(－x＋3x0)成立．试比较ea－1与ae－1的大小，并证明你的结论．(1)证明　因为对任意x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e－(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)是R上的偶函数．(2)解　由条件知m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立．令t＝ex(x>0)，则t>1，所以m≤－＝－对任意t>1成立．因为t－1＋＋1≥2＋1＝3，所以－≥－，当且仅当t＝2，即x＝ln2时等号成立．因此实数m的取值范围是.(3)解　令函数g(x)＝ex＋－a(－x3＋3x)，则g′(x)＝ex－＋3a(x2－1)．当x≥1时，ex－>0，x2－1≥0，又a>0，故g′(x)>0.所以g(x)是[1，＋∞)上的单调增函数，因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝e＋e－1－2a.由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x＋3x0)<0成立，当且仅当最小值g(1)<0.故e＋e－1－2a<0，即a>.令函数h(x)＝x－(e－1)lnx－1，则h′(x)＝1－.令h′(x)＝0，得x＝e－1.当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h(x)是(0，e－1)上的单调减函数；-9-\n当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调增函数，所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)<h(1)＝0；当x∈(e－1，e)⊆(e－1，＋∞)时，h(x)<h(e)＝0.所以h(x)<0对任意的x∈(1，e)成立．①当a∈⊆(1，e)时，h(a)<0，即a－1>(e－1)lna，从而ea－1<ae－1；②当a＝e时，ea－1＝ae－1；③当a∈(e，＋∞)⊆(e－1，＋∞)时，h(a)>h(e)＝0，即a－1>(e－1)lna，故ea－1>ae－1.综上所述，当a∈时，ea－1<ae－1；当a＝e时，ea－1＝ae－1；当a∈(e，＋∞)时，ea－1>ae－1.12．(2022·陕西)已知函数f(x)＝ex，x∈R.(1)求f(x)的反函数的图象在点(1,0)处的切线方程；(2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点；(3)设a<b，比较f与的大小，并说明理由．(1)解　f(x)的反函数为g(x)＝lnx，设所求切线的斜率为k，∵g′(x)＝，∴k＝g′(1)＝1.于是在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1.(2)证明　方法一　曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1公共点的个数等于函数φ(x)＝ex－x2－x－1零点的个数．∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x)存在零点x＝0.又φ′(x)＝ex－x－1，令h(x)＝φ′(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，当x<0时，h′(x)<0，∴φ′(x)在(－∞，0)上单调递减；当x>0时，h′(x)>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴φ′(x)在x＝0处有唯一的极小值φ′(0)＝0，即φ′(x)在R上的最小值为φ′(0)＝0.∴φ′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，∴φ(x)在R上是单调递增的，∴φ(x)在R上有唯一的零点，-9-\n故曲线y＝f(x)与y＝x2＋x＋1有唯一的公共点．方法二　∵ex>0，x2＋x＋1>0，∴曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1公共点的个数等于曲线y＝与y＝1公共点的个数，设φ(x)＝，则φ(0)＝1，即x＝0时，两曲线有公共点．又φ′(x)＝＝≤0(仅当x＝0时等号成立)，∴φ(x)在R上单调递减，∴φ(x)与y＝1有唯一的公共点，故曲线y＝f(x)与y＝x2＋x＋1有唯一的公共点．(3)解　－f＝－e＝＝[e－e－(b－a)]．设函数u(x)＝ex－－2x(x≥0)，则u′(x)＝ex＋－2≥2－2＝0，∴u′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，∴u(x)单调递增．当x>0时，u(x)>u(0)＝0.令x＝，则e－e－(b－a)>0，∴>f.-9-