【考前三个月】(江苏专用)2022高考数学 高考必会题型 专题三 函数与导数 第9练 分段函数,剪不断理还乱
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第9练 分段函数,剪不断理还乱题型一 分段函数的值域问题例1 函数f(x)=的值域为________.破题切入点 求各段值域,然后求并集.答案 (-∞,2)解析 因为当x≥1时,f(x)=log2=-log2x≤0,当x<1时,0<f(x)=2x<2,所以函数f(x)的值域为(-∞,2).题型二 分段函数的零点问题例2 (2022·扬州模拟)已知函数f(x)=则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有5个不同实数解的充要条件是________.破题切入点 分类讨论思想,结合函数图象解决.答案 b<-2且c=0解析 可以从c=0,c≠0两种情形来考虑.若c=0,则x=0是方程f2(x)+bf(x)+c=0其中的一个根,且f(x)[f(x)+b]=0,此时f(x)≠0,所以f(x)+b=0,因此当-b>2时,f(x)+b=0有四个根,满足题意,所以b<-2.题型三 分段函数的综合性问题例3 已知函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.破题切入点 分段函数奇偶性的概念,结合图象分类讨论.解 (1)∵函数f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).当x>0时,-x<0,有(-x)2-mx=-(-x2+2x),即x2-mx=x2-2x.∴m=2.(2)由(1)知f(x)=当x>0时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,∴当x∈[1,+∞)时,f(x)单调递减;当x∈(0,1]时,f(x)单调递增.当x<0时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,∴当x∈(-∞,-1]时,f(x)单调递减;当x∈[-1,0)时,f(x)单调递增.综上知:函数f(x)在[-1,1]上单调递增.又函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增.∴解之得1<a≤3.故实数a的取值范围是(1,3].总结提高 (1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上,因对应法则的不同而分别用几个不同的式子来表示的.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.-6-\n(2)在求分段函数f(x)解析式时,一定要首先判断x属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式.1.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是________.答案 [0,+∞)解析 当x≤1时,21-x≤2,解得x≥0,所以0≤x≤1;当x>1时,1-log2x≤2,解得x≥,所以x>1.综上可知x≥0.2.已知函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是________.答案 (0,2]解析 由题意,得解得0<a≤2.3.设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=则f(x)的值域是______________________.答案 [-,0]∪(2,+∞)解析 由x<g(x)得x<x2-2,∴x<-1或x>2;由x≥g(x)得x≥x2-2,∴-1≤x≤2.∴f(x)=即f(x)=当x<-1时,f(x)>2;当x>2时,f(x)>8.∴当x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数的值域为(2,+∞).当-1≤x≤2时,-≤f(x)≤0.∴当x∈[-1,2]时,函数的值域为[-,0].综上可知,f(x)的值域为[-,0]∪(2,+∞).4.已知f(x)=则下列函数的图象错误的是________.-6-\n答案 ④解析 先在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象,再将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y=f(x-1)的图象,因此①正确;作函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图形,即可得到y=f(-x)的图象,因此②正确;y=f(x)的值域是[0,2],因此y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象重合,③正确;y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且是一个偶函数,当0≤x≤1时,y=f(|x|)=,相应这部分图象不是一条线段,因此④不正确.5.设函数f(x)=若f(m)>f(-m),则实数m的取值范围是________.答案 (-∞,-1)∪(0,1)解析 若m>0,则-m<0,f(m)==-log2m,f(-m)=log2m,由f(m)>f(-m),得-log2m>log2m,即log2m<0,0<m<1;若m<0,则-m>0,f(-m)=log(-m)=-log2(-m),f(m)=log2(-m),由f(m)>f(-m)得log2(-m)>-log2(-m),解得m<-1.6.对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-2)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是____________________.答案 (-∞,-2]∪(-1,-)解析 f(x)=即f(x)=f(x)的图象如图所示,由图象可知c的取值范围为(-∞,-2]∪(-1,-).7.已知函数f(x)=则f(-3)的值为________.答案 2解析 f(-3)=f(-1)+1=f(1)+2=2.8.已知函数f(x)=若f(f(1))>3a2,则a的取值范围是________.答案 -1<a<3解析 由分段函数可得f(f(1))=f(3)=6a+9,故f(f(1))>3a2⇔6a+9>3a2,解得-1<a<3.9.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.答案 (0,1)解析 画出分段函数f(x)的图象如图所示,-6-\n结合图象可以看出,若f(x)=k有两个不同的实根,也即函数y=f(x)的图象与y=k有两个不同的交点,k的取值范围为(0,1).10.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f=f,则a+3b的值为________.答案 -10解析 因为f(x)的周期为2,所以f=f=f,即f=f.又因为f=-a+1,f==,所以-a+1=.整理,得a=-(b+1).①又因为f(-1)=f(1),所以-a+1=,即b=-2a.②将②代入①,得a=2,b=-4.所以a+3b=2+3×(-4)=-10.11.(2022·四川)已知函数f(x)=其中a是实数,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2.(1)指出函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,证明:x2-x1≥1;(3)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.(1)解 函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为[-1,0),(0,+∞).(2)证明 由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为f′(x1),点B处的切线斜率为f′(x2).故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有f′(x1)·f′(x2)=-1,当x<0时,对函数f(x)求导,得f′(x)=2x+2,因为x1<x2<0,所以(2x1+2)(2x2+2)=-1,所以2x1+2<0,2x2+2>0.因此x2-x1=[-(2x1+2)+2x2+2]≥=1.(当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=-且x2=-时等号成立)所以,函数f(x)的图象在点A、B处的切线互相垂直时,有x2-x1≥1.(3)解 当x1<x2<0或x2>x1>0时,f′(x1)≠f′(x2),-6-\n故x1<0<x2.当x1<0时,函数f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(x+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x+a.当x2>0时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为y-lnx2=(x-x2),即y=·x+lnx2-1.两切线重合的充要条件是由①及x1<0<x2知,0<<2.由①②得,a=lnx2+2-1=-ln+2-1.令t=,则0<t<2,且a=t2-t-lnt.设h(t)=t2-t-lnt(0<t<2),则h′(t)=t-1-=<0,所以h(t)(0<t<2)为减函数,则h(t)>h(2)=-ln2-1,所以a>-ln2-1.而当t∈(0,2)且t趋近于0时,h(t)无限增大,所以a的取值范围是(-ln2-1,+∞),故当函数f(x)的图象在点A、B处的切线重合时,a的取值范围为(-ln2-1,+∞).12.(2022·湖南)已知a>0,函数f(x)=.(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.解 (1)当0≤x≤a时,f(x)=;当x>a时,f(x)=.因此,当x∈(0,a)时,f′(x)=<0,f(x)在(0,a)上单调递减;当x∈(a,+∞)时,f′(x)=>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增.①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=.②若0<a<4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增.所以g(a)=max{f(0),f(4)}.而f(0)-f(4)=-=,-6-\n故当0<a≤1时,g(a)=f(4)=;当1<a<4时,g(a)=f(0)=.综上所述,g(a)=(2)由(1)知,当a≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求.当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增.若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2),使曲线y=f(x)在(x1,f(x1)),(x2,f(x2))两点处的切线互相垂直.则x1∈(0,a),x2∈(a,4),且f′(x1)·f′(x2)=-1.即·=-1.亦即x1+2a=.(*)由x1∈(0,a),x2∈(a,4)得x1+2a∈(2a,3a),∈.故(*)成立等价于集合A={x|2a<x<3a}与集合B=的交集非空.因为<3a,所以当且仅当0<2a<1,即0<a<时,A∩B≠∅.综上所述,存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是.-6-
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