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全国通用2022高考数学二轮复习专题一第2讲不等式及线性规划训练文
全国通用2022高考数学二轮复习专题一第2讲不等式及线性规划训练文
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第2讲 不等式及线性规划一、选择题1.已知x>-1,则函数y=x+的最小值为( )A.-1B.0C.1D.2解析 ∵x>-1,∴x+1>0.∴y=x+=(x+1)+-1,≥2-1=1,当且仅当x+1=,即x=0时取等号.答案 C2.(2022·成都模拟)若点A(m,n)在第一象限,且在直线+=1上,则mn的最大值是( )A.3B.4C.7D.12解析 因为点A(m,n)在第一象限,且在直线+=1上,所以m,n∈R+,且+=1,所以·≤,所以·≤=,即mn≤3,所以mn的最大值为3.答案 A3.(2022·天津卷)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为( )A.7B.8C.9D.14解析 作出约束条件对应的可行域,如图中阴影部分,作直线l:3x+y=0,平移直线l可知,经过点A时,z=3x+y取得最大值,由得A(2,3),故zmax=3×2+3=9.选C.答案 C5\n4.已知正数x,y满足x+2≤λ(x+y)恒成立,则实数λ的最小值为( )A.1B.2C.3D.4解析 ∵x>0,y>0,∴x+2y≥2(当且仅当x=2y时取等号).又由x+2≤λ(x+y)可得λ≥,而≤=2,∴当且仅当x=2y时,=2.∴λ的最小值为2.答案 B5.(2022·四川卷)设实数x,y满足则xy的最大值为( )A.B.C.12D.16解析 xy=×2xy≤≤=,当且仅当x=,y=5时,等号成立,把x=,y=5代入约束条件,满足.故xy的最大值为.答案 A二、填空题6.(2022·江苏卷)不等式<4的解集为________.解析 不等式<4⇔x2-x<2⇔-1<x<2,故原不等式的解集为(-1,2).答案 (-1,2)7.(2022·北京卷)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为________.解析 z=2x+3y,化为y=-x+z,当直线y=-x+在点A(2,1)处时,z取最大值,z=2×2+3=7.5\n答案 78.(2022·重庆卷)设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为________.解析 ∵a,b>0,a+b=5,∴(+)2=a+b+4+2≤a+b+4+()2+()2=a+b+4+a+b+4=18,当且仅当a=,b=时,等号成立,则+≤3,即+最大值为3.答案 3三、解答题9.已知函数f(x)=.(1)若f(x)>k的解集为{x|x<-3,或x>-2},求k的值;(2)对任意x>0,f(x)≤t恒成立,求t的取值范围.解 (1)f(x)>k⇔kx2-2x+6k<0.由已知{x|x<-3,或x>-2}是其解集,得kx2-2x+6k=0的两根是-3,-2.由根与系数的关系可知(-2)+(-3)=,即k=-.(2)因为x>0,f(x)==≤=,当且仅当x=时取等号.由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立,故t≥,即t的取值范围是.10.如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.5\n解 (1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,故x==≤=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标⇔存在k>0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根⇔判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时,可击中目标.11.已知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,且0<x1<1<x2<2.(1)证明:a>0;(2)若z=a+2b,求z的取值范围.(1)证明 求函数f(x)的导数f′(x)=ax2-2bx+2-b.由函数f(x)在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,知x1,x2是f′(x)=0的两个根,所以f′(x)=a(x-x1)(x-x2).当x<x1时,f(x)为增函数,f′(x)>0,由x-x1<0,x-x2<0得a>0.(2)解 在题设下,0<x1<1<x2<2等价于即化简得此不等式组表示的区域为平面aOb上的三条直线:2-b=0,a-3b+2=0,4a-5b+2=0所围成的△ABC的内部,其三个顶点分别为A5\n,B(2,2),C(4,2).z在这三点的值依次为,6,8.所以z的取值范围为.5
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:52:32
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文章作者:U-336598
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