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全国通用2022高考数学二轮复习专题一第2讲不等式及线性规划

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第2讲 不等式及线性规划一、选择题1.(2022·天津卷)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的(  )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由|x-2|<1得1<x<3,由x2+x-2>0,得x<-2或x>1,而1<x<3x<-2或x>1,而x<-2或x>11<x<3,所以,“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分而不必要条件,选A.答案 A2.(2022·临汾模拟)若点A(m,n)在第一象限,且在直线+=1上,则mn的最大值是(  )A.3B.4C.7D.12解析 因为点A(m,n)在第一象限,且在直线+=1上,所以m,n∈R+,且+=1,所以·≤()2,所以·≤=,即mn≤3,所以mn的最大值为3.答案 A3.(2022·广东卷)若变量x,y满足约束条件则z=3x+2y的最小值为(  )A.B.6C.D.4解析 不等式组所表示的可行域如下图所示,由z=3x+2y得y=-x+,依题意当目标函数直线l:y=-x+经过A时,z取得最小值,即zmin=3×1+2×=,故选C.5\n答案 C4.已知正数x,y满足x+2≤λ(x+y)恒成立,则实数λ的最小值为(  )A.1B.2C.3D.4解析 ∵x>0,y>0,∴x+2y≥2(当且仅当x=2y时取等号).又由x+2≤λ(x+y)可得λ≥,而≤=2,∴当且仅当x=2y时,=2.∴λ的最小值为2.答案 B5.(2022·衡水中学期末)已知约束条件表示的平面区域为D,若区域D内至少有一个点在函数y=ex的图象上,那么实数a的取值范围为(  )A.[e,4)B.[e,+∞)C.[1,3)D.[2,+∞)解析 如图:点(1,e)满足ax-y≥0,即a≥e.答案 B二、填空题6.(2022·福建卷改编)若变量x,y满足约束条件则z=2x-y的最小值等于________.解析 如图,可行域为阴影部分,线性目标函数z=2x-y可化为y=2x-z,由图形可知当y=2x-z过点时z最小,zmin5\n=2×(-1)-=-.答案 -7.(2022·浙江卷)已知函数f(x)=则f(f(-3))=________,f(x)的最小值是________.解析 f(f(-3))=f(1)=0,当x≥1时,f(x)=x+-3≥2-3,当且仅当x=时,取等号;当x<1时,f(x)=lg(x2+1)≥lg1=0,当且仅当x=0时,取等号,∴f(x)的最小值为2-3.答案 0 2-38.(2022·南昌模拟)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为________.解析 由已知,得xy=9-(x+3y),即3xy=27-3(x+3y)≤,令x+3y=t,则t2+12t-108≥0,解得t≥6或t≤-18(舍),即x+3y≥6.答案 6三、解答题9.已知函数f(x)=.(1)若f(x)>k的解集为{x|x<-3,或x>-2},求k的值;(2)对任意x>0,f(x)≤t恒成立,求t的取值范围.解 (1)f(x)>kkx2-2x+6k<0.由已知{x|x<-3,或x>-2}是其解集,得kx2-2x+6k=0的两根是-3,-2.由根与系数的关系可知(-2)+(-3)=,即k=-.(2)因为x>0,f(x)==≤=,当且仅当x=时取等号.由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立,故t≥,即t的取值范围是.10.如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.5\n(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.解 (1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,故x==≤=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标存在k>0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0a≤6.所以当a不超过6千米时,可击中目标.11.已知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,且0<x1<1<x2<2.(1)证明:a>0;(2)若z=a+2b,求z的取值范围.(1)证明 求函数f(x)的导数f′(x)=ax2-2bx+2-b.由函数f(x)在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,知x1、x2是f′(x)=0的两个根,所以f′(x)=a(x-x1)(x-x2).当x<x1时,f(x)为增函数,f′(x)>0,由x-x1<0,x-x2<0得a>0.(2)解 在题设下,0<x1<1<x2<2等价于即化简得5\n此不等式组表示的区域为平面aOb上的三条直线:2-b=0,a-3b+2=0,4a-5b+2=0所围成的△ABC的内部,其三个顶点分别为A,B(2,2),C(4,2).z在这三点的值依次为,6,8.所以z的取值范围为.5

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发布时间:2022-08-25 23:52:33 页数:5
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文章作者:U-336598

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