全国通用2022版高考数学大二轮总复习增分策略专题一集合与常用逻辑用语不等式第2讲不等式与线性规划试题

第2讲　不等式与线性规划1．(2022·大纲全国)不等式组的解集为(　　)A．{x|－2<x<－1}B．{x|－1<x<0}C．{x|0<x<1}D．{x|x>1}2．(2022·广东)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为(　　)A．4B.C．6D.3．(2022·浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(　　)A．ax＋by＋czB．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cxD．ay＋bx＋cz4．(2022·重庆)设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．　1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点；2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数取值范围；3.利用不等式解决实际问题.热点一　不等式的解法1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；15\n(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．例1　(1)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为(　　)A．{x|x<－1或x>－lg2}B．{x|－1<x<－lg2}C．{x|x>－lg2}D．{x|x<－lg2}(2)已知函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)>0的解集为(　　)A．{x|x>2或x<－2}B．{x|－2<x<2}C．{x|x<0或x>4}D．{x|0<x<4}思维升华　(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．跟踪演练1　(1)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝________.(2)已知f(x)是R上的减函数，A(3，－1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1＋lnx)|<1的解集是________________．热点二　基本不等式的应用利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值)．例2　(1)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　　)A.B.C．8D．2415\n(2)已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为(　　)A．1B.C．2D.思维升华　在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．跟踪演练2　(1)(2022·天津)已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．(2)若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是________．热点三　简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．例3　(1)(2022·北京)若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为(　　)A．0B．1C.D．2(2)(2022·安徽)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)A.或－1B．2或C．2或1D．2或－1思维升华　(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．跟踪演练3　已知x，y满足且目标函数z＝2x＋y的最小值为9，则实数a的值是(　　)A．1B．2C．3D．715\n1．若点A(a，b)在第一象限，且在直线x＋2y＝1上，则ab的最大值为(　　)A．1B.C.D.2．已知A(1，－1)，B(x，y)，且实数x，y满足不等式组则z＝·的最小值为(　　)A．2B．－2C．－4D．－63．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤4的解集为____________．4．已知不等式≥|a2－a|对于x∈[2,6]恒成立，则a的取值范围是________．提醒：完成作业　专题一　第2讲15\n二轮专题强化练专题一第2讲　不等式与线性规划A组　专题通关1．下列选项中正确的是(　　)A．若a>b，则ac2>bc2B．若ab>0，a>b，则<C．若a>b，c<d，则<D．若a>b，c>d，则a－c>b－d2．不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是(　　)A．(－2,0)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(－2,1)D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)3．(2022·山东)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a等于(　　)A．3B．2C．－2D．－34．(2022·重庆)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)A．6＋2B．7＋2C．6＋4D．7＋45．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′(x)，f′(0)>0，且f(x)的值域为[0，＋∞)，则的最小值为(　　)A．3B.C．2D.6．已知函数f(x)＝那么不等式f(x)≥1的解集为________________．7．(2022·绵阳市一诊)某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量q(q∈N*)的函数关系式为C＝100－4q，销售单价p与产量q的函数关系式为p＝25－q15\n.要使每件产品的平均利润最大，则产量q＝________.8．(2022·资阳市测试)若两个正实数x，y满足＋＝1，且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________．9．设0<a<1，集合A＝{x∈R|x>0}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B，求集合D.(用区间表示)10．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50≤x≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．B组　能力提高11．(2022·陕西)设f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)A．q＝r＜pB．q＝r＞pC．p＝r＜qD．p＝r＞q12．(2022·课标全国Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为________．13．已知x>0，y>0，x＋y＋3＝xy，且不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是______________________________________．14．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．15\n(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)．15\n学生用书答案精析第2讲　不等式与线性规划高考真题体验1．C　[由得所以0<x<1，所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}，故选C.]2．B　[不等式组所表示的可行域如下图所示，由z＝3x＋2y得y＝－x＋，依题当目标函数直线l：y＝－x＋经过A时，z取得最小值即zmin＝3×1＋2×＝，故选B.]3．B　[令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3.A项：ax＋by＋cz＝1＋4＋9＝14；B项：az＋by＋cx＝3＋4＋3＝10；C项：ay＋bz＋cx＝2＋6＋3＝11；D项：ay＋bx＋cz＝2＋2＋9＝13.故选B.]4．3解析　∵a，b＞0，a＋b＝5，∴(＋)2＝a＋b＋4＋2≤a＋b＋4＋()2＋()2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＝，b＝时，等号成立，则＋≤3，即＋最大值为3.热点分类突破例1　(1)D　(2)C解析　(1)由已知条件0<10x<，解得x<lg＝－lg2.(2)由题意可知f(－x)＝f(x)．即(－x－2)(－ax＋b)＝(x－2)(ax＋b)，(2a－b)x＝0恒成立，15\n故2a－b＝0，即b＝2a，则f(x)＝a(x－2)(x＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a>0.f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.故选C.跟踪演练1　(1)　(2)(，e2)解析　(1)由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)·(x－4a)<0，因为a>0，所以不等式的解集为(－2a,4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝.(2)∵|f(1＋lnx)|<1，∴－1<f(1＋lnx)<1，∴f(3)<f(1＋lnx)<f(0)，又∵f(x)在R上为减函数，∴0<1＋lnx<3，∴－1<lnx<2，∴<x<e2.例2　(1)C　(2)B解析　(1)∵a∥b，∴3(y－1)＋2x＝0，即2x＋3y＝3.∵x>0，y>0，∴＋＝(＋)·(2x＋3y)＝(6＋6＋＋)≥(12＋2×6)＝8.当且仅当3y＝2x时取等号．(2)2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2·＋2a＝4＋2a，由题意可知4＋2a≥7，得a≥，即实数a的最小值为，故选B.15\n跟踪演练2　(1)4　(2)4解析　(1)log2a·log2(2b)＝log2a·(1＋log2b)≤2＝2＝2＝4，当且仅当log2a＝1＋log2b，即a＝2b时，等号成立，此时a＝4，b＝2.(2)易知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径为2，圆心为(－1,2)，因为直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，所以直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)过圆心，把圆心坐标代入得：a＋b＝1，所以＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当＝，a＋b＝1，即a＝b＝时等号成立．例3　(1)D　(2)D解析　(1)可行域如图所示．目标函数化为y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z过点A(0,1)时，z取得最大值2.(2)如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.跟踪演练3　C　[依题意，不等式组所表示的可行域如图所示(阴影部分)，观察图象可知，当目标函数z＝2x＋y过点B(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a；因为目标函数z＝2x＋y的最小值为9，所以3a＝9，解得a＝3，故选C.]高考押题精练1．D　[因为点A(a，b)在第一象限，且在直线x＋2y＝1上，15\n所以a>0，b>0，且a＋2b＝1，所以ab＝·a·2b≤·()2＝，当且仅当a＝2b＝，即a＝，b＝时，“＝”成立．故选D.]2．C　[画出不等式组所表示的可行域为如图所示的△ECD的内部(包括边界)，其中E(2,6)，C(2,0)，D(0,2)．目标函数z＝·＝x－y.令直线l：y＝x－z，要使直线l过可行域上的点且在y轴上的截距－z取得最大值，只需直线l过点E(2,6)．此时z取得最小值，且最小值zmin＝2－6＝－4.故选C.]3．{x|－14≤x<2或x≥}解析　由题意得或解得x≥或－14≤x<2，故不等式f(x)≤4的解集为{x|－14≤x<2或x≥}．4．[－1,2]解析　设y＝，y′＝－，故y＝在x∈[2,6]上单调递减，即ymin＝＝，故不等式≥|a2－a|对于x∈[2,6]恒成立等价于|a2－a|≤恒成立，化简得解得－1≤a≤2，故a的取值范围是[－1,2]．15\n二轮专题强化练答案精析第2讲　不等式与线性规划1．B　[若a>b，取c＝0，则ac2>bc2不成立，排除A；取a＝2，b＝－1，c＝1，d＝2，则选项C不成立，排除C；取a＝2，b＝1，c＝1，d＝－1，则选项D不成立，排除D.选B.]2．C　[根据题意，由于不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则x2＋x<(＋)min，∵＋≥2＝2，∴x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知其解集为(－2,1)．]3．B　[不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A(2,0)，由得B(1,1)．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O(0,0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时，z＝ax＋y在A(2,0)处取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.]4．D　[由题意得所以又log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4ab，所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号．故选D.]5．C　[f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b>0，函数f(x)的值域为[0，＋∞)，所以a>0，且b2－15\n4ac＝0，即4ac＝b2，所以c>0.又f(1)＝a＋b＋c，所以＝＝1＋≥1＋＝1＋＝1＋1＝2(当且仅当b＝2a＝2c时取等号)，所以的最小值为2，故选C.]6．(－∞，0]∪[3，＋∞)解析　当x>0时，由log3x≥1可得x≥3，当x≤0时，由()x≥1可得x≤0，∴不等式f(x)≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)．7．40解析　每件产品的利润y＝25－q－＝29－(＋)≤29－2＝24，当且仅当＝且q>0，即q＝40时取等号．8．(－4,2)解析　∵x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，∴(x＋2y)min＝8，令m2＋2m<8，得－4<m<2.9．解　令g(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a，其对称轴方程为x＝(1＋a)，Δ＝9(1＋a)2－48a＝9a2－30a＋9＝3(3a－1)(a－3)．①当0<a≤时，Δ≥0，x＝(1＋a)>0，g(0)＝6a>0，方程g(x)＝0的两个根分别为0<x1＝<x2＝，∴D＝A∩B＝∪；②当<a<1时，Δ<0，则g(x)>0恒成立，所以D＝A∩B＝(0，＋∞)．15\n综上所述，当0<a≤时，D＝∪；当<a<1时，D＝(0，＋∞)．10．解　(1)行车所用时间为t＝(h)，y＝×2×(2＋)＋14×，x∈[50,100]．所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50,100]．(2)y＝＋x≥26，当且仅当＝x，即x＝18时，上述不等式中等号成立．故当x＝18时，这次行车的总费用最低，最低费用为26元．11．C　[∵0＜a＜b，∴＞，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故f＞f()，即q＞p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝lna＋lnb＝ln(ab)＝f()＝p.故p＝r＜q.选C.]12．3解析　画出可行域如图阴影所示，∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x，y)在点A处时最大．由　得∴A(1,3)．∴的最大值为3.15\n13．(－∞，]解析　要使(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则有(x＋y)2＋1≥a(x＋y)，即a≤(x＋y)＋恒成立．由x＋y＋3＝xy，得x＋y＋3＝xy≤()2，即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．设t＝x＋y，则t≥6，(x＋y)＋＝t＋.设f(t)＝t＋，则在t≥6时，f(t)单调递增，所以f(t)＝t＋的最小值为6＋＝，所以a≤，即实数a的取值范围是(－∞，]．14．解　(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，显然v(x)＝ax＋b在[20,200]上是减函数，由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)＝(2)依题意并由(1)可得f(x)＝当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤[]2＝，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立，所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3333辆/小时．15