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全国通用2022版高考数学大二轮总复习增分策略第四篇第4讲数列不等式

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4.数列、不等式1.已知前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an,则an=.由Sn求an时,易忽略n=1的情况.[问题1] 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=________.2.等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法:定义法an+1-an=d(d为常数)或an+1-an=an-an-1(n≥2).(2)等差数列的通项:an=a1+(n-1)d或an=am+(n-m)d.(3)等差数列的前n项和:Sn=,Sn=na1+d.(4)等差数列的性质①当公差d≠0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)·d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n项和Sn=na1+d=n2+(a1-)n是关于n的二次函数且常数项为0.②若公差d>0,则为递增等差数列;若公差d<0,则为递减等差数列;若公差d=0,则为常数列.③当m+n=p+q时,则有am+an=ap+aq,特别地,当m+n=2p时,则有am+an=2ap.④Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列.[问题2] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=12,S20=17,则S30为(  )A.15B.20C.25D.303.等比数列的有关概念及性质(1)等比数列的判断方法:定义法=q(q为常数),其中q≠0,an≠0或=(n≥2).如一个等比数列{an}共有2n+1项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则an+1=.(2)等比数列的通项:an=a1qn-1或an=amqn-m.(3)等比数列的前n项和:当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn==.易错警示:由于等比数列前n项和公式有两种形式,为此在求等比数列前n10\n项和时,首先要判断公比q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比q是否为1时,要对q分q=1和q≠1两种情形讨论求解.(4)等比中项:若a,A,b成等比数列,那么A叫做a与b的等比中项.值得注意的是,不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个,即为±.如已知两个正数a,b(a≠b)的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为A>B.(5)等比数列的性质当m+n=p+q时,则有am·an=ap·aq,特别地,当m+n=2p时,则有am·an=a.[问题3] (1)在等比数列{an}中,a3+a8=124,a4a7=-512,公比q是整数,则a10=________.(2)各项均为正数的等比数列{an}中,若a5·a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10=________.4.数列求和的方法(1)公式法:等差数列、等比数列求和公式;(2)分组求和法;(3)倒序相加法;(4)错位相减法;(5)裂项法;如:=-;=.(6)并项法.数列求和时要明确:项数、通项,并注意根据通项的特点选取合适的方法.[问题4] 数列{an}满足an+an+1=(n∈N,n≥1),若a2=1,Sn是{an}的前n项和,则S21的值为________.5.在求不等式的解集时,其结果一定要用集合或区间表示,不能直接用不等式表示.[问题5] 不等式-3x2+5x-2>0的解集为________.6.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数,必须讨论这个数的正负.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能进行.[问题6] 已知a,b,c,d为正实数,且c>d,则“a>b”是“ac>bd”的________条件.7.基本不等式:≥(a,b>0)10\n(1)推广:≥≥≥(a,b>0).(2)用法:已知x,y都是正数,则①若积xy是定值p,则当x=y时,和x+y有最小值2;②若和x+y是定值s,则当x=y时,积xy有最大值s2.易错警示:利用基本不等式求最值时,要注意验证“一正、二定、三相等”的条件.[问题7] 已知a>0,b>0,a+b=1,则y=+的最小值是________.8.解线性规划问题,要注意边界的虚实;注意目标函数中y的系数的正负;注意最优整数解.[问题8] 设定点A(0,1),动点P(x,y)的坐标满足条件则|PA|的最小值是________.易错点1 an与Sn关系不清例1 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,则数列{an}的通项公式为________.错因分析 没有注意到an=Sn-Sn-1成立的条件:n≥2,忽视对n的分类讨论.解析 当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n,∴an=答案 an=易错点2 忽视等比数列中q的范围例2 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,则数列{an}的公比q=________.错因分析 没有考虑等比数列求和公式Sn=中q≠1的条件,本题中q=1恰好符合题目条件.解析 ①当q=1时,S3+S6=9a1,S9=9a1,∴S3+S6=S9成立.②当q≠1时,由S3+S6=S9,得+=.10\n∴q9-q6-q3+1=0,即(q3-1)(q6-1)=0.∵q≠1,∴q3-1≠0,∴q6=1,∴q=-1.答案 1或-1易错点3 数列最值问题忽略n的限制例3 已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)()n(n∈N*),则数列{an}的最大项是(  )A.第6项或第7项B.第7项或第8项C.第8项或第9项D.第7项错因分析 求解数列{an}的前n项和Sn的最值,无论是利用Sn还是利用an来求,都要注意n的取值的限制,因为数列中可能出现零项,所以在利用不等式(组)求解时,不能漏掉不等式(组)中的等号,避免造成无解或漏解的失误.解析 因为an+1-an=(n+3)()n+1-(n+2)()n=()n·,当n<7时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=7时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>7时,an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<…<a7=a8>a9>a10…,所以此数列的最大项是第7项或第8项,故选B.答案 B易错点4 裂项法求和搞错剩余项例4 在数列{an}中,an=++…+,又bn=,则数列{bn}的前n项和为(  )A.B.C.D.错因分析 裂项相消后搞错剩余项,导致求和错误:一般情况下剩余的项是对称的,即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的.解析 由已知得an=++…+=(1+2+…+n)=,从而bn===4(-),所以数列{bn}的前n项和为Sn=4[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=4(1-)=.故选D.答案 D易错点5 解不等式时变形不同解10\n例5 解不等式≥2.错因分析 本题易出现的问题有两个方面:一是错用不等式的性质直接把不等式化为3x-5≥2(x2+2x-3)求解;二是同解变形过程中忽视分母不为零的限制条件,导致增解.解 原不等式可化为-2≥0,即≥0.整理得≤0,不等式等价于解得-3<x≤-1或≤x<1.所以原不等式的解集为{x|-3<x≤-1或≤x<1}.易错点6 忽视基本不等式中等号成立条件例6 函数y=x+(x≠1)的值域是______________________________________.错因分析 本题易出现的错误有两个方面:一是不会“凑”,不能根据函数解析式的特征适当变形凑出两式之积为定值;二是利用基本不等式求最值时,忽视式子的取值范围,直接套用基本不等式求最值.如本题易出现:由y=x+=x-1++1≥2+1=3,得出y∈[3,+∞)这一错误结果.解析 当x>1时,y=x+=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时等号成立;当x<1时,-y=-x+=1-x+-1≥2-1=1,即y≤-1,当且仅当1-x=,即x=0时等号成立.所以原函数的值域为(-∞,-1]∪[3,+∞).答案 (-∞,-1]∪[3,+∞)1.(2022·重庆)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6等于(  )10\nA.-1B.0C.1D.62.(2022·武汉适应性训练)已知正项等差数列{an}的前20项和为100,那么a6·a15的最大值是(  )A.25B.50C.100D.不存在3.已知数列{an}是公差不为0的等差数列,{bn}是等比数列,其中a1=3,b1=1,a2=b2,3a5=b3,若存在常数u,v对任意正整数n都有an=3logubn+v,则u+v等于(  )A.3B.6C.9D.124.(2022·江南十校联考(二))已知数列{an}的通项公式为an=log3(n∈N*),设其前n项和为Sn,则使Sn<-4成立的最小自然数n为(  )A.83B.82C.81D.805.(2022·湖南)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为(  )A.-7B.-1C.1D.26.把一数列依次按第一个括号内一个数,第二个括号内两个数,第三个括号内三个数,第四个括号内一个数,…循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(25),…,则第50个括号内各数之和为(  )A.195B.197C.392D.3967.(2022·福建六校联考)设x,y∈R,且xy≠0,则(x2+)(+4y2)的最小值为______.8.已知函数f(x)=(a>0,a≠1).数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是单调递增数列,则实数a的取值范围是________.9.(2022·忻州联考)不等式组表示的平面区域为Ω,直线y=kx-1与区域Ω有公共点,则实数k的取值范围为________.10.已知函数f(x)=(a,b为常数)且方程f(x)-x+12=0有两实根x1=3,x2=4.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设k>1,解关于x的不等式f(x)≤.10\n    11.等比数列{an}的公比q>1,第17项的平方等于第24项,求使a1+a2+…+an>++…+成立的正整数n的取值范围.      10\n学生用书答案精析4.数列、不等式要点回扣[问题1] [问题2] A[问题3] (1)512 (2)10[问题4] [问题5] [问题6] 充分不必要[问题7] 9[问题8] 查缺补漏1.B [由等差数列的性质,得a6=2a4-a2=2×2-4=0,选B.]2.A [由题意知S20=×20=100⇒=5,故a6+a15=a1+a20=10,又{an}为正项数列,所以,a6>0,a15>0,所以a6·a15≤()2=25.]3.B [设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,则解得d=6,q=9,所以an=6n-3,bn=9n-1,6n-3=3nlogu9+v-3logu9对任意正整数n恒成立,所以解得u=v=3,故u+v=6.]4.C [∵an=log3=log3n-log3(n+1),∴Sn=log31-log32+log32-log33+…+log3n-log3(n+1)=-log3(n+1)<-4,解得n>34-1=80.故最小自然数n的值为81.]5.A [不等式组表示的平面区域如图,平移直线y=3x-z,过M(-2,1)时,zmin=3×(-2)-1=-7.故选A.]10\n6.C [将三个括号作为一组,则由50=16×3+2,知第50个括号应为第17组的第二个括号,即第50个括号中应是两个数.又因为每组中含有6个数,所以第48个括号的最末一个数为数列{2n-1}的第16×6=96项,第50个括号的第一个数应为数列{2n-1}的第98项,即为2×98-1=195,第二个数为2×99-1=197,故第50个括号内各数之和为195+197=392.故选C.]7.9解析 (x2+)(+4y2)=1+4+4x2y2+≥1+4+2=9,当且仅当4x2y2=即|xy|=时等号成立.8.(4,8)解析 ∵{an}是单调递增数列,∴∴4<a<8.9.[3,+∞)解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分.直线y=kx-1显然经过定点M(0,-1),由图形直接观察知,当直线y=kx-1经过直线y=x+1和直线x+y=3的交点C(1,2)时,k最小,此时kCM==3,因此k≥3.10.解 (1)将x1=3,x2=4分别代入方程-x+12=0,得⇒所以f(x)=(x≠2).(2)不等式即为≤,可化为≤0,即①当1<k<2时,解集为x∈[1,k]∪(2,+∞);10\n②当k=2时,解集为x∈[1,2)∪(2,+∞);③当k>2时,解集为x∈[1,2)∪[k,+∞).11.解 由题意,得(a1q16)2=a1q23,所以a1q9=1.又因为数列{}是以为首项,以为公比的等比数列,要使不等式成立,则需>,把a=q-18代入上式并整理,得q-18(qn-1)>q(1-),即q-18(qn-1)>q·,所以qn>q19.因为q>1,所以n>19.故所求正整数n的取值范围是n≥20,n∈N*.10

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发布时间:2022-08-25 23:55:56 页数:10
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文章作者:U-336598

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