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2022届高考数学二轮专题复习23恒成立与存在性问题

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恒成立与存在性问题1.恒成立问题1.已知函数,.(1)讨论的单调性;(2)若时,恒成立,求的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2).【解析】(1)的定义域为,,当时,恒成立,所以在上单调递减;当时,令,解得,所以在上单调递增;令,解得,所以在上单调递减,综上所述:当时,在上单调递减;当时,在上单调递增,在上单调递减.(2),则有,当时,在上单调递增,所以,满足题意;当时,,且,当时,有,使时,单调递减,使得,不合题意,的取值范围为.2.已知函数.(1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)若对任意,都有,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).11 【解析】(1)解:当时,函数,定义域为,又,,所以,所以曲线在点处的切线方程为,即.(2)解:若在上恒成立,即在上恒成立,可令,,则,,,令,可解得,当时,即时,在上恒成立,所以在上单调递增,,又,所以恒成立,即时,在上恒成立,当,即时,在上单调递减,在上单调递增,此时,,又,,即,不满足恒成立,故舍去,综上可知:实数的取值范围是.3.已知函数.(1)若函数f(x)的图象在点处的切线方程为,求函数f(x)的极小值;11 (2)若a=1,对于任意,当时,不等式恒成立,求实数m的取值范围.【答案】(1)-2;(2).【解析】(1)因为的定义域为(0,+∞),所以.由函数f(x)的图象在点处的切线方程为,得,解得a=1.此时.令,得x=1或.当和时,f′(x)>0;当时,f′(x)<0.所以函数f(x)在和(1,+∞)上单调递增,在上单调递减,所以当x=1时,函数f(x)取得极小值f(1)=ln1+1-3=-2.(2)由a=1得f(x)=lnx+x2-3x.因为对于任意,当时,恒成立,所以对于任意,当时,恒成立,所以函数在[1,10]上单调递减.令x∈[1,10],所以在[1,10]上恒成立,则在[1,10]上恒成立.设,11 则.当x∈[1,10]时,F′(x)<0,所以函数F(x)在[1,10]上单调递减,所以,所以,故实数m的取值范围为.4.已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若函数,不等式在上恒成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)当时,在上单调递增;当时,在单调递减,在单调递增;(2).【解析】(1).①当时,,在上单调递增;②当时,令,得.当时,,在上单调递减;当时,,在上单调递增,综上所述:当时,在上单调递增;当时,在单调递减,在单调递增.(2)由题意,函数,且在上恒成立,先由,可得,当时,,单调递减;当时,,单调递增,11 当时,函数.再令,且,可得,当时,,单调递减;当时,,单调递增,当,函数取得最小值,为,,即在区间上恒成立.由(1)知,当时,在上单调递增,在上恒成立,符合题意;当时,在上单调递减,在上单调递增,在上不恒成立,综上可得,实数a的取值范围是.2.存在性问题1.已知函数,.若,使得,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】当时,,,当,时,,当,时,.11 令,则,,当时,,;当时,,;综上所述,;由题意,得两个函数的值域的交集非空,所以,解得,故选B.2.已知函数的定义域为,当时,,,若对,,使得,则正实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】D【解析】对,,使得,,①当时,,,②当时,,,在上单调递增,,由①②得,又,在上为增函数,,,,的取值范围为,故选D.3.已知函数,.若,都,使成立,则实数的取值范围为()11 A.B.C.D.【答案】D【解析】,都,使成立,;当时,,在上单调递减,在上单调递增,又时,;时,;,当时,;①当,即时,在上单调递增,,,解得,;②当,即时,在上单调递减,在上单调递增,,,解得或,;③当,即时,在上单调递减,,,解得,,综上所述:的取值范围为,故选D.4.已知,,若对,,使得,则a的取值范围是()A.[2,5]B.C.D.【答案】A【解析】,11 所以在[1,2]递减,在(2,3]递增,,可得的值域为,对称轴为,在[1,3]递增,可得的值域为,若对,,使得,可得的值域为的值域的子集.则,且,解得,故选A.5.已知,,若,使得成立,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由,得,即,记,,当时,,单调递减;当时,,单调递增,,,记,,,,,,时,,单调递减;11 当时,,单调递增,∴,,故选A.6.已知函数,其中a≠0.(1)若,讨论函数的单调性;(2)是否存在实数a,对任意,总存在,使得成立?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)在单调递增,单调递减;(2)存在;.【解析】(1)时,,当时,;当时,,∴在单调递增,单调递减.(2)存在满足条件的实数a,且实数a的值为.理由如下:,(i)当时,,∴在[0,1]上单调递减,∴,则,∴此时不满足题意;(ii)当时,在单调递增,单调递减,①当时,即,在[0,1]单调递减,同上,此时不满足题意;②当时,即时,在单调递增,单调递减,∴,当时,对任意,,∴此时不满足题意;③当时,即,在[0,1]单调递增,,11 令,易知在[0,1]单调递减,∴,若对任意,总存在,使得,即使得,∴,即,∴,∴,综上所述,存在满足题意的实数a,且实数a的值为.7.设函数.(1)若是函数的一个极值点,试求出a关于b的关系式(用a表示b),并确定的单调区间;(2)在(1)的条件下,设,函数.若存在,使得成立,求a的取值范围.【答案】(1),单调区间见解析;(2).【解析】(1),∵是函数的一个极值点,∴,即,解得,则,令,即,解得或,∵是函数的一个极值点,∴,,①当,即,在和上单调递增,在上单调递减;②当,即,在和上单调递增,在上单调递减,11 综上:,的单调递增区间为和,单调递减区间为;当时,的单调递增区间为和,单调递减区间为.(2)由(1)知,当时,在单调递减,在单调递增,∴函数在上的最小值为,∵,,∴函数在上的值域为,即,∵在上为增函数且,∴若存在,使得成立,只需与之间的最小距离小于1,即,解得,综上:当时,存在,使得成立.11

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发布时间:2022-03-16 15:00:06 页数:11
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文章作者:随遇而安

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