浙江省2022版高考数学一轮复习专题08不等式中的最值与参数特色训练
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八、不等式中的最值与参数一、选择题1.【2022届河南省天一大联考高三上10月测试】已知,若,则的最小值是()A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】因为,化简可得,故,即,当且仅当是等号成立,即的最小值是8,故选C.2.【2022届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】若,则的最大值是()A.1B.C.D.2【答案】A3.【2022届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】已知a>b>0,则a+4a+b+1a-b的最小值为()A.3102B.4C.23D.32【答案】D【解析】因a=12[(a+b)+(a-b)],故a+4a+b+1a-b=12(a+b)+4a+b+12(a-b)+1a-b,又因为11(a+b)+4a+b≥22,12(a-b)+1a-b≥212=2,所以a+4a+b+1a-b≥32,当且仅当a+b=2a-b=2,即a=12(2+2)b=12(2-2)取等号,应选答案D.4.【2022浙江卷】若x,y满足约束条件的取值范围是-14-\nA.[0,6]B.[0,4]C.[6,D.[4,【答案】D【解析】解:x、y满足约束条件,表示的可行域如图:故选:D.5.【2022届河南省林州市第一中学高三8月调研】已知正项等比数列的前项和为,且,则的最小值为()A.10B.15C.20D.25【答案】C【解析】由题意可得:,由可得,由等比数列的性质可得:成等比数列,-14-\n本题选择C选项.6.【2022届湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中高三上第二次月考】已知实数x,y满足条件x+2y≥22x+y≤2x>0,则yx的最小值为A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由x+2y=22x+y=2⇒A(23,23);由2x+y=2x=0⇒B(0,2);由x+2y=2x=0⇒C(0,2);由约束条件做出(x,y)的可行域如图所示,yx的值为可行域中的点与原点O的连线的斜率,观察图形可知OA的斜率最小,所以yxmin=1.故选A.7.【2022届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】设点P(x,y)在不等式组x≥02x-y≤0x+y-3≤0表示的平面区域上,则z=x2+y2-2x+1的最小值为()A.1B.15C.4D.45【答案】D-14-\n【解析】作出不等式组对应的平面区域,如图:z=(x2+y2-2x+1)2=((x-1)2+y2)2,则z的几何意义是区域内的点到点D(1,0)的距离的平方,由图象知D到直线2x-y=0的距离最小,此时d=|2-0|22+1=255,所以zmin=45,故选D.8.【2022届河南省天一大联考高三10月测试】已知实数x,y满足x+1≥y,x≤3,y-1≥0,若z=mx+y的最大值为10,则m=()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】作可行域,则直线z=mx+y过点(3,4)时取最大值,由10=3m+4得m=2,选B.9.【2022届江西省赣州市红色七校高三第一次联考】设实数满足x+y-3≤0y-12x≥0x-1≥0,则u=yx-xy的取值范围为()A.[12,2]B.[-23,2]C.[-23,32]D.[-32,32]【答案】D【解析】画出可行域如图所示:-14-\n10.【2022届云南省师范大学附属中学高三月考一】若直线()始终平分圆的周长,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】直线平分圆周,则直线过圆心,所以有(当且仅当时取“=”),故选D.11.【2022届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知实数,满足-14-\n若目标函数的最小值的7倍与的最大值相等,则实数的值为()A.B.C.D.【答案】D12.【2022届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知变量满足约束条件,若不等式恒成立,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】D【解析】作出约束条件所对应的可行域(如图中阴影部分),令,当直线经过点时,取得最大值,即,所以,故选D.二、填空题-14-\n13.已知a+b>0,c>0,则a+b+c1a+b+1c的最小值是________.【答案】4【解析】由题意可得:a+b+c1a+b+1c=a+b+c1a+b+1c=2+ca+b+a+bc≥2+2ca+b×a+bc=4当且仅当ca+b=a+bc时等号成立.据此可得a+b+c1a+b+1c的最小值是4.14.【2022天津卷】若,,则的最小值为___________.【答案】415.【2022届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】当1≤x≤3时,3a+2b-a-2b≤a⋅x+mx+1对任意实数a,b都成立,则实数的取值范围是_________.【答案】m≥94【解析】当a=0时,不等式显然成立;当a≠0时,3+2ba-1-2ba≤x+mx+1而3+2ba-1-2ba≤3+2ba+1-2ba=4,∴x+mx+1≥4,即m≥3x-x2当1≤x≤3时,3x-x2≤3×32-94=94,∴m≥94故答案为:m≥94.-14-\n16.已知数列满足,,若不等式恒成立,则实数t的取值范围是_____.【答案】[﹣9,+∞)三、解答题17.【2022届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】已知函数f(x)=2x-1+x-2.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≥1m+1n(m,n>0)对任意x∈R恒成立,求m+n的最小值.【答案】(1){xx≤0或x≥2}(2)83【解析】试题分析:(1)写出分段函数f(x)=-3x+3(x≤12)x+1(12<x≤2)3x-3(x>2),再分段讨论解不等式。(2)即求f(x)的最小值,由(1)中分段函数可知最小值为32,即1m+1n≤32,由于m,n>0,所以m+n≤32mn,再由重要不等式m+n≤32mn≤32(m+n2)2,可解。试题解析:(1)f(x)=-3x+3(x≤12)x+1(12<x≤2)3x-3(x>2),∵f(x)≥3∴x≤12-3x+3≥3或12<x≤2x+1≥3或x>23x-3≥3解得|x≤0或x≥2f(x)≥3的解集为{x|x≤0或x≥2}.-14-\n18.在中,角、、的对边分别为、、,且满足.(1)求角的大小;(2)若,求面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(1)利用二倍角公式对原等式化简可求得的值,进而求得.(2)对原等式平方,利用向量的数量积的运算公式求得关于和的关系式,进而利用基本不等式求得的范围,进而求得三角形面积的最大值.试题解析:(1)由得解得,由,所以-14-\n(注:也可将两边平方)即,所以,当且仅当,时取等号此时,其最大值为.19.【2022届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底】已知函数.(1)解不等式的解集;(2)记(1)中集合中元素最小值为,若,且,求的最小值.【答案】(1);(2)4.【解析】试题分析:(1)零点分段可得解不等式的解集;(2)由题意结合均值不等式的结论即可证得题中的不等式,注意等号成立的条件.试题解析:(1),即为,∴或即∴.(2)由(1)知,即,且,∴.-14-\n当且仅当时,取得最小值4.20.【2022届安徽省亳州市二中高三下检测】已知,函数的最小值为.(I)求证:;(II)若恒成立,求实数的最大值.【答案】(Ⅰ)详见解析,(Ⅱ)实数的最大值为.试题解析:(Ⅰ)法一:,∵且,∴,当时取等号,即的最小值为,∴,.法二:∵,∴,显然在上单调递减,在上单调递增,∴的最小值为,∴,.(Ⅱ)∵恒成立,-14-\n∴恒成立,当时,取得最小值,∴,即实数的最大值为.21.【2022届浙江省台州市高三4月调研】已知数列{an}满足:an>0,an+1+1an<2(n∈N*).(1)求证:an+2<an+1<2(n∈N*);(2)求证:an>1(n∈N*).【答案】(1)见解析;(2)见解析.试题解析:(1)由an>0,an+1+1an<2,所以an+1<2-1an<2,因为2>an+2+1an+1≥2an+2an+1,所以an+2<an+1<2.(2)假设存在aN≤1(N≥1,N∈N*),由(1)可得当n>N时,an≤aN+1<1,根据an+1-1<1-1an=an-1an<0,而an<1,所以1an+1-1>anan-1=1+1an-1.于是1aN+2-1>1+1aN+1-1,……1aN+n-1>1+1aN+n-1-1.累加可得1aN+n-1>n-1+1aN+1-1(*)-14-\n22.【2022届浙江省台州市高三4月调研】已知函数f(x)=13x3+12ax2+bx(a,b∈R).(1)若函数f(x)在(0,2)上存在两个极值点,求3a+b的取值范围;(2)当a=0,b≥-1时,求证:对任意的实数x∈[0,2],|f(x)|≤2b+83恒成立.【答案】(1)3a+b的取值范围(-8,0);(2)见解析.【解析】试题分析:(1)f'(x)=x2+ax+b=0在(0,2)上有两个实根,根据二次函数根的分布列不等式组,{f(0)>0f(2)>0Δ>00<-a2<2,将问题转化为线性规划求取值范围;(2)当a=0时,f(x)=13x3+bx,利用导数分b≥0和-1≤b<0两类情况讨论函数的单调性和最值,转化为证明2b+83≥|f(x)|max.试题解析:(1)f'(x)=x2+ax+b,由已知可得f'(x)=0在(0,2)上存在两个不同的零点,故有{f'(0)>0f'(2)>0Δ>0-a2∈(0,2),即{b>02a+b+4>0a2-4b>0a∈(-4,0),令z=3a+b,由图可知-8<z<0,-14-\n故3a+b的取值范围(-8,0).则f(x)在[0,-b]上单调递减,在[-b,2]上单调递增,所以f(-b)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}.因为f(0)=0,f(2)=2b+83>0,f(-b)=23b-b<0,要证|f(x)|≤2b+83,只需证-23b-b≤2b+83,即证-b(-b+3)≤4,因为-1≤b<0,所以0<-b≤1,3<-b+3≤4,所以-b(-b+3)≤4成立.综上所述,对任意的实数x∈[0,2],|f(x)|≤2b+83恒成立.-14-
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