浙江省2022版高考数学一轮复习专题06平面向量的模与夹角特色训练
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六、平面向量的模与夹角一、选择题1.已知单位向量a,b满足a+b=a-b,则a与b-a的夹角是()A.π6B.π3C.π4D.3π4【2022届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】【答案】D【解析】∵|a+b|=|a-b|∴a+b2=a-b2,∴a⋅b=0即a⊥b如图OA=a=1,0,OB=b=0,1,OC=b-a=-1,1即是第二象限的角平分线,所以由图可见a与b-a的夹角是3π4,故选D.2.【2022届河南省林州市第一中学高三10月调研】已知向量满足,则()A.B.C.D.【答案】C3.【2022届河南省洛阳市高三期中】向量均为非零向量,,则的夹角为()A.B.C.D.-15-\n【答案】A【解析】,,所以,即,设的夹角为,,又,所以的夹角为,故选A.4.【2022届云南省红河州高三统一检测】设,,,且,则在上的投影的取值范围()A.B.C.D.【答案】D当时,当故当时,取得最小值为,即当时,,即-15-\n综上所述故答案选.5.【2022届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则的最小值是()A.2B.0C.D.【答案】D6.【2022届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若a=b=c=2,且a⋅b=0,a-c⋅b-c≤0,则a+b-c的取值范围是()A.0,22+2B.0,2C.22-2,22+2D.22-2,2【答案】D【解析】如图所示:OA=a,OB=b,OC=c,OD=a+b∵a-c⋅b-c≤0,∴点C在劣弧AB上运动,a+b-c表示C、D两点间的距离CD。CD的最大值是BD=2,CD最小值为OD-2=22-2.-15-\n故选:D.7.【2022届河北省武邑中学高三上第二次调研】设为单位向量且相互垂直,若向量满足,则的最大值是()A.B.2C.D.1【答案】A【解析】由题意结合可设,8.【2022届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上学期第一次联考】已知直线PA,PB分别于半径为1的圆O相切于点A,B,PO=2,PM=2λPA+(1-λ)PB.,若点M在圆O的内部(不包括边界),则实数λ的取值范围是()A.(-1,1)B.(0,23)C.(13,1)D.(0,1)【答案】B【解析】因为PO=2,由切线长定理知PA=PB=3,又OM=OP+PM=OP+2λPA+(1-λ)PB,因此OM2=9λ2-6λ+1<1,解得0<λ<23.-15-\n点睛:本题首先要学会问题转化,一般动点在圆内可转化为与圆心距离小于半径,因此写出向量OM=OP+PM=OP+2λPA+(1-λ)PB=OB+2λPA-λPB,再根据向量的平方运算,求出|OM|2=9λ2-6λ+1,令其小于半径即可求出.9.【2022届河北省邢台市高三上学期第一次月考】在中,为边上一点,且,向量与向量共线,若,,,则()A.3B.C.2D.【答案】B所以本题选择B选项.10.【2022届四川省双流中学高三上9月月考】已知平面向量满足,若,则的最大值为()A.B.C.D.【答案】D-15-\n【解析】因为,所以,即,由余弦定理可得,如图,建立平面直角坐标系,则,由题设点在以为圆心,半径为的圆上运动,结合图形可知:点运动到点时,,应选答案D.11.【2022届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次联考】已知平面向量满足,则最大值为()A.B.C.D.【答案】D-15-\n,则向量的夹角为60°,设,则,故:,设O到BC的距离为,则,12.【2022届浙江省ZDB联盟高三一模】如图,半径为1的扇形中,,是弧上的一点,且满足,分别是线段上的动点,则的最大值为()-15-\nA.B.C.1D.【答案】C【解析】,选C.二、填空题13.【2022届浙江省温州市高三9月测试一】设向量a,b,且|a+b|=2|a-b|,|a|=3,则|b|的最大值是__________;最小值是__________.【答案】9114.【2022年浙江卷】已知向量a,b满足,则的最小值是___________,最大值是______.【答案】4【解析】设向量的夹角为,由余弦定理有:,,则:,令,则,-15-\n据此可得:,即的最小值是4,最大值是.15.【2022届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若非零向量满足,且,则向量与的夹角为_____.【答案】∴cos===,即.16.【2022届安徽省六安市第一中学高三上第二次月考】如图,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=135∘,斜坐标定义:如果OP=xe1+ye2(其中e1,e2分别是x轴,y轴的单位向量),则x,y叫做P的斜坐标.(1)已知P得斜坐标为1,2,则OP=__________.(2)在此坐标系内,已知A0,2,B2,0,动点P满足AP=BP,则P的轨迹方程是__________.-15-\n【答案】1y=x【解析】(1)∵OP=e1+2e2=e12+2e1∙2e2+2e22=1,∴OP=1.(2)设P(x,y),由AP=BP得|(x,y﹣2)|=|(x﹣2,y)|,∴x2+y-22=x-22+y2整理得:y=x.故答案为:1;y=x.三、解答题17.【2022届江西省六校高三上第五次联考】已知向量满足,,与的夹角为.(1)求;(2)若向量与垂直,求实数的值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).试题解析:(1)∵向量,满足||=3,||=1,与的夹角为,∴||===(2)∵向量与垂直,∴()·()=0,∴,∴解得.18.已知a,b是两个单位向量.(Ⅰ)若|3a-2b|=3,试求|3a+b|的值;(Ⅱ)若a,b的夹角为60∘,试求向量m=2a+b与n=2b-3a的夹角.【答案】(1)23;(2)120∘.【解析】试题分析:(Ⅰ)直接把|3a-2b|=3两边平方,求得a⋅b=13,从而可求|3a+b|的值;-15-\n(Ⅱ)利用平面向量的数量积运算求得m⋅n,再求出|m|,|n|,代入数量积公式求得向量m,n的夹角即可试题解析:(1)∵a,b是两个单位向量,∴ |a|=|b|=1,又|3a-2b|=3,∴9|a|2-12a⋅b+4|b|2=9,即a⋅b=13.∴ |3a+b|=9|a|2+6a⋅b+|b|2=9×1+6×13+1=23(2)|m|=(2a+b)2=4|a|2+4a⋅b+|b|2=4×1+4×12+1=7,|n|=(2b-3a)2=4|b|2-12a⋅b+9|a|2=4-12×12+9=7,m⋅n=(2a+b)⋅(2b-3a)=2|b|2+a⋅b-6|a|2=-72,cosθ=m⋅n|m||n|=-727⋅7=-12,∵ 0≤θ≤180∘,∴夹角θ=120∘.19.【2022届广东省兴宁市沐彬中学高三上第二次月考】已知定点A(0,1),B(0,﹣1),C(1,0),动点P满足:,(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型;(2)当k=2,求的取值范围。【答案】(1)见解析(2)试题解析:(1)设P(x,y),.当k=1时,由,得x2+y2﹣1=(1﹣x)2+y2,整理得:x=1,表示过(1,0)且平行于y轴的直线;当k≠1时,由,得x2+y2﹣1=k(1﹣x)2+ky2,整理得:,表示以点为圆心,以为半径的圆.(2)当k=2时,方程化为(x﹣2)2+y2=1,即x2+y2=4x﹣3,-15-\n∵∴,又x2+y2=4x﹣3,∴.问题归结为求6x﹣y的最值,令t=6x﹣y,∵点P在圆(x﹣2)2+y2=1,圆心到直线t=6x﹣y的距离不大于圆的半径,∴,解得.∴.20.已知.(1)当为何值时,最小?此时与的位置关系如何?(2)当为何值时,与的夹角最小?此时与的位置关系如何?【答案】(1)当时,最小,;(2)时,与的夹角最小,与平行.试题解析:(1),当时,最小,此时,,∴∴当时,最小,此时.(2)设与的夹角为,则,-15-\n要与的夹角最小,则最大,∵,故的最大值为,此时,,解之得,.∴时,与的夹角最小,此时与平行.21.【2022届河北省衡水市馆陶县第一中学高三上第一次月考】已知向量,且,(为常数)(Ⅰ)求及;(Ⅱ)若的最小值是,求实数的值.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)用坐标表示向量的模长;(2)转化成二次函数求最值问题,(1)得②当时,取得最小值,-15-\n由已知得:解得;当时当且仅当时,取得最小值,已知得;解得,这与相矛盾,综上所述,为所求.22.【2022届河南省郑州市第一中学高三上学期入学】已知圆关于直线对称的圆为.(1)求圆的方程;(2)过点作直线与圆交于两点,是坐标原点,是否存在这样的直线,使得在平行四边形中?若存在,求出所有满足条件的直线的方程;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)存在直线和试题解析:(1)圆化为标准为,设圆的圆心关于直线的对称点为,则,且的中点在直线上,所以有,解得:,所以圆的方程为.-15-\n(2)由,所以四边形为矩形,所以.要使,必须使,即:.①当直线的斜率不存在时,可得直线的方程为,与圆交于两点,.因为,所以,所以当直线的斜率不存在时,直线满足条件.,,,要使,必须使,即,也就是:整理得:解得:,所以直线的方程为存在直线和,它们与圆交两点,且四边形对角线相等.-15-
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