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浙江省2022版高考数学一轮复习专题11立体几何角的计算与证明特色训练

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十一、立体几何角的计算与证明一、选择题1.【2022年浙江卷】某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:)是A.B.C.D.【答案】A2.【2022届浙江省温州市高三9月测试(一模)】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积(单位:cm3)是()-23-\nA.43+πB.23+πC.4+π3D.4+2π3【答案】A3.如图(1)在正方形SG1G2G3中,E,F分别是边G1G2,G2G3的中点,沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图(2),使G1G2G3三点重合于G,下面结论成立的是()A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.DG⊥平面SEF【答案】A【解析】证明:∵在折叠过程中,始终有SG1⊥G1E,SG3⊥G3F,即SG⊥GE,SG⊥GF,GE∩GF=E,∴SG⊥平面EFG,故选A.4.如图,在四面体中,若,AB=BC,,是的中点,则下列命题中正确的是()-23-\nA.平面平面B.平面平面C.平面平面,且平面平面D.平面平面,且平面平面【答案】C【解析】因为,,是的中点,⇒平面,由面面垂直判定定理可得平面平面,平面平面,故选C.5.已知正方体,点,,分别是线段,和上的动点,观察直线与,与.给出下列结论:①对于任意给定的点,存在点,使得;②对于任意给定的点,存在点,使得;③对于任意给定的点,存在点,使得;④对于任意给定的点,存在点,使得.其中正确结论的个数是().A.个B.个C.个D.个-23-\n【答案】C②当点与重合时,且,∴平面,∵对于任意给定的点,存在点,使得,故②正确.③只有垂直于在平面中的射影时,,故③正确.④只有平面时,④才正确,因为过点的平面的垂线与无交点,故④错误.综上,正确的结论是②③,故选.6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,点D、E分别是棱AB、BB1的中点,若DE⊥EC1,则侧棱AA1的长为().A.1B.2C.2D.22【答案】B【解析】-23-\n7.【2022届江西省南昌市高三上摸底】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,满足,为球的直径且,则点到底面的距离为A.B.C.D.【答案】B【解析】∵三棱锥的所有顶点都在球的球面上,为球的直径且,∴球心是的中点,球半径,过作平面,垂足是,∵满足,,∴是中点,且,∴,∴点到底面的距离为,故选B.-23-\n8.【2022届广东省广州高三下第一次模拟】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑,平面,,,三棱锥的四个顶点都在球的球面上,则球的表面积为().A.B.C.D.【答案】C9.【2022届海南省八校高三上新起点联考】在三棱锥中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】-23-\n10.【2022年浙江省镇海市镇海中学高中数学竞赛模拟(二)】如图,在四面体中,已知两两互相垂直,且.则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为()A.B.C.D.【答案】B【解析】如图,设(在上,在上,在上).由,,-23-\n知,,.∴在面内与点距离为的点形成的曲线段(图中弧)长为.同理,在面内与点距离为的点形成的曲线段长为.同理,在面内与点距离为的点形成的曲线段长为.同理,在面内与点距离为的点形成的曲线段长为.所以,该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为.故选B.11.【2022届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下第八次模拟】已知正方体的棱长为2,其表面上的动点到底面的中心的距离为,则线段的中点的轨迹长度为()A.B.C.D.【答案】B12.【2022届辽宁省庄河市高级中学高三上开学】已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一个球面上,底面ΔABC满足BA=BC=6,∠B=900,若该三棱锥体积最大值为3,则其外接球的表面积为()A.21πB.323πC.163πD.16π【答案】D【解析】-23-\n二、填空题13.【2022届浙江省名校协作体高三上学期考试】一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后,剩下部分的三视图如下图所示,则该几何体的表面积为____________,体积为_________.【答案】【解析】:由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥,∵正方体的棱长是2,∴三棱锥的体积,∴剩余部分体积,-23-\n截面为边长为的正三角形,其面积为则该几何体的表面积为.14.在正三棱锥中,是的中点,且,底面边长,则正三棱锥的体积为__________,其外接球的表面积为__________.【答案】,15.【2022届浙江省杭州高级中学高三2月高考模拟】如图,正四面体的顶点在平面内,且直线与平面所成角为,顶点在平面上的射影为点,当顶点与点的距离最大时,直线与平面所成角的正弦值为__________.【答案】【解析】当四边形ABOC为平面四边形时,点A到点O的距离最大。此时平面ABOC⊥平面α,过D作DN⊥平面ABOC,垂足为N,则N为正三角形ABC的中心。-23-\n16.【2022课标1,理16】如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_______.【答案】【解析】-23-\n三、解答题17.【2022浙江卷】如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(I)证明:CE∥平面PAB;(II)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值-23-\n【答案】(I)见解析;(II).(Ⅰ)取PA中点F,构造平行四边形BCEF,可证明;(Ⅱ)由题意,取BC,AD的中点M,N,可得AD⊥平面PBN,即BC⊥平面PBN,过点Q作PB的垂线,垂足为H,连结MH.可知MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.依此可在Rt△MQH中,求∠QMH的正弦值.试题解析:(Ⅰ)如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以且,又因为,,所以且,即四边形BCEF为平行四边形,所以,因此平面PAB.-23-\n所以AD⊥平面PBN,由BC//AD得BC⊥平面PBN,那么平面PBC⊥平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=得CE=,在△PBN中,由PN=BN=1,PB=得QH=,在Rt△MQH中,QH=,MQ=,所以sin∠QMH=,所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.18.【2022届浙江省温州市高三9月测试(一模)】如图,四面体ABCD中,AB=BC=CD=33BD=12AD=1,平面ABD⊥平面CBD.-23-\n(1)求AC的长;(2)点E是线段AD的中点,求直线BE与平面ACD所成角的正弦值.【答案】(1)2;(2)217.试题解析:(1)∵AB=1,BD=3,AD=2,∴AB⊥BD,又∵平面ABD⊥平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,∴AB⊥平面CBD,∴AB⊥BC,∵AB=BC=1,∴AC=2.由BC=CD=1,BD=3,得∠BCD=120°,∴BG=32,又∵AB=1,-23-\n∴AG=72,又∵BE=12AD=1,∴sin∠BEH=BHBE=217.19.【2022届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】如图,四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,PA=PB=2,E为CD的中点,∠ABC=60°.(I)求证:直线AE⊥平面PAB;(II)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2)277.【解析】试题分析:(1)易证PA⊥AE,再在底面证明AE⊥CD,从而目标得证;(2)连接PE,过A点作AH⊥PE于H点.由(1)易得AH⊥平面PCD,所以∠AEP为直线AE与平面PCD所成的角,在△PAE中求出所成角的正弦值即可.试题解析:(I)证明:∵∠ADE=∠ABC=60°,ED=1,AD=2,∴AE⊥CD又∵AB//CD,∴AE⊥AB又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AE,PA∩AB=A∴直线AE⊥平面PAB.-23-\n(方法二)如图建立所示的空间直角坐标系A-xyz.P0,0,2,E0,3,0,C1,3,0,D-1,3,0.AE=0,3,0,PC=1,3,-2,DC=2,0,0设平面PCD的法向量n=x,y,z,PC⋅n=0DC⋅n=0⇒x+3y-2z=02x=0⇒n=0,1,32cos<AE,n>=AE⋅nAE⋅n=277.所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为27720.【2022北京卷】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PPD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.(I)求证:M为PB的中点;(II)求二面角B-PD-A的大小;-23-\n(III)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)(3)试题解析:解:(I)设交点为,连接.因为平面,平面平面,所以.因为是正方形,所以为的中点,所以为的中点.(II)取的中点,连接,.因为,所以.又因为平面平面,且平面,所以平面.因为平面,所以.因为是正方形,所以.如图建立空间直角坐标系,则,,,,.-23-\n设平面的法向量为,则,即.令,则,.于是.平面的法向量为,所以.由题知二面角为锐角,所以它的大小为.21.【2022届广东省东莞外国语学校高三第一次月考】如图,矩形中,,分别为边上的点,且,将沿折起至位置(如图所示),连结,其中.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)在线段上是否存在点使得?若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由.(Ⅲ)求点到的距离.-23-\n【答案】(1)见解析;(2)(Ⅲ) 由PF⊥平面ABED,知PF为三棱锥P-ABE的高,利用等积法能求出点A到平面PBE的距离.试题解析:(Ⅰ)连结,由翻折不变性可知,,,在中,,所以在图中,易得,在中,,所以又,平面,平面,所以平面.(Ⅱ)当为的三等分点(靠近)时,平面.证明如下:因为,,所以又平面,平面,所以平面.(注:学生不写平面,扣1分)(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,所以为三棱锥的高.-23-\n设点到平面的距离为,由等体积法得,即,又,,所以,即点到平面的距离为.22.【2022届甘肃省兰州第一中学高三9月月考】如图,已知四棱锥,底面为菱形,,,平面,分别是的中点.(1)证明:;(2)若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值.【答案】(1)详见解析(2)试题解析:(1)证明:由四边形为菱形,,可得为正三角形。因为为BC的中点,所以,又,因此,因为,平面,所以,而,所以-23-\n(2)设为上任意一点,连接、所以=45,于是因为平面,平面,所以平面平面,过作于,则由面面垂直的性质定理可知:平面,所以,过过作于,连接,平面,所以,则为二面角的平面角,在中,,又是的中点,,且在中,,又=,-23-\n在中,==即二面角的余弦值为.-23-

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发布时间:2022-08-25 23:12:24 页数:23
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文章作者:U-336598

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