浙江省2022版高考数学一轮复习专题12计数原理与古典概率特色训练
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十二、计数原理与古典概率一、选择题1.【2022届南宁市高三摸底】2x-1x5的展开式中x3项的系数为()A.80B.-80C.-40D.48【答案】B【解析】由题意可得Tr+1=C5r(2x)5-r(-1x)r,令r=1,T4=-C5124x3,所以x3的系数为-80.选B.2.【2022届广东省德庆县香山中学高三第一次模拟】从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有()种.A.36B.30C.12D.6【答案】A本题选择A选项.3.【2022届北京西城161高三上期中】如图,小明从街道的处出发,先到处与小红会合,在一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为().A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得,小明从街道的E处出发到F处最短路程有条,再从F处到G-12-\n处最短路程有条,故小明从老年公寓可以选择的最短路径条数为条.选B.4.【2022届云南省名校月考一】的展开式中的系数为()A.4B.-4C.6D.-6【答案】B5.【2022届重庆市巴蜀中学高三9月月考】将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架(如图),小红欲从A处行走至B处,则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有()A.360种B.210种C.60种D.30种【答案】C【解析】根据题意,最近路线,那就是不能走回头路,不能走重复的路;所以一共要走3次向上,2次向右,2次向前,一共7次;因为不能连续向上,所以先把不向上的次数排列起来,也就是2次向左和2次向前全排列A44,因为2次向左是没有顺序的,所以还要除以A22,同理2次向前是没有顺序的,再除以A22,接下来,就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中5个位置排三个元素,也就是C53,则共有A44A22A22C53=60种;本题选择C选项.6.【2022届江西省南昌市高三上摸底】-12-\n某校毕业典礼由6个节目组成,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()A.种B.种C.种D.种【答案】A【解析】根据题意,由于节目甲必须排在前三位,分3种情况讨论:①、甲排在第一位,节目丙、丁必须排在一起,则乙丙相邻的位置有4个,考虑两者的顺序,有2种情况,将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置,有种安排方法,则此时有种编排方法;②、甲排在第二位,节目丙、丁必须排在一起,则乙丙相邻的位置有3个,考虑两者的顺序,有2种情况,将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置,有种安排方法,则此时有种编排方法;③、甲排在第三位,节目丙、丁必须排在一起,则乙丙相邻的位置有3个,考虑两者的顺序,有2种情况,将剩下的3个节目全排列,安排在其他三个位置,有种安排方法,则此时有种编排方法;则符合题意要求的编排方法有种;故选A.7.【2022届广东省德庆县香山中学高三第一次模拟】在高校自主招生中,某学校获得5个推荐名额,其中中山大学2名,暨南大学2名,华南师范大学1名,并且暨南大学和中山大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法共有()A.36B.24C.22D.20【答案】B本题选择B选项.8.若,则()A.-1B.1C.2D.-2-12-\n【答案】A【解析】,令,则,故选A.9.【2022届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】现有2个正方体,3个三棱柱,4个球和1个圆台,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为()A.110B.25C.12D.710【答案】C【解析】由题意知共有10个几何体,其中旋转体为球和圆台,共5个,根据古典概型,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率P=510=12.10.【2022届云南省红河州高三检测】袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2;从以上五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为()A.B.C.D.【答案】C11.【2022年浙江省源清中学9月月考】把7个字符1,1,1,A,A,,排成一排,要求三个“1”两两不相邻,且两个“A”也不相邻,则这样的排法共有()A.12种B.30种C.96种D.144种【答案】C【解析】先排列A,A,α,β,若A,B不相邻,有种,若A,B相邻,有种,共有-12-\n6+6=12种,从所形成了5个空中选3个插入1,1,1,共有,若A,A相邻时,从所形成了4个空中选3个插入1,1,1,共有,故三个“1”两两不相邻,且两个“A“也不相邻,则这样的排法共有120−24=96种,故选:C.12.【2022年浙江卷】已知随机变量满足P(=1)=pi,P(=0)=1—pi,i=1,2.若0<p1<p2<,则()A.<,<B.<,>C.>,<D.>,>【答案】A【解析】∵,∴,∵,∴,故选A.二、填空题13.【2022届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若3x-1xn的展开式各项系数之和为64,则n=___;展开式中的常数项为___.【答案】6-54014.【2022年浙江卷】已知多项式2=,则=________________,=________.【答案】164-12-\n【解析】由二项式展开式可得通项公式为:,分别取和可得,取,可得.【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数,属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项展开式的通项公式;(可以考查某一项,也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;(3)二项式定理的应用.15.【2022年浙江省镇海市镇海中学高中数学竞赛模拟二】省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班,要求每人值班1天,每天安排2人.若6位医生中的甲不能值2号,乙不能值3号,则不同的安排值班的方法共有__________种.【答案】42;16.【2022年浙江省源清中学9月月考】已知一个袋子中装有4个红球和2个白球,假设每一个球被摸到的可能性是相等的,若从袋子中摸出3个球,记摸到的白球的个数为,则的概率是_______;随机变量期望是_______.【答案】1【解析】根据题意知ξ=0,1,2,;;-12-\n;所以.故答案为:.三、解答题17.现有道数学题,其中道选择题,道填空题,小明从中任取道题,求:(1)所取的道题都是选择题的概率;(2)所取的道题不是同一种题型的概率.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)将题目进行编号,列举出所有从中任取道题的所有基本事件,找出所取的两道题都是甲类题的基本事件,利用古典概型计算即可;(2)找出所取的两道题不是同一类题的基本事件,利用古典概型计算结果.试题解析:设4道选择题编号为,2道填空题编号为,从中任取2题有()()()()()()()()()()()()()()()共15种(1)其中两道题都是甲类题的基本事件共有种,由古典概型概率公式可得两道题都是甲类题的概率为P=.(2)其中两道题不是同一类题的基本事件共有种,由古典概型概率公式可得两道题不是同一类题的概率为P=.18.某校课改实行选修走班制,现有甲,乙,丙,丁四位学生准备选修物理,化学,生物三个科目.每位学生只选修一个科目,且选修其中任何一个科目是等可能的.(1)求恰有2人选修物理的概率;(2)求学生选修科目个数的分布列及期望.【答案】(1)(2)【解析】-12-\n试题解析:(1)解:这是等可能性事件的概率计算问题.解法一:所有可能的选修方式有34种,恰有2人选修物理的方式种,从而恰有2人选修物理的概率为解法二:设对每位学生选修为一次试验,这是4次独立重复试验.记“选修物理”为事件A,则从而,由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知,恰有2人选修物理的概率为(2)ξ的所有可能值为1,2,3综上知,ξ有分布列从而有19.甲、乙同学参加学校“一站到底”闯关活动,活动规则:①依次闯关过程中,若闯关成功则继续答题;若没通关则被淘汰;②每人最多闯3关;③闯第一关得10分,闯第二关得20分,闯第三关得30分,一关都没过则没有得分.已知甲每次闯关成功的概率为-12-\n,乙每次闯关成功的概率为. (Ⅰ)设乙的得分总数为,求得分布列和数学期望;(Ⅱ)求甲恰好比乙多30分的概率.【答案】(Ⅰ)分布列见解析;(Ⅱ)甲恰好比乙多30分的概率为试题解析:解:(Ⅰ)的取值为0,10,30,60.,,,.则的分布如下表:0103060(Ⅱ)设甲恰好比乙多30分为事件,甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件,甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件,则,为互斥事件..所以,甲恰好比乙多30分的概率为.-12-\n20.【浙江卷】设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和.,求ξ分布列;(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若,求a:b:c.【答案】(1)ξ23456P(2)3:2:1【解析】(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6,P(ξ=2)==;P(ξ=3)==;P(ξ=4)==;P(ξ=5)==;P(ξ=6)==.故所求ξ的分布列为ξ23456P(2)由题意知η的分布列为η123PEη==Dη=(1﹣)2+(2﹣)2+(3﹣)2=.得,解得a=3c,b=2c,故a:b:c=3:2:1.21.甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5-12-\n局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).【答案】(1);(2).试题解析:用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,则P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)=2+×2+××2=.=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.故X的分布列为2345-12-\nE(X)=2×+3×+4×+5×=.22.(14分)某工厂在试验阶段大量生产一种零件,这种零件有、两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若仅有A项技术指标达标的概率为,A、B两项技术指标都不达标的概率为.按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品.(1)求一个零件经过检测为合格品的概率?(2)若任意抽取该种零件4个,设表示其中合格品的个数,求的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)【解析】(1)设、两项技术指标达标的概率分别为、由题意,得解得,∴一个零件经过检测为合格品的概率为7分(2)依题意知,分布列为,其中,所以14分-12-
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