2023年新高考一轮复习讲义第19讲 利用导数证明不等式（解析版）

第19讲　利用导数证明不等式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知数列中，，若，则下列结论中错误的是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：A.由题得所以该选项正确；B.由题得，，所以，当时，也满足，所以，所以该选项正确；C.由前面得，，所以也适合，所以.设，所以函数在单调递减，所以所以，所以，，，所以所以，所以该选项正确；D.,所以该选项错误.故选：D2．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）下列大小比较中，错误的是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：对于选项D,构造函数，所以，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以.（当且仅当时取等）则令，则，化简得，故，故，故，所以选项D错误；对于选项A，，在中，令，则，化简得，故，所以.所以，所以选项A正确；对于选项B,在中，令，则，所以，所以选项B正确；对于选项C,所以，所以选项C正确.故选：D3．（2022·河北衡水中学一模）已知实数，且，为自然对数的底数，则（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，函数在上单调递增，且，因为所以，所以，即，又，所以，所以，即，综上，.故选：D4．（2022·福建福州·高三期末）设函数，则（       ）A．B．函数有极大值为试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 C．若，则D．若，且，则【答案】A【解析】A.，故正确；B.求导，令，得，当时，，当时，，所以当时，函数有极小值为，故错误；C.因为，所以，则，，，令，则，令，得或，当或，，当时，，故无最小值，故错误；D.，因为，且，所以，由B知在上递减，在上递增，所以，因为的大小不确定，故无法判断的大小，故错误；故选：A5．（多选）（2022·湖南·模拟预测）已知，，且，则下列结论一定正确的是（       ）A．B．试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 C．D．【答案】AC【解析】令，则，所以当时，，所以在上单调递增；由得，即，∵，∴，∴，即，∴，即，∴，A正确；由知，所以，所以选项B错误；由知，所以选项C正确．由，知，所以，所以D错误，故选：AC．6．（2022·河北沧州·二模）已知实数满足，则（       ）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】由得，又，所以，所以，所以，选项错误；因为，所以，即，所以，选项正确，因为，所以，所以.令，则，所以在区间上单调递增，所以，即，又，所以，即，选项正确.故选：BCD7．（2022·北京市第九中学模拟预测）已知．试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 (1)当时，判断函数零点的个数；(2)求证：.【解】(1)当时，，，当且仅当时取“=”，所以在R上单调递增，而，即0是的唯一零点，所以函数零点的个数是1.(2)，令，则，因，则，因此，函数在上单调递增，，，所以当时，成立.8．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数.(1)若函数，讨论的单调性.(2)若函数，证明：.【解】(1)解：因为，所以，的定义域为，.当时，在上单调递增.当时，若，则单调递减；若，则单调递增.综上所述：当时，f(x)在上单调递增;当时,f(x)在(0,1-a)上单调递减，在(1-a,+)上单调递增；(2)证明：.设，则.当时，单调递减；当时，单调递增.所以，因此，当且仅当时，等号成立.设，则.试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 当时，单调递减：当时，单调递增.因此，从而，则，因为，所以中的等号不成立，故.9．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知.(1)求的最大值；(2)求证：（i）存在，使得；（ii）当存在，使得时，有.【解】(1)法一：，当时，单调递增；当时，单调递减..法二：，由在上均为减函数，∴在上单调递减，又，当时，单调递增；当时，单调递减..(2)过的直线方程为，令，则.试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，易知在单调递减.（i）当时，在单调递减，则，这与矛盾，不符题意；同理可证，当时不符题意.，故存在，使，即.（ii）要证，即证，由在单调递减，即证，即证，即证，，可证，其中.在单调递减，式得证，故.10．（2022·山东省实验中学模拟预测）已知函数．(1)求函数的最大值；(2)若关于x的方程有实数根，求实数k的取值范围；试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 (3)证明：．【解】(1)，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减所以，即当时，取最大值1．(2)依题意，，令，，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，即，因此的值域是，方程有解，有，所以实数k的取值范围是.(3)由（1）知，当且仅当时取等号，因此当时，，即当时，，，             所以．11．（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知函数……自然对数底数）.(1)当时，求函数f（x）的单调区间；(2)当时，（i）证明：存在唯一的极值点：（ii）证明：【解】(1)，构建当时，则在上单调递减，且当时，，当时，则函数的单调递增区间为，单调递减区间为试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 (2)（i）由（1）可知：当时，在上单调递减∴在内存在唯一的零点当时，，当时，则函数的单调递增区间为，单调递减区间为∴存在唯一的极值点（ii）由（i）可知：∵，即，且∵在单调递减则构建，则当时恒成立则在上单调递增，则则，即∴【素养提升】试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 1．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知为常数，函数有两个极值点，则（       ）A．B．C．D．【答案】AC【解析】,令,由题意可得有两个实数解；所以函数有且只有两个零点；.①当时,单调递增,因此至多有一个零点,不符合题意,应舍去；②当时,令,解得,因为当时,,函数单调递增;当时,   ,函数单调递减,所以是函数的极大值点,则>0,即>0,解得，故选项A正确；因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，故选项C正确；又，所以，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ==，令，则，当，，单调递增，而，所以，故选项D错误；当时（符合，此时仍有两个极值点），此时，解得，所以，故正负不确定，因此选项B错误；综上所述，AC为正确答案；故选：AC.2．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）已知函数．(1)求的极值点．(2)若有且仅有两个不相等的实数满足．（i）求k的取值范围（ⅱ）证明．【解】(1)函数的导函数为.当时，，所以函数单调递减；当时，，所以函数单调递增.所以为的极值点.(2)因为有且仅有两个不相等的实数满足，所以.试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 （i）问题转化为在(0,+∞)内有两个零点,则.当时,,单调递减；当时,,单调递增.若有两个零点,则必有,解得：.若k≥0,当时,,无法保证有两个零点；若,又,，,故存在使得,存在使得.综上可知,.（ⅱ）设则t∈(1,+∞).将代入,可得，（*）.欲证:，需证即证，将（*）代入，则有，则只需要证明：，即.构造，则，.令，则.所以，则，所以在内单减.又，所以当时，有，单调递增；当时，有，单调递减；所以，因此，即.综上所述，命题得证.3．（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，且，①证明：；试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ②证明：．（注：为自然对数的底数）【解】(1)函数，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，此时单调递减，令，此时单调递增.综上可得：当时，的增区间为，无减区间；当时，的增区间为，减区间为.(2)证明：①由（1）可知，当时，不可能有两个零点，当时，即时，有两个零点且，.设，则，所以在上单调递增，，即，所以，又，因为在单调递减，所以且，故；②，由，故，而且在单调递增，所以，又，则；由于，由①可知.试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 综上可得：．试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司