2022届高考数学二轮专题复习24利用导数证明不等式

利用导数证明不等式1．隐零点问题1．已知函数．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）当时，证明：(其中e为自然对数的底数)．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）的定义域为，，当，即时，在递增．当时，，在上递增．当，即时，在上，递增．综上所述，当时，的递增区间为；当时，的递增区间为；当时，，的递增区间为．（2）当时，由化简得，构造函数，，在上递增，，故存在，使得，即．15 当时，递减；当时，递增，所以时，取得极小值，也即是最小值．，所以，故．2．已知函数．（1）设是的极值点，求的单调区间；（2）当时，求证：．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析．【解析】（1）的定义域为，，是的极值点，，即，，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，且，的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）由可得，所以，令，则，在上单调递增，且．，使得，有，①且在区间上单调递减，在区间上单调递增，15 ，由①得，即有，，，又在区间上单调递增，，，，，结论得证．3．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个不大于的极值点，证明：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）定义域为R，由，得，当时，，此时在上单调递增；在上单调递减．当时，令，即，，因为，所以，令，则或，即在和上单调递增．令，则，即在上单调递减．15 当时，令，即．因为，所以，令，则或，即在和上单调递增．令，则，即在上单调递减．综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减．当时，在和上单调递增，在上单调递减．当时，在和上单调递增，在上单调递减．（2）因为函数有两个不大于的极值点，由（1）知，因为且，所以，所以要证明，只要证明，即要证明，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递增，因为，，15 所以在上有唯一零点，设为，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以．因为，即，即，所以，所以，所以原不等式成立．2．极值点偏移问题1．（多选）已知函数有两个极值点，，则（）A．a的取值范围为B．C．D．【答案】BCD【解析】由题设，且定义域为，则，当时，则单调递增，不可能存在两个零点，即不可能存在两个极值点，A错误；当时，即单调递增，当时，即单调递减，即，当时，，所以至多有一个零点；当时，，而，当趋向于0时趋于负无穷大，当趋向于正无穷时趋于负无穷大，综上，，在内各有一个零点，且15 ，B：由且趋向于0时趋于负无穷大，所以，故，令，，又，所以单调递减，故当时，，又，所以，而，因此，故正确；C：，令，显然有，令，显然，因此有，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，因为，所以，令，即，因为，所以单调递增，因为，所以，15 而，所以，因为，所以，当时，单调递减，因此有，即，正确；D：由，则，故，正确，故选BCD．2．已知函数．（1）证明：在R上为增函数；（2）若，证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意，，令，则，令，则，故在区间上，，为减函数；在区间上，，为增函数，故，故在R上为增函数．（2）由（1）知为增函数，且，故由，，可得，则．欲证，只需证，即证，即证．令，则，令，则，故为增函数，，15 故为增函数，，故，则，原式得证．3．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上有两个不相等的零点，求证：．【答案】（1）当时，单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析．【解析】（1），．①当时，恒成立，单调递增；②当时，由，得，单调递增，由，得，单调递减．综上：当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）∵在上有两个不相等的零点，，不妨设，∴在上有两个不相等的实根，令，，∴，由，得，单调递减；由，得，单调递增，，，，，∴，要证，即证，15 又∵，只要证，即证，∵，即证，即证，即证，即证，令，，∴，令，，则，当时，恒成立，所以在上单调递增，又，∴，∴，∴，∴在上递增，∴，∴，∴．4．已知．（1）若函数在上有极值，求实数a的取值范围；（2）已知方程有两个不等实根，证明：（注：是自然对数的底数）【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1），定义域为，．令，解得；令，解得，所以在上单增，在上单减，在处取得唯一的极值．要使函数在上有极值，只需，解得，即实数a的取值范围为．15 （2）记函数，则函数有两个不等实根．因为，，两式相减得，，两式相加得，．因为，所以要证，只需证明，只需证明，只需证明，证．设，只需证明．记，则，所以在上单增，所以，所以，即，所以．即证．3．双变量问题1．若函数存在两个极值点和，则取值范围为__________．【答案】【解析】令，则，由且，解得．15 ，令，，在区间上递减，．所以取值范围是，故答案为．2．已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）设存在两个极值点，且，若，求证：．【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析．【解析】（1）解：当时，，，所以，令，解得或；令，解得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减．（2）解：，，，因为存在两个极值点，，所以存在两个互异的正实数根，，所以，，则，所以，15 所以，令，则，，，在上单调递减，，而，即，．3．已知函数，在处的切线与直线平行．（1）求实数的值，并判断函数的单调性；（2）若函数有两个零点，求证：．【答案】（1），函数在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析．【解析】（1）解：函数的定义域，因为，所以解得，，，令，解得，故在上单调递减，令，解得，故在上单调递增．（2）解：由，为函数的两个零点，得，15 两式相减，得，即，，因此，，令，由，得，则，构造函数，则，所以在上单调递增，故，，又，所以，所以，故，命题得证．4．其它1．已知函数．（1）求函数的单调区间和极值；（2）当时，求证：．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，极小值为，没有极大值；（2）证明见解析．【解析】（1）易知函数定义域为R，∵，∴，令，解得，在上单调递增，，解得，在上单调递减，即的单调递增区间为，单调递减区间为，15 ∴函数的极小值为，没有极大值．（2）解法一：要证，即证，设，要证原不等式成立即证成立，∵，∵，∴(当且仅当，时等号成立)，由（1）知(等号成立)，∴，∴在单调递增，∴，∴当时，得证．解法二：要证，即证，设，要证原不等式成立即证成立，∵，设，则，令，则，∵，，又，∴，即在单调递增，∴，即在单调递增，∴，∴，即在单调递增，∴，∴当时，得证．2．已知函数．15 （1）讨论函数的单调性；（2）证明：对任意正整数n，．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）的定义域为，，令，得或，①当，即时，若，则，递增；若，则，递减；②当，即时，若，则，递减；若，则，递增；若，则，递减，综上所述，当时，在，单调递减，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减．（2）由（2）知当时，在上递减，，即，，，，2，3，，，，．15