2023年新高考一轮复习讲义第05讲 基本不等式（解析版）

第5讲　基本不等式　学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（       ）A．3B．2C．1D．-1【答案】D【解析】，当且仅当,即等号成立.故选：D.2．（2022·广东·广州六中高一期中）已知m，n为正实数，且，则下列不等式一定成立的是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】，为正实数，且，即在上均为减函数，在上为增函数.当时，，故A错误；当时，，故B错误；取，此时，故C错误；，，，试卷第12页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，，，故D正确.故选：D3．（2022·浙江省江山中学高三期中）设，，若，则的最大值为（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：法一：（基本不等式）设，则，条件，所以，即.故选：D.法二：（三角换元）由条件，故可设，即，由于，，故，解得所以，，所以,当且仅当时取等号.故选：D.4．（2022·山东济宁·三模）已知二次函数的值域为，则的最小值为（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】若，则函数的值域为，不合乎题意，因为二次函数的值域为，则，试卷第12页，共1页学科网（北京）股份有限公司 且，所以，，可得，则，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.5．（2022·辽宁·模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最小值为（       ）A．2B．4C．8D．12【答案】C【解析】解：由，且，可得，所以，当且仅当，即，时取等号．故选：C6．（2022·湖北·模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最小值为（       ）A．B．5C．9D．10【答案】A【解析】，当且仅当，即时，等号成立．故选：A．7．（2022·天津红桥·二模）设，，若，则的最小值为（       ）A．B．2C．D．【答案】D【解析】解：因为，，且，所以，试卷第12页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以当且仅当，即，或时取等号；故选：D8．（2021·湖北·高三开学考试）已知，且，若不等式恒成立，．则m的最大值为（       ）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】∵  不等式恒成立∴     又，，∴   ，当且仅当时等号成立，∴   ，∴   ，又，∴   ，故选：A.9．（多选）（2022·河北沧州·二模）已知实数满足，则（       ）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】由得，又，所以，所以，所以，选项错误；因为，所以，即，所以，选项试卷第12页，共1页学科网（北京）股份有限公司 正确，因为，所以，所以.令，则，所以在区间上单调递增，所以，即，又，所以，即，选项正确.故选：BCD10．（多选）（2022·广东惠州·高三阶段练习）若，且，则（       ）A．B．C．D．【答案】AC【解析】对于A，，且，，解得，故A正确；对于B，不妨取，则不满足，故B错误；对于C，，且，，当且仅当时，等号成立，，故C正确；对于D，，且，，当且仅当，即时等号成立，∵－3＝，∴，故D错误.故选：AC11．（多选）（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，且，则（       ）A．的最大值为B．的最小值为9C．的最小值为D．的最大值为2【答案】BC【解析】，，当时，即时，可取等号，A错；，当时，即时，可取等号，B对；试卷第12页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，当时，可取等号，C对；，D错.故选：BC12．（多选）（2022·湖南衡阳·三模）已知实数，，．则下列不等式正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】∵，则∴，当且仅当即时等号成立A正确；令，则，当且仅当即时等号成立D正确；∵，即，则，当且仅当时等号成立，B正确；∵，当且仅当时等号成立，C不正确；故选：ABD．13．（2022·山东济南·三模）已知正实数a，b满足，则的最小值为______．【答案】3【解析】由题设，，当且仅当时等号成立.试卷第12页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：314．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知正数x，y满足，则的最大值为____________．【答案】2【解析】因为,则，故由题意，正数x，y满足，可得：，即，故，当且仅当时取等，故答案为：2．15．（2022·浙江台州·二模）已知正实数满足，则的最大值为___________；的最大值为___________.【答案】     【解析】①由，得，当且仅当，即时取等；②，当且仅当，即时取等，又由上知，故，当且仅当时取等，所以，当且仅当时取等.故答案为：；.16．（2021·湖北·襄阳四中一模）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】∵，，且，∴，试卷第12页，共1页学科网（北京）股份有限公司 当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为8，由解得，∴实数的取值范围是故答案为：．17．（2021·江苏·沛县教师发展中心高三阶段练习）（1）若，求的最小值；（2）已知正实数、，若，求的最小值；（3）已知，其中，求的最小值．【解】（1），．即，                                        当且仅当时，即取等号，的最小值                                             （2）正实数满足，，        或者（舍），当且仅当时取等号，的最小值为6                           （3），则，由基本不等式得          当且仅当时，即当时取得等号．                                因此，函数的最小值为．试卷第12页，共1页学科网（北京）股份有限公司 18．（2022·全国·高三专题练习）一个生产公司投资A生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元．该公司通过引进先进技术，在生产线A投资减少了x万元，且每万元的利润提高了；若将少用的x万元全部投入B生产线，每万元创造的利润为万元，其中，．(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润，求x的取值范围；(2)若生产线B的利润始终不高于技术改进后生产线A的利润，求a的最大值．【解】(1)由题设可得，整理得：，而，故.(2)由题设得生产线的利润为万元，技术改进后，生产线的利润为万元，则恒成立，故，而，故，而，当且仅当时等号成立，故，故的最大值为.【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）若a，，，则的最大值为（       ）A．B．C．2D．4【答案】A【解析】，当且仅当时，等号成立；又，当且仅当时，即，等号成立；试卷第12页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，解得，，所以的最大值为故选：A2．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知，则的最大值为________．【答案】【解析】，所以，设，代入，则有，看成关于的一元二次方程，若方存在，则关于的一元二次方程必须有解，所以判别式或，所以或又函数在上单调递增，所以当且仅当时取得等号，此时，.故答案为：．3．（2022·浙江·模拟预测）已知，且，则的最小值是______________．【答案】9【解析】解：由题意得：①，②所以，所以①式令所以，即试卷第12页，共1页学科网（北京）股份有限公司 4．（2022·浙江·三模）已知实数，则的最小值为_________．【答案】【解析】解：因为，所以因为，所以，所以原式，当且仅当时取等号．故答案为：5．（2022·全国·高三专题练习）设，则最小值为________【答案】4【解析】原式，，则，，，，，当且仅当，时，即时等号成立，又，当时等号成立，所以原式，故最小值为4.故答案为：4试卷第12页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第12页，共1页学科网（北京）股份有限公司