2023年新高考一轮复习讲义第18讲 导数与函数的极值、最值（解析版）

第18讲　导数与函数的极值、最值学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间内的极小值点的个数为（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的极小值点需满足左减右增，即且左侧，右侧，由图可知，一共有个点符合.故选：A2．（2022·福建莆田·三模）已知函数的最小值是4．则（       ）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】由题，，，所以单调递增，又，所以，，故为最小值点，即，解得，故选：A3．（2022·广东茂名·高三阶段练习）已知函数的图象关于对称，，且在上恰有3个极大值点，则的值等于（       ）A．1B．3C．5D．6【答案】C试卷第18页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【解析】依题意，的图象关于对称，，且在上恰有3个极大值点，所以，其中，所以，，所以.故选：C4．（2022·福建·三模）关于函数，有下列四个命题：甲：在单调递增；乙：是的一个极小值点：丙：是的一个极大值点；丁：函数的图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称.其中只有一个是假命题，则该命题是（       ）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】由于的最小正周期为，半周期为,，所以乙、丙为真命题，（否则两个都是假命题，不符合题意.）由丙可知，关于直线对称，所以函数的图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，丁正确.故甲为假命题.另外，由丙可知，关于直线对称，的最小正周期为，所以关于直线对称，，所以在区间不单调，甲为假命试卷第18页，共1页学科网（北京）股份有限公司 题.故选：A5．（2022·福建福州·三模）已知函数，以下结论中错误的是（       ）A．是偶函数B．有无数个零点C．的最小值为D．的最大值为【答案】C【解析】对于A，定义域为，，为偶函数，A正确；对于B，令，即，，解得：，有无数个零点，B正确；对于C，，若的最小值为，则是的一个极小值点，则；，，不是的极小值点，C错误；对于D，，；则当，，即时，取得最大值，D正确.故选：C.6．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数满足：对，都有，则函数的最小值为（       ）A．-20B．-16C．-15D．0【答案】B【解析】解：因为函数满足：对，都有，所以，即，试卷第18页，共1页学科网（北京）股份有限公司 解得，所以，则，，，当或时，，当时，，所以的最小值为，故选：B7．（2022·辽宁·高三阶段练习）已知是函数的极值点，则实数a的值为（       ）A．1B．C．2D．e【答案】C【解析】由题意可得：，因为是函数的极值点，故，得，经验证：时，，当时，，递减，当时，，递增，则是函数的极小值点，故，故选：C8．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知函数有两个极值点，且，则的极大值为（       ）试卷第18页，共1页学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为，，所以有两个不同的实数解，且由根与系数的关系得，，由题意可得，解得，此时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得极大值．故选：B．9．（多选）（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是（       ）A．，B．是的极大值点C．是的极小值点D．是的极小值点【答案】BD【解析】对于A，是的极大值点，并不是最大值点，不能得出在整个定义域上最大，A不正确；对于B，因函数与函数的图象关于y轴对称，则是的极大值点，B正确；对于C，因函数与函数的图象关于x轴对称，则是的极小值点，与无关，C不正确；对于D，因函数与函数的图象关于原点对称，则是的极小值点，D正确．试卷第18页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故选：BD10．（多选）（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）对于函数，下列说法正确的是（       ）A．B．在处取得极大值C．有两个不同的零点D．若在上恒成立，则【答案】ABD【解析】对于函数，，，；令，得，解得，当时，，所以函数在上为单调递增函数，当时，，所以函数在,上为单调递减函数，∴，又，∴，故A正确；所以函数在处取得极大值，故B正确；因为时，得，解得，所以函数只有一个零点，选项C错误；因为在上恒成立，则在上恒成立，令，则，令，解得，当时，，单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，，所以，选项D正确.故选：ABD.11．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数的极值点为___________.【答案】【解析】当时，，，令，解得，试卷第18页，共1页学科网（北京）股份有限公司 令，解得，所以函数在单调递增，在单调递减，易知为极小值点；当时，，恒成立，所以函数在单调递减，所以无极值点，综上所述，的极值点为.故答案为：.12．（2022·湖北·模拟预测），的最小值为___________．【答案】3【解析】令，则当时，单调增，当时，令，时，递减时，递增∴综上：故答案为：3．13．（2022·天津河西·二模）若函数在处取得极值，则____________．【答案】【解析】解：，因为函数在处取得极值，所以，，解得，此时，，故当时，，单调递减；当和时，，单调递增；所以，函数在处取得极小值，满足题意，试卷第18页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以，所以故答案为：14．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_______．【答案】【解析】当时，由可得，令，其中，则，由，可得，列表如下：增极大值减如下图所示：因为在内有且只有一个零点，则，所以，，则，当时，，此时函数单调递减，试卷第18页，共1页学科网（北京）股份有限公司 当时，，此时函数单调递增，则当时，，又因为，，所以，，因此，在上的最大值与最小值的和为.故答案为：.15．（2022·天津·二模）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)当时，求函数在区间上的最小值．【解】(1)当时，       ，故切线方程为：(2)，①当时，，仅有单调递增区间，其为：②当时，，当时，；当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：③当时，，当时；当时的单调递增区间为：，单调递减区间为：综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为：当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：(3)当时，由（2）中③知在上单调单调递减，在上单调递增，∴①当，即时，在上单调递增，，试卷第18页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，∴，③当，即时，在上单调递减，∴.．16．（2022·北京市第十二中学三模）已知函数.(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.【解】(1)解：当时，函数，其定义域为，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)解：由，可得，设，则，令，即，解得，当时，；当时，，所以在区间上单调递增，在区间上，单调递减，且，显然，试卷第18页，共1页学科网（北京）股份有限公司 若在上存在极值，则满足或，解得，综上可得，当时，在上存在极值，所以实数的取值范围为.试卷第18页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【素养提升】1．（2022·浙江·模拟预测）已知，则的最大值是（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，；令，；令，解得：，，，当时，；当时，；在，上单调递增，在，上单调递减；；当时，，；当时，，；综上所述：的最大值为.故选：C.2．（多选）（2022·海南海口·二模）已知函数及其导函数满足，且，则（       ）A．在上单调递增B．在上有极小值C．的最小值为-1D．的最小值为0【答案】ABD试卷第18页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【解析】设，则，所以（C为常数），所以，又，所以，所以，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得极小值，因为，所以，所以在上有极小值可知A，B都正确．，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的极小值即最小值为，故C错误．，当时，，，所以，当时，，，所以，而当时，，所以的最小值为0，故D正确．故选：ABD.3．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知函数，若存在，使得试卷第18页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，则的最小值为__________.【答案】【解析】当时，，，当时，，当时，，即当时，取得极小值为.当时，为增函数，且，函数的图像如图：设，由题可知，由得，则，则，，所以当时，取得最小值为.故答案为：.4．（2022·北京·人大附中模拟预测）已知函数．(1)若在处的切线与轴平行，求的值；(2)有两个极值点，比较与的大小；(3)若在上的最大值为，求的值．【解】(1)，由，解得，当时，，，符合题意；当时，，，此时切线与x轴重合，不符合题意；所以；试卷第18页，共1页学科网（北京）股份有限公司 (2)由（1）知：，令可得或，则在单增，在上单减，则是的两个极值点，不妨设，则，，又，即；(3)由（2）知：在单增，在上单减.当时，，则在上单增，则，解得或，故；当时，，则在上单增，在上单减，则，解得，不满足，不合题意；当时，，则在上单减，则，不合题意；当时，，则在上单减，在上单增，则，若，则，解得或，不满足，不合题意，若，则，解得或，不满足，不合题意；当时，则在上单增，则，解得或，故；综上：或.5．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.【解】(1)解：当时，函数，可得，令，可得，所以函数单调递增，试卷第18页，共1页学科网（北京）股份有限公司 因为，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)解：由函数，可得，令，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，可得，所以，①当时，，此时当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数的极小值为，无极大值；②当时，，又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，因为当时，令，可得，又因为，所以，即，所以，所以，，因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；试卷第18页，共1页学科网（北京）股份有限公司 当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数有两个极小值点，故实数的取值范围为.试卷第18页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第18页，共1页学科网（北京）股份有限公司