第三章　§3.3　导数与函数的极值、最值

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§3.3　导数与函数的极值、最值考试要求　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．(　√　)(2)函数的极小值一定小于函数的极大值．(　×　)(3)函数的极小值一定是函数的最小值．(　×　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(4)函数的极大值一定不是函数的最小值．(　√　)教材改编题1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4答案　A解析　由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个．2．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________．答案　(－∞，－)∪(，＋∞)解析　f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，解得a>或a<－.3．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.答案　4解析　f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.题型一　利用导数求解函数的极值问题命题点1　根据函数图象判断极值例1　(多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是(　　)A．当x＝－1时，f(x)取得极小值B.f(x)在[－2,1]上单调递增成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期C．当x＝2时，f(x)取得极大值D.f(x)在[－1,2]上不具备单调性答案　AC解析　由导函数f′(x)的图象可知，当－2<x<－1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x＝－1时，f′(x)＝0；当－1<x<2时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x＝2时，f′(x)＝0；当2<x<4时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x＝4时，f′(x)＝0，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，故选项A正确；f(x)在[－2,1]上有减有增，故选项B错误；当x＝2时，f(x)取得极大值，故选项C正确；f(x)在[－1,2]上单调递增，故选项D错误．命题点2　求已知函数的极值例2　(2022·西南大学附中模拟)已知函数f(x)＝lnx＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，讨论函数f(x)的极值．解　因为f(x)＝lnx＋2ax2＋2(a＋1)x，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋4ax＋2a＋2＝，若a<0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0，故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减；故f(x)在x＝－处取得唯一的极大值，且极大值为f ＝ln－－1.若a>0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值．综上，当a<0时，f(x)的极大值为ln－－1，无极小值；当a>0时，f(x)无极值．命题点3　已知极值(点)求参数例3　(1)(2023·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为(　　)A．2B．4C．6D．2或6答案　A成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　由题意，f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，则f′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.若c＝2，则f′(x)＝(x－2)(3x－2)，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极小值，满足题意；若c＝6，则f′(x)＝(x－6)(3x－6)，当x∈(－∞，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(2,6)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极大值，不符合题意．综上，c＝2.(2)(2023·威海模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　由f(x)＝ex－ax2－2ax，得f′(x)＝ex－2ax－2a.因为函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，所以f′(x)＝ex－2ax－2a有两个变号零点，令f′(x)＝0，得＝，设g(x)＝，y＝；则g′(x)＝－，令g′(x)＝0，即－＝0，解得x＝0，当x>0时，g′(x)<0；当x<0时，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．分别作出函数g(x)＝与y＝的图象，如图所示，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期由图可知，0<<1，解得a>，所以实数a的取值范围为.思维升华　根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为(　　)A．－1或3B．1或－3C．3D．－1答案　C解析　因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)在x＝1处取得极大值10，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，②联立①②，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.当a＝－2，b＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(x－1)(3x－1)，f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极小值10，不符合题意；当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝(x－1)(3x－9)，f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值10，符合题意．综上可得，a＝－6，b＝9.则a＋b＝3.(2)(2022·哈师大附中模拟)已知函数f(x)＝＋2klnx－kx，若x＝2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是(　　)A．(0,2]B．[2，＋∞)C.D.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期答案　D解析　由题意，f(x)＝＋2klnx－kx(x>0)，f′(x)＝·，令f′(x)＝0得x＝2或k＝，令φ(x)＝(x>0)，∴φ′(x)＝，∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(2)＝，又当x→＋∞时，φ(x)→＋∞，∴若φ(x)＝k无实数根，则k<，∵当k＝时，φ(x)＝k的解为x＝2，∴实数k的取值范围是.题型二　利用导数求函数最值命题点1　不含参函数的最值例4　(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　　)A．－，B．－，C．－，＋2D．－，＋2答案　D解析　f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1，x∈[0,2π]，则f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)·cosx＝(x＋1)cosx，x∈[0,2π]．令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍去)，x＝或x＝.因为f ＝cos ＋sin ＋1成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期＝2＋，f ＝cos ＋sin ＋1＝－，又f(0)＝cos0＋(0＋1)sin0＋1＝2，f(2π)＝cos2π＋(2π＋1)sin2π＋1＝2，所以f(x)max＝f ＝2＋，f(x)min＝f ＝－.故选D.命题点2　含参函数的最值例5　已知函数f(x)＝－lnx(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在上的最大值g(a)．解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，①若a≤0，则f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②若a>0，则当x>a时，f′(x)<0；当0<x<a时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．(2)f′(x)＝，当a≤时，f(x)在上单调递减，所以f(x)max＝f ＝2－ae；当<a<e时，f(x)在上单调递增，在[a，e]上单调递减，所以f(x)max＝f(a)＝－lna；当a≥e时，f(x)在上单调递增，所以f(x)max＝f(e)＝－，综上，g(a)＝思维升华　成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．跟踪训练2　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值为________．答案　1解析　函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的定义域为(0，＋∞)．①当x>时，f(x)＝2x－1－2lnx，所以f′(x)＝2－＝，当<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln1＝1；②当0<x≤时，f(x)＝1－2x－2lnx在上单调递减，所以f(x)min＝f ＝－2ln ＝2ln2＝ln4>lne＝1.综上，f(x)min＝1.(2)已知函数h(x)＝x－alnx＋(a∈R)在区间[1，e]上的最小值小于零，求a的取值范围．解　由题意得，h′(x)＝1－－＝＝，且定义域为(0，＋∞)，①当a＋1≤0，即a≤－1时，h′(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上单调递增，则h(x)在[1，e]上单调递增，故h(x)min＝h(1)＝2＋a<0，解得a<－2；②当a＋1>0，即a>－1时，在(0，a＋1)上，h′(x)<0，在(a＋1，＋∞)上，h′(x)>0，所以h(x)在(0，a＋1)上单调递减，在(a＋1，＋∞)上单调递增，若a＋1≤1，求得h(x)min>1，不合题意；若1<a＋1<e，即0<a<e－1，则h(x)在(1，a＋1)上单调递减，在(a＋1，e)上单调递增，故h(x)min＝h(a＋1)＝2＋a[1－ln(a＋1)]>2，不合题意；若a＋1≥e，即a≥e－1，则h(x)在[1，e]上单调递减，故h(x)min＝h(e)＝e－a＋<0，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期得a>>e－1，综上，a的取值范围为(－∞，－2)∪.课时精练1．(多选)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)A．f(x)在区间(－2,3)上有2个极值点B．f′(x)在x＝－1处取得极小值C．f(x)在区间(－2,3)上单调递减D．f(x)在x＝0处的切线斜率小于0答案　BCD解析　根据f′(x)的图象可得，在(－2,3)上，f′(x)≤0，∴f(x)在(－2,3)上单调递减，∴f(x)在区间(－2,3)上没有极值点，故A错误，C正确；由f′(x)的图象易知B正确；根据f′(x)的图象可得f′(0)<0，即f(x)在x＝0处的切线斜率小于0，故D正确．2．函数f(x)＝x－sinx在上的极小值为(　　)A.－B.－C.－D.－答案　D解析　由f(x)＝x－sinx，得f′(x)＝－cosx，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以是函数f(x)的极小值点，且极小值为f ＝－.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以f′(x)＝－＋，因此函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x＝1时取最大值，满足题意．所以f′(2)＝－1＋＝－.故选B.5．已知函数f(x)＝ax2－2x＋lnx有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为(　　)A.B.C.D．(0,2)答案　C解析　由f(x)＝ax2－2x＋lnx(x>0)，得f′(x)＝2ax－2＋＝(x>0)，若函数f(x)＝ax2－2x＋lnx有两个不同的极值点x1，x2，则方程2ax2－2x＋1＝0有两个不相等的正实根，所以解得0<a<.6．(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　　)A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线答案　AC解析　因为f(x)＝x3－x＋1，所以f′(x)＝3x2－1.令f′(x)＝3x2－1＝0，得x＝±.由f′(x)＝3x2－1>0得x>或x<－；由f′(x)＝3x2－1<0得－<x<.所以f(x)＝x3－x＋1在，上单调递增，在上单调递减，所以f(x)有两个极值点，故A正确；因为f(x)的极小值f ＝3－＋1＝1－>0，f(－2)＝(－2)3－(－2)＋1＝－5<0，所以函数f(x)在R上有且只有一个零点，故B错误；成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期因为函数g(x)＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f(x)＝x3－x＋1的图象，函数g(x)＝x3－x的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)＝0，所以点(0,1)是曲线f(x)＝x3－x＋1的对称中心，故C正确；假设直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线，切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－1＝2，解得x0＝±1；若x0＝1，则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y＝2x上；若x0＝－1，则切点坐标为(－1,1)，但点(－1,1)不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误．故选AC.7．(2023·潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f(x)＝________.答案　sinx(答案不唯一)解析　正弦函数f(x)＝sinx为奇函数，且存在极值．8．甲、乙两地相距240km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元．为使全程运输成本最小，汽车应以________km/h的速度行驶．答案　80解析　设全程运输成本为y元，由题意，得y＝＝240，v>0，y′＝240.令y′＝0，得v＝80.当v>80时，y′>0；当0<v<80时，y′<0.所以函数y＝在(0,80)上单调递减，在(80，＋∞)上单调递增，所以当v＝80时，全程运输成本最小．9．设函数f(x)＝alnx＋＋2a2x－4a，其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围．解　(1)f′(x)＝－＋2a2＝＝，x>0，∵a>0，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∴－<0<.∴在上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在上，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上所述，f(x)在上单调递减，在上单调递增．(2)由(1)可知，f(x)min＝f ＝aln ＋3a＋2a－4a＝aln ＋a＝a(1－lna)，∵y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，∴1－lna>0，∴0<a<e.∴a的取值范围为(0，e)．10．(2023·张家口质检)已知函数f(x)＝ex＋e－x－ax2－2.(1)当a＝1时，证明：函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；(2)若g(x)＝f(x)－e－x，讨论函数g(x)的极值点的个数．(1)证明　当a＝1时，f(x)＝ex＋e－x－x2－2，f′(x)＝ex－e－x－2x.令φ(x)＝ex－e－x－2x，当x>0时，φ′(x)＝ex＋e－x－2>0，所以函数f′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故f′(x)>f′(0)＝0，故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．(2)解　由题意知，g(x)＝ex－ax2－2，当a＝0时，g(x)＝ex－2单调递增，无极值点，当a≠0时，g′(x)＝ex－2ax，由g′(0)＝1，得x＝0不是极值点．令ex－2ax＝0(x≠0)，得2a＝，令h(x)＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期则h′(x)＝，当x<0时，h(x)<0，且h′(x)<0，当a<0时，方程2a＝有唯一小于零的解，故函数g(x)存在一个极值点；当0<x<1时，h′(x)<0，当x>1时，h′(x)>0，故函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，h(1)＝e为函数h(x)的极小值，所以当0<a<时，方程2a＝无解，函数g(x)无极值点；当a＝时，方程2a＝有一个解，但当0<x<1时，>2a，g′(x)＝ex－2ax>0，当x>1时，>2a，g′(x)＝ex－2ax>0，故函数g(x)无极值点．当a>时，方程2a＝有两解，函数g(x)存在一个极大值点和一个极小值点．综上，当a<0时，函数g(x)存在一个极值点，当0≤a≤时，函数g(x)无极值点，当a>时，函数g(x)存在一个极大值点和一个极小值点．11．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　)A．a<bB．a>bC．ab<a2D．ab>a2答案　D解析　当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图2所示，观察可知a>b.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期　　图1　　　　　　　图2综上，可知必有ab>a2成立．12．已知函数f(x)＝若a<b，且f(a)＝f(b)，则b－a的最小值为(　　)A．1B.C．e－1D．2答案　D解析　令f(a)＝f(b)＝t(t>0)，因为f(x)＝且a<b，所以－＝t，lnb＋1＝t，所以a＝－，b＝et－1，因此b－a＝et－1＋，令f(t)＝et－1＋(t>0)，则f′(t)＝et－1－，当t∈(0,1)时，f′(t)<0，f(t)单调递减；当t∈(1，＋∞)时，f′(t)>0，f(t)单调递增，所以f(t)在t＝1处取得极小值，也是最小值，f(1)＝e1－1＋＝2，因此b－a的最小值为2.13.如图所示，已知直线y＝kx与曲线y＝f(x)相切于两点，函数g(x)＝kx＋m(m>0)，则对函数F(x)＝g(x)－f(x)描述正确的是(　　)A．有极小值点，没有极大值点B．有极大值点，没有极小值点C．至少有两个极小值点和一个极大值点D．至少有一个极小值点和两个极大值点答案　C解析　由题意得，F(x)＝kx＋m－f(x)，则F′(x)＝k－f′(x)，设直线y＝kx与曲线y＝f(x)的两个切点的横坐标分别为x1，x2且x1<x2，所以F′(x)＝0的两个零点为x1，x2，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期由图知，存在x0∈(x1，x2)使F′(x0)＝0，综上，F′(x)有三个不同零点x1<x0<x2，由图可得在(0，x1)上F′(x)<0，在(x1，x0)上F′(x)>0，在(x0，x2)上F′(x)<0，在(x2，＋∞)上F′(x)>0，所以F(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，x0)上单调递增，在(x0，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．故F(x)至少有两个极小值点和一个极大值点．14．设函数f(x)＝mx2ex＋1，若对任意a，b，c∈[－3,1]，f(a)，f(b)，f(c)都可以作为一个三角形的三边长，则m的取值范围为________．答案　解析　设函数g(x)＝x2ex，x∈[－3,1]，则g′(x)＝x(x＋2)ex.当－3≤x<－2或0<x≤1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当－2<x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减．又g(－3)＝，g(0)＝0，g(－2)＝，g(1)＝e，所以g(x)的值域为[0，e]．当m≥0时，2×1>me＋1，解得0≤m<；当m<0时，2(me＋1)>1，解得－<m<0.综上可得，－<m<.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期