2022年高考数学一轮复习第三章导数及其应用2导数与函数的单调性极值最值课件（新人教A版文）

3.2导数与函数的单调性、极值、最值\n-2-知识梳理双基自测231(2)可导函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则有在区间[a,b]上恒成立.(3)可导函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则有在区间[a,b]上恒成立.(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调,则y=f'(x)在该区间内.1.函数的单调性与导数的关系(1)已知函数f(x)在某个区间内可导,①如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内;②如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内;③若f'(x)=0,则f(x)在这个区间内是.单调递增单调递减常数函数f'(x)≥0f'(x)≤0不变号\n-3-知识梳理双基自测2312.函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地,当函数f(x)在点x0处连续且f'(x0)=0,①如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①确定函数的定义域,并求f'(x);②求方程的根;f'(x)>0f'(x)<0f'(x)<0f'(x)>0f'(x)=0\n-4-知识梳理双基自测231③检查方程的根是否在定义域内,若在,则看根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得.f'(x)=0极大值极小值\n-5-知识梳理双基自测2313.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在区间[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.(3)设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,求f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值的步骤.①求f(x)在区间(a,b)内的;②将f(x)的各极值与进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.f(a)f(b)f(a)f(b)极值f(a),f(b)\n2-6-知识梳理双基自测341561.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,则一定有f'(x)>0.()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(3)导数为零的点不一定是极值点.()(4)函数的极大值不一定比极小值大.()(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.()××√√√\n-7-知识梳理双基自测234156答案解析解析关闭答案解析关闭\n-8-知识梳理双基自测2341563.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是()A.-2B.0C.2D.4答案解析解析关闭∵f'(x)=3x2-6x,令f'(x)=0,得x=0或x=2.∴f(x)在区间[-1,0)上是增函数,在区间(0,1]上是减函数.∴f(x)max=f(0)=2.答案解析关闭C\n-9-知识梳理双基自测2341564.函数f(x)=x2-2lnx的单调递减区间是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(-1,1)答案解析解析关闭答案解析关闭\n-10-知识梳理双基自测234156答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-知识梳理双基自测234156.(教材习题改编P32T4)f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则f(x)的极小值点的个数为.答案解析解析关闭由题意知,只在x=-1处f'(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正.答案解析关闭16\n-12-知识梳理双基自测234156自测点评1.若函数f(x)在区间(a,b)内递增,则f‘(x)≥0;“f’(x)>0在区间(a,b)内恒成立”是“f(x)在(a,b)内单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.如函数y=x3在x=0处导数为零,但x=0不是函数y=x3的极值点.3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系.\n-13-考点1考点2考点3考向一讨论函数的单调性或求单调区间例1已知函数f(x)=x-alnx,g(x)=-(a∈R).(1)若a=1,求函数f(x)的极值;(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),求函数h(x)的单调区间.思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间?\n-14-考点1考点2考点3解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),所以f(x)在x=1处取得极小值1,函数没有极大值.①当a+1>0,即a>-1时,在区间(0,1+a)内,h'(x)<0,在区间(1+a,+∞)内,h'(x)>0,所以h(x)在区间(0,1+a)内单调递减,在区间(1+a,+∞)内单调递增;②当1+a≤0,即a≤-1时,在区间(0,+∞)内,h'(x)>0,所以函数h(x)在区间(0,+∞)内单调递增.\n-15-考点1考点2考点3考向二已知函数单调性求参数的取值范围例2已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围.思考已知函数单调性求参数的一般思路是什么?\n-16-考点1考点2考点3解:(1)f'(x)=3x2-a.①当a≤0时,f'(x)≥0,即f(x)在区间(-∞,+∞)内为增函数.\n-17-考点1考点2考点3(2)因为f(x)在区间(-∞,+∞)内是增函数,所以f'(x)=3x2-a≥0在区间(-∞,+∞)内恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0,即实数a的取值范围为(-∞,0].\n-18-考点1考点2考点3解题心得1.利用导数讨论函数单调性或求单调区间的方法(1)方法一:①确定函数y=f(x)的定义域;②求导数y'=f'(x);③解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;④解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.\n-19-考点1考点2考点3(2)方法二:①确定函数y=f(x)的定义域;②求导数y'=f'(x),令f'(x)=0,解此方程,求出在定义域内的一切实根;③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间;④确定f'(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.要特别注意的是,涉及含参数的单调性或单调区间的问题,一定要弄清参数对导数f'(x)在某一区间内的符号是否有影响.若有影响,则必须分类讨论.\n-20-考点1考点2考点32.由函数的单调性求参数的取值范围的解题方法(1)可导函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)求参数范围问题,可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)对x∈D恒成立问题,再参变分离,转化为求最值问题,要注意“=”是否取到.(2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题.(3)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.\n-21-考点1考点2考点3(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.解:(1)若a=1,则f(x)=3x-2x2+lnx的定义域为(0,+∞),当x∈(0,1)时,f'(x)>0,即函数f(x)=3x-2x2+lnx单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,即函数f(x)=3x-2x2+lnx单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).\n-22-考点1考点2考点3\n-23-考点1考点2考点3例3已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系?\n-24-考点1考点2考点3\n-25-考点1考点2考点3从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.\n-26-考点1考点2考点3解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f'(x0)=0,且在x0左侧与右侧f'(x)的符号不同.2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在区间(a,b)内不是单调函数,即若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间上一定没有极值.3.利用导数研究函数极值的一般流程:\n-27-考点1考点2考点3(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.\n-28-考点1考点2考点3令f'(x)=0,解得x=-1或x=5.由于x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.当x∈(0,5)时,f'(x)<0,故f(x)在区间(0,5)内为减函数;当x∈(5,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在区间(5,+∞)内为增函数.由此可知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln5;函数f(x)没有极大值.\n-29-考点1考点2考点3例4已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;思考求函数的最值可划分为哪几步?\n-30-考点1考点2考点3解:(1)因为f(x)=excosx-x,所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,f'(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cosx-sinx)-1,则h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.\n-31-考点1考点2考点3解题心得求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的方法(1)若函数在区间[a,b]上单调递增或递减,则f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值;(2)若函数在闭区间[a,b]上有极值,要先求出闭区间[a,b]上的极值,与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成;(3)函数f(x)在区间(a,b)内有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.\n-32-考点1考点2考点3(1)求函数f(x)的最大值;(2)当a∈时,函数y=g(x)(x∈(0,e])有最小值,记g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.\n-33-考点1考点2考点3所以存在t∈[1,e),g'(t)=0且lnt=at,当x∈(0,t)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(t,e]时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)的最小值\n-34-考点1考点2考点3\n-35-考点1考点2考点31.函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,f'(x)在区间(a,b)内的任意子区间内都不恒等于零,则f'(x)≥0⇔f(x)在区间(a,b)内为增函数;f'(x)≤0⇔f(x)在区间(a,b)内为减函数.2.求可导函数极值的步骤:(1)求定义域及f'(x);(2)求f'(x)=0的根;(3)判定定义域内的根两侧导数的符号;(4)下结论.3.求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值,首先求出各极值及区间端点处的函数值,然后比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值).\n-36-考点1考点21.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行.2.一个函数在其定义域内的最值是唯一的,可以在区间的端点处取得.3.解题时,要注意区分求单调性和已知单调性求参数的问题,处理好当f'(x)=0时的情况,正确区分极值点和导数为0的点.考点3\n-37-高频小考点——用导数的方法求参数的取值范围典例1若函数f(x)=x-sin2x+asinx在区间(-∞,+∞)内单调递增,则a的取值范围是()\n-38-答案:C\n-39-\n-40-典例2已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.解:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在区间(-∞,+∞)内单调递增.②若a>0,则由f'(x)=0得x=lna.当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在区间(-∞,lna)内单调递减,在区间(lna,+∞)内单调递增.\n-41-\n-42-(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,则由(1)得,当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a2lna.从而当且仅当-a2lna≥0,即a≤1时,f(x)≥0.反思提升解题的关键在于寻找能满足限制条件的含参不等式,寻找的方法就是等价转换.