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2022人教版高考数学(浙江版)一轮复习训练:第三章第2讲第2课时导数与函数的极值、最值(含解析)

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[A级 基础练]1.设函数f(x)=xex+1,则(  )A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点解析:选D.由f(x)=xex+1,可得f′(x)=(x+1)ex,令f′(x)>0可得x>-1,即函数f(x)在(-1,+∞)上是增函数;令f′(x)<0可得x<-1,即函数f(x)在(-∞,-1)上是减函数,所以x=-1为f(x)的极小值点.故选D.2.函数y=在[0,2]上的最大值是(  )A.B.C.0D.解析:选A.易知y′=,x∈[0,2],令y′>0,得0≤x<1,令y′<0,得2≥x>1,所以函数y=在[0,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减,所以y=在[0,2]上的最大值是y|x=1=,故选A.3.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)图象的是(  )解析:选D.因为[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f(x)+f′(x)]ex,且x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,所以f(-1)+f′(-1)=0;选项D中,f(-1)>0,f′(-1)>0, 不满足f′(-1)+f(-1)=0.4.函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象如图所示,则x+x等于(  )A.B.C.D.解析:选C.函数f(x)的图象过原点,所以d=0.又f(-1)=0且f(2)=0,即-1+b-c=0且8+4b+2c=0,解得b=-1,c=-2,所以函数f(x)=x3-x2-2x,所以f′(x)=3x2-2x-2,由题意知x1,x2是函数的极值点,所以x1,x2是f′(x)=0的两个根,所以x1+x2=,x1x2=-,所以x+x=(x1+x2)2-2x1x2=+=.5.已知函数f(x)=x3+3x2-9x+1,若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则实数k的取值范围为(  )A.[-3,+∞)B.(-3,+∞)C.(-∞,-3)D.(-∞,-3]解析:选D.由题意知f′(x)=3x2+6x-9,令f′(x)=0,解得x=1或x=-3,所以f′(x),f(x)随x的变化情况如下表x(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值又f(-3)=28,f(1)=-4,f(2)=3,f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,所以k≤-3.6.(2020·台州市高三期末考试)已知函数f(x)=x2-3x+lnx,则f(x)在区间[,2]上的最小值为________;当f(x)取到最小值时,x=________. 解析:f′(x)=2x-3+=(x>0),令f′(x)=0,得x=或x=1,当x∈[,1]时,f′(x)<0,x∈[1,2]时,f′(x)>0,所以f(x)在区间[,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,所以当x=1时,f(x)在区间[,2]上的最小值为f(1)=-2.答案:-2 17.若函数f(x)=x3-3ax在区间(-1,2)上仅有一个极值点,则实数a的取值范围为________.解析:因为f′(x)=3(x2-a),所以当a≤0时,f′(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增,f(x)没有极值点,不符合题意;当a>0时,令f′(x)=0得x=±,当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表所示:x(-∞,-)-(-,)(,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值因为函数f(x)在区间(-1,2)上仅有一个极值点,所以或解得1≤a<4.答案:[1,4)8.(2020·义乌模拟)已知函数f(x)=lnx-nx(n>0)的最大值为g(n),则使g(n)-n+2>0成立的n的取值范围为________.解析:易知f(x)的定义域为(0,+∞).因为f′(x)=-n(x>0,n>0),当x∈时,f′(x)>0,当x∈时,f′(x)<0, 所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)的最大值g(n)=f=-lnn-1.设h(n)=g(n)-n+2=-lnn-n+1.因为h′(n)=--1<0,所以h(n)在(0,+∞)上单调递减.又h(1)=0,所以当0<n<1时,h(n)>h(1)=0,故使g(n)-n+2>0成立的n的取值范围为(0,1).答案:(0,1)9.已知函数f(x)=ax2-blnx在点A(1,f(1))处的切线方程为y=1.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值.解:(1)f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=2ax-,f(1)=a=1,f′(1)=2a-b=0,将a=1代入2a-b=0,解得b=2.(2)由(1)得f(x)=x2-2lnx(x>0),所以f′(x)=2x-=,令f′(x)>0,解得x>1,令f′(x)<0,解得0<x<1,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)极小值=f(1)=1,无极大值.[B级 综合练]10.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(  )A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1解析:选A.因为f(x)=(x2+ax-1)ex-1,所以f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex -1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.因为x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)·ex-1的极值点,所以-2是x2+(a+2)x+a-1=0的根,所以a=-1,f′(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1.令f′(x)>0,解得x<-2或x>1,令f′(x)<0,解得-2<x<1,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,f(x)取得极小值,且f(x)极小值=f(1)=-1,选择A.11.(2021·嘉兴高三调研)已知函数f(x)=xex-lnx-x-2,g(x)=+lnx-x的最小值分别为a,b,则(  )A.a=b        B.a<bC.a>bD.a,b的大小关系不确定解析:选A.令h(x)=ex-x-1,则h′(x)=ex-1,因为当x<0时,0<ex<1,当x≥0时ex≥1.所以h(x)在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,所以ex≥x+1.所以f(x)=xex-lnx-x-2=elnx·ex-lnx-x-2=ex+lnx-(x+lnx)-2≥x+lnx+1-(x+lnx)-2=-1=a,g(x)=+lnx-x=x-1ex-2+lnx-x=e-lnx+x-2+lnx-x≥x-lnx-2+1+lnx-x=-1=b,所以a=b,故选A.12.若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是________.解析:因为f(x)的定义域为(0,+∞),又因为f′(x)=4x-,所以由f′(x)=0解得x=,由题意得解得1≤k<.答案:13.已知函数f(x)=-lnx,m∈R.(1)若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线与直线x-y=0平行,求实数n的值; (2)试讨论函数f(x)在区间[1,+∞)上的最大值.解:(1)由题意得f′(x)=,所以f′(2)=.由于函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线与直线x-y=0平行,所以=1,解得n=6.(2)f′(x)=,令f′(x)<0,得x>n;令f′(x)>0,得x<n.①当n≤1时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(1)=m-n;②当n>1时,函数f(x)在[1,n)上单调递增,在(n,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(n)=m-1-lnn.14.(2020·温州中学高三模考)已知函数f(x)=ln(2ax+1)+-x2-2ax(a∈R).(1)若x=2为f(x)的极值点,求实数a的值;(2)若y=f(x)在[3,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围;(3)当a=-时,方程f(1-x)=+有实根,求实数b的最大值.解:(1)f′(x)=+x2-2x-2a=,因为x=2为f(x)的极值点,所以f′(2)=0,即-2a=0,解得a=0.(2)因为函数f(x)在[3,+∞)上为增函数,所以f′(x)=≥0在[3,+∞)上恒成立.①当a=0时,f′(x)=x(x-2)>0在[3,+∞)上恒成立,所以f(x)在[3,+∞) 上为增函数,故a=0符合题意.②当a≠0时,由函数f(x)的定义域可知,必须有2ax+1>0对x≥3恒成立,故只能a>0,所以2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)≥0在[3,+∞)上恒成立.令函数g(x)=2ax2+(1-4a)x-(4a2+2),其对称轴为x=1-,因为a>0,所以1-<1,要使g(x)≥0在[3,+∞)上恒成立,只要g(3)≥0即可,即g(3)=-4a2+6a+1≥0,所以≤a≤.因为a>0,所以0<a≤.综上所述,a的取值范围为.(3)当a=-时,方程f(1-x)=+可化为lnx-(1-x)2+(1-x)=.问题转化为b=xlnx-x(1-x)2+x(1-x)=xlnx+x2-x3在(0,+∞)上有解,即求函数g(x)=xlnx+x2-x3的值域.因为函数g(x)=xlnx+x2-x3,令函数h(x)=lnx+x-x2(x>0),则h′(x)=+1-2x=,所以当0<x<1时,h′(x)>0,从而函数h(x)在(0,1)上为增函数,当x>1时,h′(x)<0,从而函数h(x)在(1,+∞)上为减函数,因此h(x)≤h(1)=0.而x>0,所以b=x·h(x)≤0,因此当x=1时,b取得最大值0.[C级 提升练]15.(2021·金华十校联考)若函数y=f(x)存在n-1(n∈N*)个极值点,则称y=f(x)为n折函数,例如f(x)=x2为2折函数.已知函数f(x)=(x+1)ex-x(x+2)2,则f(x)为(  ) A.2折函数B.3折函数C.4折函数D.5折函数解析:选C.f′(x)=(x+2)ex-(x+2)(3x+2)=(x+2)·(ex-3x-2),令f′(x)=0,得x=-2或ex=3x+2.易知x=-2是f(x)的一个极值点,又ex=3x+2,结合函数图象,y=ex与y=3x+2有两个交点.又e-2≠3×(-2)+2=-4.所以函数y=f(x)有3个极值点,则f(x)为4折函数.16.(2020·浙江东阳中学期中检测)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,则a的取值范围是________.解析:设g(x)=ex(2x-1),y=ax-a,由题意存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线y=ax-a的下方,因为g′(x)=ex(2x+1),所以当x<-时,g′(x)<0,当x>-时,g′(x)>0,所以当x=-时,g(x)min=-2e-,当x=0时,g(0)=-1,g(1)=e>0,直线y=ax-a恒过(1,0),斜率为a,故-a>g(0)=-1,且g(-1)=-3e-1≥-a-a,解得≤a<1.答案:≤a<1

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发布时间:2021-10-08 18:03:37 页数:8
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文章作者:随遇而安

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