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2023高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2节第2课时导数与函数的极值最值课时跟踪检测理含解析202302331112

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第三章 导数及其应用第二节 导数的应用第二课时 导数与函数的极值、最值A级·基础过关|固根基|1.函数f(x)=xe-x,x∈[0,4]的最小值为(  )A.0B.C.D.解析:选A f′(x)=,当x∈[0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,4]时,f′(x)<0,f(x)单调递减,因为f(0)=0,f(4)=>0,所以当x=0时,f(x)有最小值,且最小值为0.2.已知x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点,那么函数f(x)的极大值为(  )A.15B.16C.17D.18解析:选D 因为x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点,且f′(x)=3x2-3a,所以f′(2)=12-3a=0,解得a=4,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x3-12x+2,f′(x)=3x2-12,由f′(x)=0,得x=±2,故函数f(x)在(-2,2)上是减函数,在(-∞,-2),(2,+∞)上是增函数,由此可知,当x=-2时,函数f(x)取得极大值f(-2)=18.3.(2019届安徽滁州模拟)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是(  )①f(b)>f(a)>f(c);②函数f(x)在x=c处取得极小值,在x=e处取得极大值;③函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值;④函数f(x)的最小值为f(d).A.③B.①②C.③④D.①④解析:选A 由题图可知,当x≤c时,f′(x)≥0,所以函数f(x)在(-∞,c]上单调递增,又a<b<c,所以f(a)<f(b)<f(c),故①不正确;因为f′(c)=0,f′(e)=0,且当x<c时,f′(x)>0;当c<x<e时,f′(x)<0;当x>e时,f′(x)>0,所以函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e\n处取得极小值,故②不正确,③正确;由题图知,当d≤x≤e时,f′(x)≤0,所以函数f(x)在[d,e]上单调递减,从而f(d)>f(e),故④不正确.故选A.4.(2019届昆明市高三诊断)设函数f(x)=(x2-2x+2)ex-x3-x2的极值点的最大值为x0,若x0∈(n,n+1),则整数n的值为(  )A.-2B.-1C.0D.1解析:选C f′(x)=x2ex-x2-x,令f′(x)=x2ex-x2-x=0,则x=0或xex-x-1=0,所以x=0为一个极值点.当x≠0,xex-x-1=0时,则ex=1+.当x>1时,ex>e,1+∈(1,2),所以不存在使ex=1+成立的x0;当0<x<1时,ex∈(1,e),1+>2,所以存在使ex=1+成立的x0.又因为x0为极值点的最大值,x0∈(n,n+1),所以整数n的值是0.故选C.5.(2019届南昌调研)已知a为常数,函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1,x2(x1<x2),则(  )A.f(x1)>0,f(x2)>-B.f(x1)<0,f(x2)<-C.f(x1)>0,f(x2)<-D.f(x1)<0,f(x2)>-解析:选D f′(x)=lnx-2ax+1,依题意知f′(x)=0有两个不等实根x1,x2,即曲线y=1+lnx与直线y=2ax有两个不同交点,如图.由直线y=x是曲线y=1+lnx在点(1,1)处的切线,可知,0<2a<1,0<x1<1<x2,∴a∈.由0<x1<1,得f(x1)=x1(lnx1-ax1)<0,∵当x1<x<x2时,f′(x)>0,∴f(x2)>f(1)=-a>-,故选D.6.(2019届新乡模拟)设x1,x2是函数f(x)=x3-2ax2+a2x的两个极值点,若x1<2<x2,则实数a的取值范围是________.\n解析:由题意得f′(x)=3x2-4ax+a2的两个零点x1,x2满足x1<2<x2,所以f′(2)=12-8a+a2<0,解得2<a<6.答案:(2,6)7.函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值是正数,极小值是负数,则a的取值范围是________.解析:f′(x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a),由f′(x)=0,得x=±a,当-a<x<a时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>a或x<-a时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,∴f(x)的极大值为f(-a),极小值为f(a).∴f(-a)=-a3+3a3+a>0且f(a)=a3-3a3+a<0,解得a>,∴a的取值范围是.答案:8.(2019届长沙调研)已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a=________.解析:由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1.令f′(x)=-a=0,得x=,当0<x<时,f′(x)>0;当2>x>时,f′(x)<0.∴f(x)max=f=-lna-1=-1,解得a=1.答案:19.(2019届长春市第二次质量监测)已知函数f(x)=(a-1)lnx--x(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)若函数f(x)在[1,3]上的最大值为-2,求实数a的值.解:(1)当a=2时,f(x)=lnx--x,f′(x)=+-1,f(2)=ln2-3,f′(2)=0,所以曲线在点(2,f(2))处的切线方程为y=ln2-3.\n(2)f′(x)=+-1=(1≤x≤3),当a≤1时,f′(x)≤0,f(x)在[1,3]上单调递减,所以f(1)=-a-1=-2,a=1;当a≥3时,f′(x)≥0,f(x)在[1,3]上单调递增,所以f(3)=(a-1)ln3--3=-2,所以a=<3,舍去;当1<a<3时,f(x)在[1,a]上单调递增,在[a,3]上单调递减,所以f(a)=(a-1)lna-1-a=-2,所以a=e.综上,a=1或a=e.10.(2018年北京卷)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.解:(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,所以f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex,所以f′(1)=(1-a)e.由题设知,f′(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e≠0,符合.所以a的值为1.(2)由(1)得,f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex.若a>,则当x∈时,f′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在x=2处取得极小值;若a≤,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤x-1<0,所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是.B级·素养提升|练能力|11.(2019届江西八所重点中学联考)已知函数f(x)=xeax-1-lnx-ax,若函数f(x)的最小值恰好为0,则实数a的最小值是(  )A.-1B.-\nC.-D.-解析:选C 令t=xeax-1(x>0),则t>0,所以lnt=lnx+ax-1,令u=f(x)=xeax-1-lnx-ax,则u=t-lnt-1.令g(t)=t-lnt-1,则g′(t)=1-=,当t∈(0,1)时,g′(t)<0,g(t)单调递减,当t∈(1,+∞)时,g′(t)>0,g(t)单调递增,故当t=1时,g(t)取得最小值g(1)=0,故当xeax-1=1,即a=时,函数f(x)的最小值恰好为0.令h(x)=,则h′(x)=,令h′(x)=0,得x=e2,可知h(x)在(0,e2)上单调递减,在(e2,+∞)上单调递增,则h(x)min=h(e2)=-,即a的最小值为-.12.(2019届合肥模拟)已知函数f(x)=xlnx-aex(e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数a的取值范围是(  )A.B.(0,e)C.D.(-∞,e)解析:选A ∵f(x)=xlnx-aex(x>0),∴f′(x)=lnx+1-aex(x>0),由函数f(x)有两个极值点,得y=a和g(x)=在(0,+∞)上有两个交点,g′(x)=(x>0),令h(x)=-lnx-1,则h′(x)=--<0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递减且h(1)=0,∴当x∈(0,1]时,h(x)≥0,即g′(x)≥0,g(x)在(0,1]上单调递增;当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即g′(x)<0,g(x)在(1,+∞)上单调递减,故g(x)max=g(1)=,而x→0时,g(x)→-∞;x→+∞时,g(x)→0,故y=g(x)的大致图象如图所示.由图可知,若y=a和g(x)在(0,+∞)上有两个交点,只需0<a<.故选A.13.已知函数f(x)=lnx+x2-ax+a(a∈R).(1)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)在x=x1和x=x2处取得极值,且x2≥x1(e为自然对数的底数),求f(x2)-f(x1)的最大值.\n解:(1)∵f′(x)=+x-a(x>0),又f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴恒有f′(x)≥0,即+x-a≥0(x>0)恒成立,∴a≤,而x+≥2=2,当且仅当x=1时取“=”,∴a≤2,即函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数时,a的取值范围是(-∞,2].(2)f(x2)-f(x1)=ln+(x-x)-a(x2-x1),又f′(x)=+x-a=(x>0),∴x1,x2是方程x2-ax+1=0的两个实根,由根与系数的关系得,x1+x2=a,x1x2=1,∴f(x2)-f(x1)=ln+(x-x)-a(x2-x1)=ln-(x-x)=ln-(x-x)=ln-,设t=(t≥),令h(t)=lnt-(t≥),则h′(t)=-=-<0,∴h(t)在[,+∞)上是减函数,∴h(t)≤h()=,故f(x2)-f(x1)的最大值为.

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发布时间:2022-08-25 17:29:16 页数:6
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文章作者:U-336598

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