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2023高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1节导数的概念及运算课时跟踪检测理含解析202302331110
2023高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1节导数的概念及运算课时跟踪检测理含解析202302331110
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第三章 导数及其应用第一节 导数的概念及运算A级·基础过关|固根基|1.定积分(2x+ex)dx的值为( )A.e+2B.e+1C.eD.e-1解析:选C (2x+ex)dx=(x2+ex)=(1+e)-(0+e0)=e,故选C.2.(2019届福建福州八县联考)已知函数f(x)的导函数是f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln,则f(1)=( )A.-eB.2C.-2D.e解析:选B 由已知得f′(x)=2f′(1)-,令x=1,得f′(1)=2f′(1)-1,解得f′(1)=1,则f(1)=2f′(1)=2.3.(2019届湖南娄底二模)已知f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=-,则函数图象在x=-1处的切线方程是( )A.2x-y+1=0B.x-2y+2=0C.2x-y-1=0D.x+2y-2=0解析:选A ∵当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-.又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=(x<0),∴f′(x)=,∴f′(-1)=2,f(-1)=-1,∴切线方程为y+1=2(x+1),即2x-y+1=0.故选A.4.如图,函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是( )A.1B.\nC.D.2解析:选B 由联立得x1=0,x2=2.所以S=(-x2+2x+1-1)dx=(-x2+2x)dx=-+x2=-+4=.故选B.5.(2019届辽宁瓦房店四校联考)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,从刹车开始,其速度与时间的关系式为v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s),从开始刹车到停止,汽车行驶的路程(单位:m)是( )A.1+25ln5B.8+25lnC.4+25ln5D.4+50ln2解析:选C 由7-3t+=0,得t=4或t=-(不符合题意,舍去),故汽车经过4s后停止,在此期间汽车行驶的路程为s=dt=7t-t2+25ln(1+t)=4+25ln5.故选C.6.(2019届山东济宁期末)函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,若g(x)=xf(x),则g′(1)=( )A.3B.2C.1D.解析:选D 由题意得,g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(1)=f(1)+f′(1).∵函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,∴f′(1)=,f(1)=1,∴g′(1)=f(1)+f′(1)=1+=.故选D.7.(2019届广东珠海调研)设函数f(x)=xsinx+cosx的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为g(t),则函数y=g(t)的部分图象可以是( )解析:选A 由f(x)=xsinx+cosx,得f′(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,所以g(t)=tcos\nt.因为函数g(t)是奇函数,所以排除选项B、D;又当t∈时,g(t)>0,排除选项C.故选A.8.(2019届湖北黄冈模拟)已知直线y=是曲线y=xex的一条切线,则实数m的值为( )A.-B.-eC.D.e解析:选B 设切点坐标为,对y=xex求导,得y′=(xex)′=ex+xex,若直线y=是曲线y=xex的一条切线,则有y′|x=n=en+nen=0,解得n=-1,此时有=nen=-,∴m=-e.故选B.9.(2019届广东深圳二模)已知函数f(x)=ax2+(1-a)x+是奇函数,则曲线y=f(x)在x=1处的切线的倾斜角为( )A.B.C.D.解析:选B 由函数f(x)=ax2+(1-a)x+是奇函数,得f(-x)=-f(x),可得a=0,则f(x)=x+,∴f′(x)=1-,故曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率k=f′(1)=1-2=-1,可得所求切线的倾斜角为,故选B.10.(2019届湖南湘潭模拟)经过(2,0)且与曲线y=相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为( )A.2B.C.1D.3解析:选A 设切点为,m≠0,∵y′=-,∴切线的斜率k=-,则切线方程为y-=-(x-m),代入(2,0),可得-=-(2-m),解得m=1,则切线方程为y-1=-x+1,即y=-x\n+2,切线与坐标轴的交点坐标为(0,2),(2,0),则切线与坐标轴围成的三角形面积为×2×2=2.故选A.11.(2020届陕西摸底)已知函数f(x)=ex+ax,g(x)=exlnx.(1)若对于任意实数x≥0,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;(2)当a=-1时,是否存在实数x0∈[1,e],使曲线C:y=g(x)-f(x)在x=x0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,说明理由.解:(1)对于任意实数x≥0,f(x)=ex+ax>0恒成立,当x=0时,则a为任意实数,f(x)=ex+ax>0恒成立;当x>0时,f(x)=ex+ax>0恒成立,即当x>0时,a>,设H(x)=-(x>0),则H′(x)=-=,当x∈(0,1)时,H′(x)>0,则H(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,H′(x)<0,则H(x)在(1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,H(x)取得最大值,H(x)max=H(1)=-e,则a>-e.综上,a的取值范围为(-e,+∞).(2)不存在实数x0∈[1,e],使曲线C在x=x0处的切线与y轴垂直.理由如下:若曲线C:y=exlnx-ex+x在x=x0处的切线与y轴垂直,则方程M′(x0)=0在x0∈[1,e]上有实数解,由题意,得曲线C的方程为y=exlnx-ex+x.令M(x)=exlnx-ex+x,则M′(x)=+exlnx-ex+1=ex+1.设h(x)=+lnx-1,则h′(x)=-+=,当x∈[1,e]时,h′(x)≥0,故h(x)在[1,e]上单调递增,因此h(x)在区间[1,e]上的最小值为h(1),又h(1)=+ln1-1=0,所以h(x)=+lnx-1≥0在[1,e]上恒成立,当x0∈[1,e]时,ex0>0,+lnx0-1≥0,所以M′(x0)=ex0+1>0.即方程M′(x0)=0无实数解,故不存在实数x0∈[1,e],使曲线y=M(x)在x=x0处的切线与y轴垂直.B级·素养提升\n|练能力|12.如果f′(x)是二次函数,且f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,),那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.B.C.D.解析:选B 根据题意,得f′(x)≥,则曲线y=f(x)上任一点的切线的斜率k=tanα≥.结合正切函数的图象可得α∈.故选B.13.(2019届山东师大附中高三模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导函数,f(1)=e,∀x∈R,2f(x)-f′(x)>0,则不等式f(x)<e2x-1的解集为( )A.{x|x<1}B.{x|x>1}C.{x|x<e}D.{x|x>e}解析:选B 设F(x)=,则F′(x)=′=.因为2f(x)-f′(x)>0,e2x-1>0,所以F′(x)=<0,即函数F(x)在R上单调递减.又因为f(1)=e,所以F(1)==1.不等式f(x)<e2x-1,即为<1=,即F(x)<F(1),所以f(x)<e2x-1的解集是{x|x>1},故选B.14.设函数f(x)=2x3+(a+3)xsinx+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )A.y=-xB.y=-2xC.y=-4xD.y=-3x解析:选D ∵函数f(x)=2x3+(a+3)xsinx+ax为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即2(-x)3+(a+3)(-x)·sin(-x)+a·(-x)=-2x3-(a+3)xsinx-ax.∴a+3=0,即a=-3.∴f(x)=2x3-3x,则f′(x)=6x2-3.∴曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)=-3.∴曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=-3x,故选D.\n15.(2020届陕西摸底)曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x=a所围成的三角形面积为,则实数a=________.解析:由y=x3,得y′=3x2,所以y′|x=1=3,所以曲线y=x3在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.令y=0,得x=,则S=××|3a-2|=,解得a=或a=1.答案:或1
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:29:16
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