新高考数学函数压轴专题5 函数嵌套问题（解析版）

专题5函数嵌套1．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为　　A．3B．1或3C．4或6D．3或4或6【解析】解：，当或时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，的极大值为，的极小值为（1）．作出的函数图象如图所示：，，△，令则，则．不妨设，（1）若，则，此时无解，有三解；（2）若，则，此时有一解，有两解；（3）若，则，此时有两解，有一解；综上，有三个不同的实数解．故选：．2．已知函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则 实数的取值范围为　　A．B．C．D．【解析】解：化简可得，当时，，，当时，，当时，，故当时，函数有极大值；当时，，为减函数，作出函数对应的图象如图：函数在上有一个最大值为；设，当时，方程有1个解，当时，方程有2个解，当时，方程有3个解，当时，方程有1个解，当时，方程有0个解，则方程等价为，等价为方程有两个不同的根，或，当时，方程有1个解，要使关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则， 即，解得，则的取值范围是故选：．3．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围　　A．B．C．D．【解析】解：令，则方程方程．如图是函数，的图象，根据图象可得：方程有8个相异实根方程．有两个不等实数解，且，．可得．故选：． 4．已知函数，关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是　　A．B．，C．，D．，，【解析】解：函数的图象如图：方程有四个相异的实数根，必须由两个解，一个，一个，，或者，，另一个，，可得，当时，，．满足题意．当时，，，不满足题意．考察选项可知，正确；故选：． 5．已知函数，若关于的方程恰好有6个不相等的实根，则实数的取值范围是　　A．，B．，00，C．D．，00，【解析】解：当时，，则，令得：，当时，，单调递减；当时，，单调递增，且，，当时，，则，显然（1），当时，，单调递增；当时，，单调递减，且（1），故函数的大致图象如图所示：，令，则关于的方程化为关于的方程，△，方程有两个不相等的实根，设为，，由韦达定理得：，，不妨设，，关于的方程恰好有6个不相等的实根，由函数的图象可知：，， 设，则，解得：，故选：．6．已知函数，若关于的方程有五个不同实根，则的值是　　A．0或B．C．0D．不存在【解析】解：画出函数的图象，如图所示： ，当时，有三个根，把代入方程得，，解得：或，当时，方程为，所以或1，所以有五个根，当时，方程为，所以或，所以有7个根，舍去，综上所求，时，方程有五个不同实根，故选：．7．已知函数，方程（其中的实根个数为，所有这些实根的和为，则、的值分别为　　A．6，4B．4，6C．4，0D．6，0【解析】解：，或．作出的函数图象如图所示： 由图象可知有两解，有四解．．由图象可知的两解为，，的四个解中，较小的两个关于直线对称，较大的两个关于直线对称，．故选：．8．已知函数的图象在点，处的切线与直线垂直是自然对数的底数），函数满足，若关于的方程，，且在区间上恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是　　A．B．C．D．【解析】解：函数的导数为，可得图象在点，处的切线斜率为，由切线与直线垂直，可得，解得，，， 可得，导数为，当时，，递增；当时，，递减．即有处取得最小值1．则在，的图象如右：若关于的方程，，且在区间上恰有3个不同的实数解，可令，则，（1）可得的范围是，，方程（1）判别式为，必有两不同的实数解，设为，，，可得，，即，解得，①又，，则，②由①②求并可得，故选：． 9．已知函数，，若关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是　　A．，B．，C．，D．，【解析】解：，，的图象如下：设，则有三个不同的实数解，即为有两个根，①时，代入得，即，另一根为只有一个交点，舍去②一个在上，一个在，上时，设，解得．故选：．10．已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是　　 A．B．C．D．【解析】解：函数的导数为，当时，，递增；当或时，，递减，可得在处取得极小值0，在处取得极大值，作出的图象，设，关于的方程，即为，解得或，当时，无实根；由题意可得当，解得或，所以，故选：．11．已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值集合是　　A．，，B． C．D．【解析】解：由题意．令，解得；且时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在处取极大值．大致图象如下：令，则可化为．假设，则．解得，即．根据图象，很明显此时只有一个解，故不符合题意，由此排除选项；假设，则，解得，．即，或．根据图象，很明显此时方程只有两个解，故不符合题意，由此排除选项．假设时，则，解得，．即或，根据的图象，很明显此时方程只有两个根，故不符合题意，由此排除故选：． 12．已知函数，，且（1），则关于的方程实根个数的判断正确的是　　A．当时，方程没有相异实根B．当或时，方程有1个相异实根C．当时，方程有2个相异实根D．当或或时，方程有4个相异实根【解析】解：当时，，因为（1），所以，所以，所以，图象如图所示：当时，，，则，当且仅当时等号成立，在上是增加的，在上是减少的；当时，在上是减少的，在上是增加的，故恒成立．故在上是增加的，在上是减少的，在上是增加的．令，则，解得：或，当即时，，当时，，无解，当即时，， 当时，，无解，故方程没有相异实根，故正确；当时，由可知：，解得，当时，，由上可知在时取得极大值为，结合图象可知，此时与有且仅有一个交点，故正确；当时，或，若，结合图象可知与有三个不同的交点，若，，此时与有一个交点，故方程有4个相异实根，故错误；当时，，由可知此时有三个不等实根，当时，或，当时，由图可知有两个不等实根，当时，由图可知有一个实根，当时，或，当时，由图可知有两个不等实根，当时，由图可知有一个实根，故此时方程共有9个不等实根，故错误．故选：． 13．已知函数，则函数的零点是　1　，若有两个零点，，则的最小值是　　．【解析】解：，，当时，，，则，当时，，则．，令，则或，解得．故函数的零点是1；由上可知，，有两个零点，，即有两根， 也就是，有两根，，不妨设，当时，，当时，，令，则，，，，，，设，，则，可得当，时，，当时，，则的最小值为．的最小值是．故答案为：1；．14．已知函数，若有两个零点，，则的取值范围　　．【解析】解：当时，，则，，当时，，则，，综上可知，，令，得，依题意，有两个根，，不妨设，当时，，当时，，令，则，，设，则， 在上单调递减，，的取值范围为．故答案为：．15．已知函数（其中为自然对数的底数），若关于的方程恰有5个相异的实根，则实数的取值范围为　，　．【解析】解：当时，令，解得，所以当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，当时，单调递增，且，作出函数的图象如图：（1）当时，方程整理得，只有2个根，不满足条件；（2）若，则当时，方程整理得，则，，此时各有1解，故当时，方程整理得，有1解同时有2解，即需，，因为（2），故此时满足题意； 或有2解同时有1解，则需，由（1）可知不成立；或有3解同时有0解，根据图象不存在此种情况，或有0解同时有3解，则，解得，故，（3）若，显然当时，和均无解，当时，和无解，不符合题意．综上：的范围是，故答案为，16．已知函数，若关于的方程恰有四个不同的解，则实数的取值范围是　　．【解析】解：已知定义在，，上的函数，若在定义域上有四个不同的解等价于关于原点对称的函数与函数的图象有两个交点，联立可得有两个解，即，，可设，，，，可得在递增，由（1），可得时，，递减；时，，递增，即在处取得极小值且为，作出的图象，可得时，有两个解，故答案为：． 17．已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则的取值范围是　　．【解析】解：作的图象如下，，，或；有两个不同的解，故有三个不同的解，故；故答案为：．18．已知函数．（1）求函数的零点；（2）若关于的方程、恰有5个不同的实数解，求实数的取值范围． 【解析】解：（1）由题得，①当时，令，得或（舍；②当时，令，得或，函数的零点是，1，3；（2）作出函数的大致图象，如图：令，若关于的方程恰有5个不同的实数解，解法一：则函数的零点分布情况如下：①当，时，则，得，故；②当，时，则，得，故．综上所述，实数的取值范围为，，；解法二：则方程的根的情况如下：①当，时，由得，则方程，即，故，所以；②当，时，由得，则方程，即，故，所以． 综上所述，实数的取值范围为，，．19．已知函数．（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于的方程内有实数解，求实数的取值范围．【解析】解：（1）（3分）函数的最小正周期为8．（4分）令，，求得，，故函数的单调递增区间为，（6分）（2）设，，，，，，方程在，内有实数解，即当，时方程有实数解．（10分）时取等号，，（8分）故实数的取值范围是，．（12分）20．已知函数对一切实数，都有成立，且（1），，，．（Ⅰ）求的值和的解析式；（Ⅱ）记函数在，1上的最大值为，最小值为．若，当时，求的最大值；（Ⅲ）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）令，得（1），（1），，令得，即．（Ⅱ）．①当，即时，（1），与题设矛盾 ②当时，即时，（1）恒成立，综上可知当时，的最大值为2．（3）当时，则不是方程的根，方程可化为：，，令，则方程化为，，方程有三个不同的实数解，由的图象知，，，有两个根、，且或，．记，则，此时，或，此时无解，综上实数的取值范围是．