2024高考数学常考题型：第4讲 导数中构造函数比大小问题题型总结（解析版）

第4讲导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造比较大小此函数定义域为，求导，当时，，故为增函数，当时，，故为减函数，当时，取得极大值为，且，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）若，则的大小关系为（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数，通过求导分析其单调性即可得到答案【详解】解：，设，则时，，故在上单调递减，则，即，所以．故选：A.【例2】（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】C 【解析】【分析】结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数,然后结合导数与单调性关系分析出时,函数取得最大值,可得最大,然后结合函数单调性即可比较大小.【详解】设,则,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,故当时,函数取得最大值,因为,,,当时,,函数单调递减,可得,即.故选:C【例3】（2022·吉林·高二期末）下列命题为真命题的个数是（       ）①；②；③；④．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】【分析】本题首先可以构造函数，然后通过导数计算出函数的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数的单调性即可比较出大小．【详解】解：构造函数，则， 当时，，时，，所以函数在上递增，在上递减，所以当时取得最大值，，由可得，故正确；，由，可得，故错误；，因为函数在上递减，所以，故正确；因为，所以，即，即，则，即，故错误，综上所述，有2个正确.故选：B．【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．【例4】（2021·陕西汉中·高二期末（理））已知a，b，c均为区间内的实数，且，，，则a，b，c的大小关系为（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】构造函数，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解. 【详解】解：令，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，因为，所以，因为a，b，c均为区间内的实数，且，，，所以，所以，故选：B.【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））设，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据a、b、c算式特征构建函数，通过求导确定函数单调性即可比较a、b、c的大小关系.【详解】令，则，因此在上单调递减，又因为，，，因为，所以．故选：B．【题型专练】1.（2022·四川省资阳中学高二期末（理））若，则（       ）A．B． C．D．【答案】A【解析】【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断、，即可得解；【详解】解：令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以又所以，即.故选：A2.（2022·浙江台州·高二期末）设，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题设，，，构造并利用导数研究单调性，进而比较它们的大小.【详解】由题设，，，，令且，可得，所以有，则上递增；有，则上递减； 又，故.故选：B3.（2022·四川广安·模拟预测（理））在给出的（1）（2）（3）.三个不等式中，正确的个数为（       ）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】【分析】根据题目特点，构造函数，则可根据函数的单调性解决问题.【详解】首先，我们来考察一下函数，则，令解得，令解得，故在区间上单调递增，在区间单调递减，所以，（1），即，即，则正确；（2），即，即，则错误；（3），即，所以，，则正确故选：C. 4.（2022·四川资阳·高二期末（文））若，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】设函数，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.【详解】设，则，当时，，递增，当时，，递减，当时，函数取得最小值，由于，故，即，故选：A5.（2022·山东日照·高二期末）是圆周率，是自然对数的底数，在，，，，，，，八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.【答案】        【解析】【分析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为以及的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数的单调性，判断出最大的数．【详解】显然八个数中最小的数是.函数是增函数，且，∴；函数是增函数，且，；函数是增函数，且，；函数在是增函数，且，，则八个数中最小的数是函数在是增函数，且，， 八个数中最大的数为或，构造函数，求导得，当时，函数在是减函数，，即，即，即，，则八个数中最大的数是.故答案为：；．6.（2022·安徽省宣城中学高二期末）设，则的大小关系为（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】设，利用导数求得的单调性和最值，化简可得，，，根据函数解析式，可得且，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.【详解】设，则，当时，，则为单调递增函数，当时，，则为单调递减函数，所以，又，，，又，，且在上单调递减，所以，所以. 故选：D7.（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知实数，，满足，则，，的大小关系为（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】判断出，构造函数，判断时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b的大小，即可得答案.【详解】由，得，设，则，当时，，单调递增，因为，所以，所以，故，则，即有，故.故选：C.题型二：利用常见不等式关系比较大小1、常见的指数放缩：证明：设，所以，所以当时，，所以为减函数，当当时，，所以为增函数，所以当时，取得最小值为，所以，即2.常见的对数放缩：3.常见三角函数的放缩： 【例1】（2022·湖北武汉·高二期末）设，，，则下列关系正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】分别令、、，利用导数可求得，，，由此可得大小关系.【详解】令，则，在上单调递增，，即，则；令，则，在上单调递减，，即，则；，即；令，则，在上的单调递增，，即，则，即；综上所述：.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.【例2】（2022·山东菏泽·高二期末）已知，，，则，，的大小关系为（       ）A．B．C．D．【答案】B 【解析】【分析】首先设，利用导数得到，从而得到，设，利用导数得到，从而得到和，即可得到答案.【详解】解：设，，令，解得.，，单调递减，，，单调递增.所以，即，当且仅当时取等号.所以.又，，故，所以；设，，令，解得.，，单调递增，，，单调递减.所以，即，当且仅当时取等号.所以，故，又，所以，故.故选：B.【例3】（2022·四川凉山·高二期末（文））已知，，，则（       ）．A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】 构造函数，由导数确定单调性，进而即得．【详解】设，则，在时恒成立，所以在上是增函数，所以，即，，∴，又，∴，即，所以．故选：C．【例4】（2022·四川绵阳·高二期末（理））若，,，则（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可比较得出、的大小关系，利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上为增函数，故，则，即，，因此，.故选：D.【例5】（2022·全国·高考真题（理））已知，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】 【分析】由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数可得，即可得解.【详解】因为,因为当所以,即,所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，故选：A【题型专练】1.（2022·福建·莆田一中高二期末）设，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】构造函数（），证明，令，排除选项A,B,再比较大小，即得解.【详解】解：构造函数（），，，所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以，令，则，，，考虑到，可得，等号当且仅当时取到，故时，排除选项A，B. 下面比较大小，由得，故，所以.故选：D.2.（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）已知，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数求解函数的单调性，利用单调性进行求解.【详解】解：设，则，设，则，故在区间上单调递增，即，即，故在区间上单调递增，所以，可得，故，利用三角函数线可得时，，所以，即，所以，故综上，故选：D.3（2022·湖北武汉·高二期末）设，，，则下列关系正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】 【分析】分别令、、，利用导数可求得，，，由此可得大小关系.【详解】令，则，在上单调递增，，即，则；令，则，在上单调递减，，即，则；，即；令，则，在上的单调递增，，即，则，即；综上所述：.故选：D.题型三：构造其它函数比大小（研究给出数据结构，合理构造函数）【例1】（2022·河南河南·高二期末（理））已知，，，其中，，，则a，b，c的大小关系为（       ）．A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】构造函数，并求，利用函数的图象去比较三者之间的大小顺序即可解决.【详解】 将题目中等式整理，得，，，构造函数，，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，函数的大致图象如图所示．因为，，，且，，，则由图可知，，所以．故选：A．【例2】（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）设，，，其中为自然对数的底数，则，，的大小关系是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】可判断，，，再令，，，求导判断函数的单调性，从而比较大小．【详解】解：，，，令，，， ，故在，上是减函数，故，即，故，即，故选：D．【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据给定条件构造函数，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数，求导得，令，则，故，单调递减，又，故，即，而，则，即，所以，故选：A【例4】（山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）设，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】 利用指数函数的性质可比较的大小，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出，从而可比较出三个数的大小【详解】因为在上为增函数，且，所以，因为，所以，即，令（），得，所以在上递增，所以，所以，令，则，即，即，所以，故选：D【例5】（2022·四川南充·高二期末（理））设，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据给定数的特征，构造对应的函数，借助导数探讨单调性比较函数值大小作答.【详解】令函数，，显然，则，令，，求导得，即在上单调递减，，，即， 因此当时，，取，则有，令，，，令，，，在上单调递减，，，有，则在上单调递增，，，因此当时，，取，则有，所以.故选：A【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】作差法比较出，构造函数，利用函数单调性比较出，从而得出.【详解】，所以，故，又，则在上单调递减，又，，所以存在，使得，且在时，，在时，，即在 上单调递增，在单调递减，且，所以，又因为，所以当时，，其中因为，所以，所以，故，即.故选：B【例7】（2022·河南洛阳·三模（理））已知，，，则，，的大小关系为（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】构造函数，，求其单调性，从而判断，，的大小关系.【详解】构造，，，在时为减函数，且，所以在恒成立，故在上单调递减，所以，即，所以，即.故选：D【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.【例8】（2022·河南·模拟预测（理））若，，，则a，b，c的大小关系为（       ）A．B．C．D． 【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数可得，进而可得，可得，再利用函数，可得，即得.【详解】令，则，∴在上单调递增，∴，，，∵，∴，故，设，则，所以函数在上单调递增，由，所以时，，即，∴，又，∴，故.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式与进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.【题型专练】1（2022·山东烟台·高二期末）设a=0.9，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】构造函数，，利用导数研究其单调性，再由单调性可比较大小.【详解】令，因为所以，当时，，单调递减，所以，即，；令，因为所以，当时，，单调递增，所以，即，，即.综上，.故选：B2.（2022·山东青岛·高二期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】构造函数得出大小，又即得出结论.【详解】构造函数，则，在上恒成立，则在上单调递减，故，则 ，，则，由对于函数，恒成立，所以，即在上恒成立.所以，（注：）所以，故选：C3.（2022·湖北襄阳·高二期末）设，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断单调性，得到，即可判断出.记，推理判断出.【详解】.记，则，所以在上单调递减.所以，所以..记，则. 所以在上，，则单调递减；在上，，则单调递增；所以，所以，即.所以.综上所述：.故选：C4.（2022·福建宁德·高二期末）已知，，且，则（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由题设有，分别构造、、、，利用导数研究在上的单调性，进而判断各项的正误.【详解】由，即，A：若且，则，故，，即在上存在零点且在上递增，所以在上不单调，则不一定成立，排除；B：若且，则，所以上，递增；上，递减；故在上不单调，则不一定成立，排除；C：若且，则，即在上递增，所以，即，排除；D：若且，则，即在上递增， 所以，即，正确.故选：D5.（2022·贵州贵阳·高二期末（理））设，，，则a，b，c的大小关系是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】分析可得，，，令，利用导数可得的单调性，根据函数单调性，可比较和的大小，即可得答案.【详解】由题意得，，，令，则，所以在为减函数，所以，即，所以，则，即.故选：D6.（2022·重庆南开中学高二期末）已知，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】，令，利用导数求出函数的单调区间，令，利用导数求出函数的单调区间，从而可得出和的大小，从而可得出的大小关系，将两边同时取对数，然后作差，从而可得出的大小关系，即可得出结论. 【详解】解：，，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，即，所以，即，所以，由，得，由，得，，因为，所以，所以，所以，即，所以，综上所述.故选：A.【点睛】 本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.7.（2022·湖北恩施·高二期末多选）已知，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】AC【解析】【分析】根据题意可将式子变形为，，，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解.【详解】解：由题意知，，对三个式子变形可得，，，设函数，则.由，得；由，得,则在上单调递减，在上单调递增，因为，所以,所以.故选：AC.8.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知，且满足，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先对已知条件取对数后得到，，.根据式子结构，构造函数，利用导数判断单调性，比较大小.【详解】 由得即.同理得：，.令则.故在上单调递增，上单调递减.所以.故选：C.