2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第16讲导数的应用——导数与函数的极值、最值（达标检测）（Word版附解析）

《导数的应用——导数与函数的极值、最值》达标检测[A组]—应知应会1．（2020春•济宁期末）函数的极大值点为　　A．B．C．0D．2【分析】求导得，易推出在和，上单调递增，在，上单调递减，从而得解．【解答】解：，，令，则或，当或时，，单调递增；当时，，单调递减．函数的极大值点为．故选：．2．（2020春•历下区校级月考）函数的极值点的个数为　　A．0B．1C．2D．3【分析】求出函数的导数，然后构造函数，再导函数，利用导函数的符号，判断原函数的导函数的单调性，然后求出原函数的最小值，说明原函数是增函数，推出结果．【解答】解：函数，可得，令，则函数，所以当时，，是增函数，即是增函数当时，，是增减函数，所以的最小值为，所以是增函数，没有极值点．故选：． 3．（2020春•潮州期末）函数在区间上存在极值点，则整数的值为　　A．，0B．，C．，D．，0【分析】求出导函数，判断函数的单调性，利用函数的极值所在位置，求解的值即可．【解答】解：函数，可得，当和时，，当时，，则在和上单调递增，在上单调递减．若在上无极值点，则或或，，，．时，在上无极值点，，，时，在上存在极值点．因为是整数，故或，故选：．4．（2020春•无锡期末）已知函数，，．则下列叙述正确的有　　A．函数有极大值B．函数有极小值C．函数有极大值D．函数有极小值【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值判断即可．【解答】解：，，，，令，解得：令，解得：，故在，递增，在，递减，故极大值，故选：．5．（2020•鹿城区校级模拟）已知函数，其导函数的图象经过点、，如图所示，则下列命题正确的是　　 A．当时函数取得极小值B．有两个极大值点C．（1）D．【分析】求出导函数，结合导函数的图象，判断函数的极值以及函数值，判断选项的正误即可．【解答】解：函数，其导函数，由函数的图象可知，，（1），（2），，是函数的两个极值点，（1）是极大值，（2）是极小值，所以，不正确；不正确；，由图象可得，，，所以，可得，所以正确；故选：．6．（2020春•海淀区校级期末）若函数不存在极值点，则的取值范围是　　A．或B．或C．D．【分析】由于函数不存在极值，可得恒成立，求解出一元二次不等式即可得到的取值范围．【解答】解：函数，，函数不存在极值，且的图象开口向上，对恒成立，△，即，的取值范围是．故选：．7．（2020•运城三模）函数的最小值为　　 A．B．C．D．【分析】用换元法设，则，，设，求导，分析单调性，再求最值即可．【解答】解：因为，设，则，且，设，则，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以的最小值为．即的最小值为．故选：．8．（2020春•重庆期末）已知函数，，，若，，不等式成立，则的最大值为　　A．4B．3C．2D．1【分析】问题转化为则，分别求出函数的最值，得到关于的不等式，解出即可．【解答】解：若，，不等式成立，则，，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故（1），而，①即时，，，在递增，，成立，②，即时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故， 故只需，即，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，（1），（2），（3），（4），故满足的的最大值是3，故选：．9．（多选）（2020春•宿迁期末）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是　　A．是函数的极小值点　　　　　　B．是函数的极小值点C．函数在区间上单调递增　　D．函数在处切线的斜率小于零【分析】结合图象求出函数的单调区间，求出函数的极值点，判断选项即可．【解答】解：由图象得时，，时，，故在递减，在递增，故是函数的极小值点，故选：．10．（多选）（2020春•徐州期中）已知函数，下列说法中正确的有　　A．函数的极大值为，极小值为B．当，时，函数的最大值为，最小值为C．函数的单调减区间为，D．曲线在点处的切线方程为【分析】可以通过求导，来分析函数的单调性，及极值，最值，进而得出结论．【解答】解：定义域为， ，令，得或2，所以在，上单调递增，在上单调递减，故正确，（2）（2）（2），故正确，（3）（3）（3），（4）（4）（4），所以当，时，最大值为，最小值为故不正确，，曲线在点处切线方程为，即，故正确．故选：．11．（2020春•海淀区校级期末）设函数，则的极小值是　　．【分析】去绝对值，化为分段函数，画出函数的图象，由图象可得答案．【解答】解：当时，，当时，，则其图象如图所示，由图象可得在，上单调递增，在上单调递减，函数的极小值为（2）， 故答案为：0．12．（2020春•运城期末）函数在处有极值，则的值是　　．【分析】求出函数的导数，得到关于的方程，解出检验即可．【解答】解：，，若函数在处有极值，必有，即，解得：，故答案为：2．13．（2020春•鼓楼区校级期中）已知函数，则它的极小值为　　；若函数，对于任意的，，总存在，，使得，则实数的取值范围是　　．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值；（2）问题转化为，结合函数的单调性得到关于的不等式，解出取并集即可．【解答】解：（1）由，得，，，的变化如下表：00极小值；（2），，，，使得，即，当时，单调递增，，，即；当时，单调递减，（2），故，即；当时，，不符合题意，舍． 综上：；故答案为：；．14．（2020春•商丘期末）已知函数在区间，上的最大值与最小值的和为18，则实数的值为　　．【分析】用换元法令，则，，可得原函数变为，令，，，则函数为奇函数且，推出，，进而解出的值．【解答】解：令，则，，所以原函数变为，令，，，则函数为奇函数且，所以，，所以，因为为奇函数，所以，所以，所以．15．（2020春•西城区校级期末）已知函数，是奇函数．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）求函数的极值．【分析】（Ⅰ）求导得，于是，结合奇函数的特点，可列出关于、的方程，解之即可．（Ⅱ）由（1）可知，，令，则或，然后列表写出、随的变化情况，从表中可知函数的单调性，从而得解．【解答】解：（Ⅰ），，， 为奇函数，，解得，．（Ⅱ）由（1）可知，，，令，则或．、随的变化情况如下表：，，00极小值极大值函数的极小值为，极大值为．16．（2020春•海淀区校级期末）已知函数，．（1）求函数的极值；（2）设函数；①求在，的最小值；②若函数在，上恰有两个不同零点，求实数的取值范围．【分析】（1）先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出；（2）①根据导数和函数最值得关系即可求出；②函数在，上恰有两个不同零点，则，解得即可．【解答】解：（1），，，令，解的，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，（1），无极大值；（2）①，，，，当，时，，函数单调递减，当，时，，函数单调递增，（2）．②由（1），（3），（2），函数在，上恰有两个不同零点，，即，解得，，，．17．（2020•呼和浩特模拟）已知函数．（Ⅰ）若函数的极小值为1，求实数的值；（Ⅱ）若函数在时，其图象全部都在第一象限，求实数的取值范围．【分析】先对函数求导，然后结合导数与极值关系对进行分类讨论，进而可求；原问题等价于时，恒成立，构造函数，结合导数与单调性关系分析函数的特征，进而可求．【解答】解：，①若，则在上恒成立，在单调递增，所以无极值．②若，当时，，当时，，即在单调递减，在单调递增，所以的极小值为，由，解得． ，函数图象全部在第一象限，等价于时，恒成立，令，，令，，令，显然在，单调递增，．当时，，所以，在单调递增，，即，在单调递增，所以，此时符合题意；当时，，，使．故在恒为负值，在单调递减，此时，所以在单调递减，所以，此时不符合题意．故所求的取值范围为，．[B组]—强基必备1．（2019•合肥一模）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是　　A．，B．C．，D．【分析】求出函数的等式，结合函数的极值点的个数求出的范围，求出，令（a），，根据函数的单调性求出的范围即可．【解答】解：，，， 若函数有两个不同的极值点，，则方程有2个不相等的正实数根，故，解得，所以，，令（a），，（a），故（a）在递增，故（a），故，故选：．2．（2019春•锡山区校级期末）已知函数，若函数有两个极值点，，且，则实数的取值范围为　　．【分析】由题意可得，，作比得，令，结合条件将写成关于的函数，求导分析得到的范围，再结合得到的范围，与函数有两个极值点时的范围取交集即可．【解答】解：函数由两个极值点，，有两个零点，，即，，作比得，令①，则有， ，代入①，得，由题意知，，，令，，，令，则，单调递减，，单调递减，，即，而，令，则，在，上单调递增，，即，又有两个零点，，在上与有两个交点，而，在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，，综上，．故答案为：．3．（2020•涪城区校级模拟）已知函数，．（1）当时，比较与的大小，并证明；（2）令函数，若是函数的极大值点，求的取值范围．【分析】（1）时，设，（1）．，，令，利用导数研究函数在上单调性，即得出大小关系．（2）函数．．根据1是函数的极大值点，可得时，时，．利用导数研究函数的单调性极值即可得出． 【解答】解：（1）时，设，（1）．则，，令，，可得时，函数取得极大值，（1）．，是上的减函数，，，即，．时，可得．时，．（2）函数．．是函数的极大值点，时，时，．①时，．化为：，令，．，令，，．（1）．（1）．．在上单调递增．时，，，可得． ②时，．同理可得：综上可得：，解得．的取值范围是，．