2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第15讲导数的应用——导数与函数的单调性（讲）（Word版附解析）

第15讲导数的应用——导数与函数的单调性思维导图知识梳理函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．题型归纳题型1证明（判断）函数的单调性【例1-1】（2019春•合肥期中）已知函数，讨论函数的单调性．【分析】，．．对与0，的大小关系分类讨论，即可得出单调性．【解答】解：，．．对分类讨论：时，函数在上单调递减，在上单调递增．，即时，，函数在上单调递增．，即时，函数在，上单调递增，在上单调递减．，即时，函数在，上单调递增，在上单调递减． 【跟踪训练1-1】（2020春•吉林期末）函数在区间上　　A．单调递减B．单调递增C．上单调递增，上单调递减D．上单调递减，上单调递增【分析】对函数求导数，然后研究导数在上的符号即可．【解答】解：因为，恒成立，故在上是单调增函数．故选：．【跟踪训练1-2】（2019秋•南充期末）试证明函数在上是减函数．【分析】在上任取，通过比较与的大小判断函数单调性．【解答】证明：在上任取，则：；而，，所以，即；由，，在上是减函数得证．【名师指导】讨论函数f(x)单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性． 题型2求函数的单调区间【例2-1】（2020春•克什克腾旗校级月考）函数的单调递增区间为　　A．B．C．D．【分析】先求出函数的导数，然后利用，解函数的单调增区间．【解答】解：函数的导数为，由，得，解得，即函数的单调递增区间为．故选：．【例2-2】（2020春•和平区校级月考）求函数的单调区间．【分析】．下面对分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：．下面对分类讨论：时，在上单调递增．时，令，解得．可得：函数在上单调递减，在上单调递增．时，令，解得．可得：函数在，上单调递减，在，上单调递增．综上可得：时，在上单调递增．时，函数在上单调递减，在上单调递增．时，函数在，上单调递减，在，上单调递增．【跟踪训练2-1】（2020春•工农区校级期末）函数的单调递增区间为　　A．B．C．D．【分析】先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出．【解答】解：函数， 则，令，解得，故函数的单调递增区间为，故选：．【跟踪训练2-2】（2019秋•启东市期中）确定函数，的单调区间．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：函数的导数，令，，又，所以；令，，又，所以．故的单调增区间为，单调减区间为．【名师指导】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．题型3函数单调性的简单应用——比较大小或解不等式【例3-1】（2020•海东市模拟）已知，则　　A．B．C．D．【分析】结合已知可考虑构造函数，然后对其求导，结合导数可判断单调性，进而可比较大小．【解答】解：设，则， 令，得，所以在上单调递增，在上单调递减．由题意可知（e），（3），（5），因为，所以（e）（3）（5），即．故选：．【例3-2】（2020春•沈阳期末）是定义在上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为　　A．，，B．，，C．，，D．，，【分析】构造函数，易推出在上单调递减；由是定义在上的奇函数，可知为偶函数，从而得在上单调递增，且（3）．在的情形下，再分和，讨论与0的关系，从而得解．【解答】解：令，则，当时，，在上单调递减，是定义在上的奇函数，，即函数为偶函数，在上单调递增，，（3），当时，若，则，；当时，若，则，．不等式的解集为，，．故选：．【跟踪训练3-1】（2020春•海淀区校级期末）对于定义在上可导的任意函数，若满足，则必有　　A．（a）B．（a）C．（a）D．（a）【分析】根据已知题意，解；然后根据的符号判断的单调性，继而确定最大值，得到与（a）的关系即可．【解答】解：根据题意，对于上可导的任意函数，若满足，当时，，此时， 即当时，为减函数，当时，，此时，即当时，为增函数，综上，时，取最大值（a），（a）；故选：．【跟踪训练3-2】（2020春•南充期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且（2），则不等式的解集为　　A．，B．，C．D．【分析】令，再研究函数的单调性来转化不等式进行求解．【解答】解：令，则，在递增，而（2），不等式，即，即即（2），则，解得：，故选：．【跟踪训练3-3】（2020春•玉林期末）已知函数的定义域为，且，则不等式的解集为　　A．，B．，C．D．【分析】构造函数，求导后可判断出在上单调递减．原不等式可化为，即，于是，解之即可．【解答】解：令函数，则， ，，在上单调递减．，可化为，即，，解得．不等式的解集为，．故选：．【名师指导】一般地，在不等式中如同时含有f(x)与f′(x)，常需要通过构造含f(x)与另一函数的积或商的新函数来求解，再借助导数考查新函数的性质，继而获得解答．如本题已知条件“2f(x)＋xf′(x)>0”，需构造函数g(x)＝x2f(x)，求导后得x>0时，g′(x)>0，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，从而问题得以解决．题型4函数单调性的简单应用——根据函数单调性求参数【例4-1】（2020春•利通区校级期末）若函数在，上为增函数，则的取值范围为　　A．，B．，C．，D．，【分析】求出函数的导数，问题转化为在，恒成立，求出的范围即可．【解答】解：，若在，递增，则在，恒成立，则，则，故选：．【例4-2】（2020春•五华区校级期末）已知函数，若存在，使，则的取值范围是　　A．，B．，C．，D．，【分析】求导得，定义域为，令，则，设，，于是有，即．易推出在上的单调性，然后求出的最小值即可得解． 【解答】解：，，令，则，设，，，即，当时，，单调递减；当，时，，单调递增．，．故选：．【例4-3】（2020春•肥城市期中）若函数在区间单调递增，则的取值范围是　　；若函数在区间内不单调，则的取值范围是　　．【分析】求出导函数，由导函数在内大于等于0恒成立求解的取值范围；由函数在区间不是单调函数，得函数在区间上有极值，即导函数在区间内有解，由此求得的取值范围．【解答】解：①由，得，由函数在区间单调递增，得在上恒成立，即在上恒成立，．的取值范围是，；②函数在区间内不单调，在区间有解．并且解的两侧，导函数的符号相反，由，解得，．而在区间上单调递减，在，上单调递增．的取值范围是．故答案为：，；．【跟踪训练4-1】（2020春•烟台期末）若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为　　A．或B．C．D．【分析】求出函数的导数，得到有变号零点，结合二次函数的性质可求． 【解答】解：，若函数在其定义域上不单调，则有变号零点，故△，解得：或，故选：．【跟踪训练4-2】（2020春•潍坊期末）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是　　．【分析】求出函数的导数，问题转化为在区间恒成立，求出的范围即可．【解答】解：，，，若函数区间上为减函数，则在区间恒成立，即，故答案为：，．【跟踪训练4-3】（2020•莆田二模）已知函数在区间，上单调递增，则的取值范围为　　．【分析】求出的导数，问题转化为，，，令，，，求出函数的最小值，求出的范围即可．【解答】解：，若在，上单调递增，则在，上恒成立，即，，，令，，，则，令，解得：，令，解得：，故在，递增，在，递减，故的最小值是（e）或， 而（e），故（e），故的范围是，，故答案为：，．【名师指导】已知函数单调性求参数范围(1)已知可导函数f(x)在区间D上单调递增，则在区间D上f′(x)≥0恒成立；(2)已知可导函数f(x)在区间D上单调递减，则在区间D上f′(x)≤0恒成立；(3)已知可导函数f(x)在区间D上存在增区间，则f′(x)>0在区间D上有解；(4)已知可导函数f(x)在区间D上存在减区间，则f′(x)<0在区间D上有解．