2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第6讲函数的单调性与最值（达标检测）（Word版附解析）

《函数的单调性与最值》达标检测[A组]—应知应会1．（2020春•天津期末）下列函数中，在上为增函数的是　　A．B．C．D．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，为一次函数，在上为减函数，不符合题意；对于，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；对于，为反比例函数，在上为增函数，符合题意；对于，，当时，，则函数在上为减函数，不符合题意；故选：．2．（2019秋•钟祥市校级期中）函数的单调递减区间为　　A．B．C．D．【分析】结合绝对值的应用，以及函数单调性的性质进行判断即可．【解答】解：当时，，此时函数为增函数，当时，，此时函数为减函数，即函数的单调递减区间为，故选：．3．（2020•吴忠一模）已知偶函数满足：对任意的，，，都有成立，则满足的取值范围是　　A．B．C．D．【分析】根据偶函数的对称性及单调性即可直接求解．【解答】解：偶函数满足：对任意的，，，都有成立，故在，上单调递增，根据偶函数的对称性可知，函数在上单调递减， 由可得，，解可得．故选：．4．（2020•厦门模拟）已知函数，是单调递增函数，则实数的取值范围是　　A．B．，C．，D．，【分析】结合已知分段函数的单调性及每段函数单调性的要求进行求解即可．【解答】解：由，，可知在恒成立，故即或，根据分段函数的性质可知，，解可得，．故选：．5．（2020•汕头二模）设函数，则满足的的取值范围是　　A．，B．C．D．【分析】由已知结合分段函数的单调性进行分类讨论可求．【解答】解：因为时，单调递减，由可得，或，解可得，或即．故选：． 6．（2020春•金凤区校级期中）若函数，且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是　　A．B．C．D．，【分析】先根据函数单调性的定义可判断出函数在上单调递增，再结合一次函数、指数函数的单调性，列出满足条件的关于的不等式组，解之即可得解．【解答】解：由题可知，函数在上单调递增，解得，．故选：．7．（2020春•海安市校级月考）已知函数，若的最小值与的最小值相等，则实数的取值范围是　　A．，B．，C．，，D．，，【分析】首先这个函数的图象是一个开口向上的抛物线，也就是说它的值域就是大于等于它的最小值．它的图象只能是函数上的一段，而要这两个函数的值域相同，则函数必须要能够取到最小值，这样问题就简单了，就只需要的最小值小于．【解答】解：由于，．则当时，，又函数的最小值与函数的最小值相等，则函数必须要能够取到最小值，即，得到或，所以的取值范围为或．故选：．8．（多选）（2019秋•临高县校级期末）下列函数中，在区间上单调递增的是　　A．B．C．D． 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，，是正比例函数，在区间上单调递增，符合题意；对于，，是二次函数，在区间上单调递增，符合题意；对于，，是反比例函数，在区间上单调递减，不符合题意；对于，，是指数函数，在区间上单调递减，不符合题意；故选：．9．（多选）（2019秋•费县期末）已知函数，，则以下结论错误的是　　A．任意的，且，都有B．任意的，且，都有C．有最小值，无最大值D．有最小值，无最大值【分析】由函数及函数的性质直接判断即可．【解答】解：在上单调递增，无最值，故选项错误；为偶函数，易知其在为减函数，在为增函数，且在处取得最小值，无最大值，故选项错误；故选：．10．（多选）（2019秋•葫芦岛期末）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是　　A．，B．，C．，D．，【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得，结合反比例函数的性质以及函数图象平移的规律可得且，分析可得、的关系，据此分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为， 若函数在区间上单调递增，必有且，即且，据此分析选项：、、符合；故选：．11．（2019秋•徐汇区校级期中）函数的单调递增区间为　　．【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得的对称轴以及开口方向，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，，是开口向下的二次函数，其对称轴为，故的单调递增区间为，；故答案为：，．12．（2019秋•香坊区校级月考）函数的值域是　　，单调递增区间是　　．【分析】根据题意，，求出函数定义域，设，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数，设，必有，解可得，必有，则，则有，即函数的值域为，；又由，必在区间，上为增函数，则，上为减函数，则函数的递增区间为，；故答案为：，；，．13．（2019秋•咸阳期末）已知函数在上是减函数，且（2），则满足的实数的取值范围是　　．【分析】根据（2）可以由得出（2），再根据在上是减函数即可得出，解出的范围即可．【解答】解：（2），由得，（2），且在上是减函数，，解得， 满足的实数的取值范围是．故答案为：．14．（2020•运城模拟）已知函数，若的最小值为（1），则实数的取值范围是　　．【分析】利用分段函数以及二次函数的性质，基本不等式转化列出不等式组求解即可．【解答】解：由题意可知要保证的最小值为（1），需满足，即，解得．故答案为：，15．（2019秋•贺州期中）已知函数，判断函数的单调性并加以证明．【分析】利用函数单调性的定义，先设，然后通过作差法比较与的大小，即可判断【解答】解：函数在，上是减函数．证明如下：设，，，，，，即，函数在，上是减函数．16．（2019秋•杜集区校级期末）已知一次函数是上的增函数，且，．（1）求；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围．【分析】（1）设，代入，可求出，；（2）图象开口向上，故只需令位于对称轴右侧即可．【解答】解：（1）设， 一次函数是上的增函数，，则，，解得，．．（2），图象开口向上，对称轴为，在上单调递增，，解得．故的范围为，．17．（2019秋•浔阳区校级期末）已知函数（1）用函数单调性的定义证明在区间，上为增函数（2）解不等式：（7）【分析】（1）任取，，，且，通过作差比较与的大小，根据增函数的定义，只需说明即可；（2）根据函数的单调性得到，求出不等式的解集即可．【解答】（1）证明：任取，，，且，则，因为，所以，，所以，即， 所以在，上为增函数．（2）解：，结合（1）得在，递增，所以，解得：，故不等式的解集是，．18．（2019秋•顺庆区校级期中）设是定义在上的单调递增函数，满足，（2）．（1）求（1）；（2）解不等式．【分析】（1）根据可令，，从而可求出（1）的值；（2）根据条件可求出（4），从而由可得出（4），再根据是定义在上的单调递增函数可得出，解出的范围即可．【解答】解：（1），（1）（1）（1），（1）；（2），（2），（4）（2）（2），，由得，（4），且是定义在上的单调递增函数，，解得，故原不等式的解集是，．19．（2020春•杭州期中）已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间； （Ⅱ）令，若在，的最大值为5，求的值．【分析】（Ⅰ）当时，分段求解，作出图象，即可求解单调递增区间；（Ⅱ）令，利用换元法根据分段函数的性质即可求解最大值为5时的值．【解答】解：（Ⅰ）当时，当或，在，递增，当时，在，递增，所以函数的单调递增区间为，，，；（Ⅱ）可令，，，则当时，，则；当，则综上可知或20．（2019秋•上城区校级月考）定义函数．（1）如果的图象关于对称，求的值；（2）若，，记的最大值为，当、变化时，求的最小值． 【分析】（1）知道函数的对称轴，可以通过平移，数形结合的思想进而求得答案；（2）利用放缩法求解函数最小值．【解答】解：（1）的图象关于直线对称，则将的图象向左移动2个单位，得到函数，为偶函数，解得，；（2）对任意的，，，，取得，同理取得，，由上述三式得：，，，，，，因此，，（当且仅当时，取得最大值），此时，，经验证，满足题意．故当，时，取得最小值，且最小值为．[B组]—强基必备1．（2020•河南模拟）已知，则不等式的解集为　　【分析】由已知函数解析式求出函数的单调性，然后结合单调性可求不等式的解集．【解答】解：因为时，，则，即此时函数单调递增，又因为在时单调递增，且在端点0处， 因为，当时，不等式显然成立，此时；当时，可得，所以，整理可得，，解可得，或此时或，综上可得，不等式的解集为或．故答案为：或．2．（2019秋•锡山区校级月考）已知实数，，则的最大值为　　．【分析】构造新的不等式，引入参数，，然后令分子等于0，△，即，再令△，解得或或，进而求解；【解答】解：令分子等于0，△，即，再令△，解得或或，①，当且仅当即时等号成立；②，当且仅当即时等号成立；综上，最大值为， 故答案为：3．（2020春•温州期末）已知函数．（Ⅰ）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）记在，内的最大值为，最小值为，若有解，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）在区间上恒成立，化为大于最大值，设，利用函数的单调性求解即可．（Ⅱ）推出，通过①当，②当，③当，求出不等式的最小值即可．【解答】解　（Ⅰ）在区间上恒成立，在上恒成立，，恒成立，即大于的最大值，设，由函数性质易得：在，上是单调递增函数，，即，．（Ⅱ）有解，，①当，即时，（1）（2）；②当，即时，（2）（1），③当，即时，．与对应图象如图： 当时，最小值为，．