2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第04讲基本不等式（达标检测）（Word版附解析）

《基本不等式》达标检测[A组]—应知应会1．（2020春•南关区校级期中）若，则的最小值为　　A．B．C．1D．【分析】由，然后利用基本不等式即可求解．【解答】解：因为，则，当且仅当即时取等号，故选：．2．（2020•历下区校级模拟）已知，，且，则的最小值为　　A．100B．81C．36D．9【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解的最小值．【解答】解：，，且，由基本不等式可得，当且仅当即，时取等号，解可得，即的最小值36．故选：．3．（2020•海南一模）如图，矩形花园的边靠在墙上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形花园的面积为4平方米，墙足够长，则围成该花园所需要篱笆的　　A．最大长度为8米B．最大长度为米C．最小长度为8米D．最小长度为米 【分析】根据已知条件建立关于篱笆长度的关系式，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：设米，米，则，所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为，当且仅当，即时取等号．故选：．4．（2020春•诸暨市校级期中）坐标满足，且，，则的最小值为　　A．9B．6C．8D．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得，，则，当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值9故选：．5．（2020春•金华期中）已知实数，满足，且，则的最小值为　　A．21B．24C．25D．27【分析】根据题意，将变形可得，据此可得，设，则有，，结合基本不等式性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，实数，满足，变形可得，则有，则，设，则有，，又由，则有，即的最小值为27，此时，即；故选：．6．（2020•河东区一模）已知实数、，，则的最大值为　　A．B．C．D．6 【分析】直接利用关系式的恒等变换的应用和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：由于，所以，故：，（当且仅当时，等号成立）．故选：．7．（2020春•顺庆区校级月考）在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为　　A．1B．8C．2D．4【分析】由向量共线定理可得，然后利用1的代换，结合基本不等式即可求解．【解答】解：由于点在线段上，由向量共线定理可得，则，故选：．8．（2019秋•开封期末）已知，，，若不等式对已知的，及任意实数恒成立，则实数的取值范围是　　A．，B．，C．，D．，【分析】先结合基本不等式求出的范围；再根据不等式恒成立结合二次函数即可求解【解答】解：，当且仅当时等号成立，，即，．故选：．9．（2020•中卫二模）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄 和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3．设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是　　①由图1和图2面积相等可得；②由可得；③由可得；④由可得．A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③【分析】根据题意求出，，，然后可判断②③④对，根据面积相等，可判断①对．【解答】解：由图1和图2面积相等，可得，①对；由题意知图3面积为，，，图3设正方形边长为，由三角形相似，，解之得，则；可以化简判断②③④对，故选：．10．（多选）（2020•德州二模）若正实数，满足，则下列说法正确的是　　A．有最大值B．有最大值C．有最小值2D．有最大值【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为正实数，满足， 由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故正确；因为，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故正确；，即有最小值4，故错误；，结合可知有最小值，当且仅当时取等号，故错误；故选：．11．（多选）（2020春•锡山区校级期中）设正实数、满足，则下列说法正确的是　　A．的最小值为B．的最大值为C．的最小值为2D．的最小值为2【分析】，，，利用“乘1法”可得：，再利用基本不等式的性质可得其最小值．利用基本不等式的性质进而判断出的正误．【解答】解：，，，则，当且仅当时成立．，解得．，，．，当且仅当时取等号．综上可得：正确．故选：．12．（2020•昌平区二模）已知，则的最小值为　　．【分析】由，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为，则，当且仅当即时取等号， 故答案为：513．（2020•北京模拟）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：随时间（单位：的变化关系为，则经过　　后池水中药品的浓度达到最大．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：，当且仅当时取等号．因此经过后池水中药品的浓度达到最大．故答案为：2．14．（2020•江苏模拟）已知正实数，满足，则的最小值为　　．【分析】直接利用关系式的变换和不等式的性质的应用求出结果．【解答】解：已知正实数，满足，整理得：，所以，所以（当且仅当等号成立）故的最小值为2．故答案为：215．（2020•南开区二模）已知，则的最小值为　　．【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得，进而可得，据此由基本不等式的性质分析可得的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，，则有，当且仅当时等号成立，则原式，又由，则，则有，当且仅当，即时等号成立， 综合可得：的最小值为4，当且仅当时等号成立故答案为：4．16．（2019秋•淄博期末）若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是　　．【分析】先利用乘1法，配凑基本不等式的应用条件求的最小值，然后由恒成立，可得，解不等式可求．【解答】解：正实数，满足，则．当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值16，因为不等式恒成立，则，解可得．故答案为：17．（2020春•克东县期中）已知．（1）求的最大值；（2）求的最小值．【分析】（1）由，可知，即可求解；（2），结合二次函数的性质可求．【解答】解：（1），所以，当且仅当即，时取等号，则的最大值为；（2）， 结合二次函数的性质可知，当时，函数取得最小值．18．（2019秋•历城区校级期末）有一批材料，可以建成长为240米的围墙如图，如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形，怎样围法才可取得最大的面积？并求此面积．【分析】结合已知条件，利用基本不等式即可求解面积的最大值及取得的条件．【解答】解：设每个小矩形的长为，宽为，依题意可知，，当且仅当取等号，所以时，当面积相等的小矩形的长为30时，矩形面积最大，19．（2020•全国Ⅰ卷模拟）若，，且．（1）求的最小值；（2）是否存在、，使得？并说明理由．【分析】根据基本不等式求解的值域，然后求解（1）（2）．【解答】解：（1）由，得，当且仅当时成立，所以，当且仅当时成立，所以的最小值为4．（2）由（1）知，当且仅当，时成立，因为，不同时成立，所以，不存在，使成立．20．已知，均为正实数，且． （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．【分析】由已知结合基本不等式即可求解最小值；结合中最小值的求解及含绝对值不等式的求法即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为，且，得，所以（当且仅当，时取等号）．所以，所以成立．故的最小值为1（Ⅱ）由（Ⅰ）知对任意的，恒成立，或或，，或，或．故实数的取值范围为，．21．（2020•赣州模拟）已知正实数，满足．（1）求的最小值．（2）证明：．【分析】（1）由已知可得，，展开后利用基本不等式可求；（2）由，展开后结合基本不等式可求范围，然后由即可证明．【解答】解：（1）正实数，满足，，当且仅当且即，时取得最小值；（2）证明：，， ，（当且仅当时取等号）[B组]—强基必备1．（2019秋•南城县校级期末）已知正数，满足，且，则的最大值为　　A．B．C．2D．4【分析】根据题意，分析可得，由基本不等式的性质求出的最小值，即可得的最小值，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，正数，满足，则，又由，当且仅当时等号成立，则，即的最小值为，若，则的最大值为；故选：．2．（2020春•武侯区校级期中）已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围是　　．【分析】首先对关系式进行恒等变换，进一步整理得，最后利用基本不等式的应用求出结果．【解答】解：已知正数，满足，所以，所以： 则：，，，，，，要使恒成立，只需满足即可，故．故答案为：．