2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第03讲不等关系与一元二次不等式（讲）（Word版附解析）

第3讲不等关系与一元二次不等式思维导图知识梳理1．两个实数比较大小的依据(1)a－b＞0⇔a＞b.(2)a－b＝0⇔a＝b.(3)a－b＜0⇔a＜b.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b>c⇒ac；　　(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc;a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；　(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；(6)可开方性：a>b>0⇒(n∈N，n≥2)．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2没有实数根 ＝－ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅核心素养分析用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。题型归纳题型1不等式的性质及应用【例1-1】（2020春•湖北期中）下列命题中，正确的是　　A．若，则B．若，，则C．若，则D．若，，则【分析】根据不等式的基本性质，对选项中的命题判断正误即可．【解答】解：对于，由，时，；时，，所以错误；对于，当，时，有，所以错误；对于，当时，有，所以正确；对于，由，，得出，所以，错误．故选：．【跟踪训练1-1】（2020•玉溪二模）若，，则　　A．B．C．D．【分析】分别根据幂函数指数函数对数函数的单调性，可以排除，问题得以解决．【解答】解：，，在为增函数， 可得；错；，，故对，，故错误，；即，故错误．故选：．【名师指导】比较大小的方法(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．题型2一元二次不等式的解法【例2-1】（2019秋•河东区期中）不等式的解集为　　．【分析】不等式化为，求出解集即可．【解答】解：不等式可化为，解得，所以不等式的解集为．故答案为：．【例2-2】（2019·杭州模拟）求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．【分析】根据a的取值分类讨论.【解答】原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0， 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.当a>0时，不等式的解集为∪；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a<0时，不等式的解集为∪.【跟踪训练2-1】（2020春•启东市校级月考）一元二次不等式的解集为　　A．B．C．D．【分析】一元二次不等式化为，求出解集即可．【解答】解：一元二次不等式可化为，解得或，所以原不等式的解集为，，．故选：．【跟踪训练2-2】（2019秋•嘉兴期末）已知不等式的解集是，，则不等式的解集是　　A．B．，，C．D．，【分析】根据不等式的解集得出，是一元二次方程的实数根，得出和的关系，把不等式化为，求出解集即可【解答】解：不等式的解集是，则，是一元二次方程的实数根，且；，； 不等式化为，；化为；又，；不等式的解集为：，故选：．【名师指导】1.解一元二次不等式的4个步骤2.解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；(2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集．题型3一元二次不等式的恒成立或有解问题【例3-1】（2020•一卷模拟）已知关于的不等式在，上有解，则实数的取值范围是　　A．B．C．D．【分析】由题意不等式化为，讨论、和时，分别求出不等式成立时的取值范围即可．【解答】解：，时，不等式可化为； 当时，不等式为，满足题意；当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，所以，即；当时，恒成立；综上知，实数的取值范围是．故选：．【例3-2】（2018秋•凌源市期末）不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是　　．【分析】设，将不等式恒成立的问题转化为函数图象始终在轴上方，进而根据判别式处理即可．【解答】解：依题意，设，因为不等式对任意实数都成立，所以△，解得，故答案为：．【跟踪训练3-1】（2020春•湖北期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是　　A．，B．C．，D．，【分析】对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在不为0时，把解集为化为所对应图象均在轴上方，列出满足的条件即可求实数的取值范围．【解答】解：当时，不等式化为，解集为空集，符合要求；当时，因为关于的不等式的解集为，即所对应图象均在轴上方，，解得； 综上，满足要求的实数的取值范围是，．故选：．【跟踪训练3-2】（2019秋•崇川区校级月考）关于的不等式在区间，上有实数解，则实数的取值范围是　　.【分析】关于的不等式在区间，上有解，等价于，其中，，求出在，的最大值即可．【解答】解：关于的不等式在区间，上有实数解，等价于，，；设，其中，，则函数在，内单调递减，当时，函数取得最大值为（1）；所以实数的取值范围是．故答案为：．【名师指导】1.一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是2.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.