2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第5讲函数及其表示（达标检测）（Word版附解析）

《函数及其表示》达标检测[A组]—应知应会1．（2019秋•拉萨期末）下列函数与函数y＝x相等的是（　　）A．y=(x)2B．y=x2C．y=(3x)3D．y=x2x【分析】已知函数的定义域是R，分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致即可．【解答】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．B．函数的定义域为R，y＝|x|，对应关系不一致．C．函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．故选：C．2．（2019秋•河北区期末）集合M＝{x|﹣2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（　　）A．B．C．D．【分析】本题考查的是函数的概念和图象问题．在解答时首先要对函数的概念从两个方面进行理解：一是对于定义域内的任意一个自变量在值域当中都有唯一确定的元素与之对应，二是满足一对一、多对一的标准，绝不能出现一对多的现象．【解答】解：由题意可知：M＝{x|﹣2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，对在集合M中（0，2]内的元素没有像，所以不对； 对不符合一对一或多对一的原则，故不对；对在值域当中有的元素没有原像，所以不对；而符合函数的定义．故选：B．3．（2019秋•菏泽期末）函数f（x）＝lg（x﹣1）+2-x的定义域为（　　）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x≤2}【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：由x-1＞02-x≥0，解得1＜x≤2．∴函数f（x）＝lg（x﹣1）+2-x的定义域为{x|1＜x≤2}．故选：A．4．（2019秋•珠海期末）已知函数f（x）满足f（x+1）的定义域是[0，31），则f（2x）的定义域是（　　）A．[1，32）B．[﹣1，30）C．[0，5）D．（﹣∞，log230）【分析】由f（x+1）的定义域求得f（x）的定义域，再由2x在f（x）的定义域内求得x的取值范围得答案．【解答】解：∵f（x+1）的定义域是[0，31），即0≤x＜31，∴1≤x+1＜32，∴f（x）有意义须1≤x＜32，∴f（2x）有意义须20＝1≤2x＜32＝25，得0≤x＜5．即f（2x）的定义域是[0，5）．故选：C．5．（2019秋•上饶期末）已知f(x)=x2-2x，则函数f（x）的解析式为（　　）A．f（x）＝x4﹣2x2（x≥0）B．f（x）＝x4﹣2x2 C．f(x)=x-2x(x≥0)D．f(x)=x-2x【分析】根据f（x）解析式可得出f(x)=(x)4-2(x)2，然后把x换上x即可得出f（x）的解析式．【解答】解：f(x)=x2-2x=(x)4-2(x)2，∴f（x）＝x4﹣2x2（x≥0）．故选：A．6．（2020•广东学业考试）已知函数f（x）=1-x，x≤0ax，x＞0，若f（1）＝f（﹣1），则实数a的值等于（　　）A．1B．2C．3D．4【分析】由分段函数f（x），我们易求出f（1），f（﹣1）的值，进而将式子f（1）＝f（﹣1）转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值．【解答】解：∵函数f(x)=1-x，x≤0ax，x＞0，∴f（﹣1）＝2，f（1）＝a，若f（1）＝f（﹣1），∴a＝2，故选：B．7．（多选）（2019秋•淮安期末）下列函数中定义域是R的有（　　）A．y＝2xB．y＝lgxC．y＝x3D．y＝tanx【分析】根据常见的基本初等函数的定义域，判断是否满足题意即可．【解答】解：对于A，函数y＝2x，定义域为R，满足题意；对于B，函数y＝lgx，定义域为（0，+∞），不满足题意；对于C，函数y＝x3，定义域为R，满足题意；对于D，函数y＝tanx，定义域为（-π2+kπ，π2+kπ），k∈Z，不满足题意．故选：AC．8．（2020春•温江区期末）函数y=x2-4x-5的定义域是　　．【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足x2﹣4x﹣5≥0，解出x的范围即可．【解答】解：要使原函数有意义，则x2﹣4x﹣5≥0，解得x≤﹣1或x≥5，∴原函数的定义域为{x|x≤﹣1，或x≥5}．故答案为：{x|x≤﹣1或x≥5}． 9．（2019秋•杨浦区校级期末）设函数f（x）=x+1+x，g（x）=x+1-x，则函数f（x）•g（x）的定义域为　　．【分析】由根式内部的代数式大于等于0分别求解f（x）与g（x）的定义域，取交集可得函数f（x）•g（x）的定义域．【解答】解：由x+1≥0x≥0，解得x≥0，∴函数f（x）的定义域为[0，+∞）；同理求得函数g（x）的定义域为[0，+∞）．则函数f（x）•g（x）的定义域为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．10．（2020春•新华区校级月考）若函数f（x）满足f（3x+2）＝9x+8，则f（x）＝　　．【分析】利用配凑法或换元法求函数的解析式．【解答】解：因为f（3x+2）＝9x+8＝3（3x+2）+2，所以f（x）＝3x+2．方法2：设t＝3x+2，则x=t-23，所以f（t）＝9×t-23+8＝3t+2．所以f（x）＝3x+2．故答案为：3x+2．11．（2019秋•海安市校级月考）已知等腰三角形的周长为a，一腰长为x，则函数y＝f（x）的定义域为　　．【分析】根据周长求出第三边，结合两边之和大于第三边建立不等式关系进行求解即可解．【解答】解：三角形的第三边长度为a﹣2x，则a﹣2x＞0，得0＜x＜a2，又x+x＞a﹣2x，得x＞a4，综上a4＜x＜a2，即f（x）的的定义域为（a4，a2），故答案为：（a4，a2）12．（2019秋•浦东新区校级期中）若函数f(x)=mx2+2(m+1)x+9m+4的定义域为R，则实数m的取值范围是　　．【分析】根据函数f（x）的定义域为R知mx2+2（m+1）x+9m+4≥0恒成立，讨论m＝0和m≠0时，利 用判别式求出m的取值范围．【解答】解：函数f(x)=mx2+2(m+1)x+9m+4的定义域为R，则mx2+2（m+1）x+9m+4≥0恒成立，m＝0时，不等式为2x+4≥0，解得x≥﹣2，不满足题意；m≠0时，有m＞0△≤0，即m＞04(m+1)2-4m(9m+4)≤0，解得m＞0m≤-12或m≥14，即m≥14；所以实数m的取值范围是[14，+∞）．故答案为：[14，+∞）．13．（2019•禅城区校级学业考试）设函数f（x）=-x，x≤0x2，x＞0，若f（α）＝9，则α＝　．【分析】根据分段函数的解析式，结合f（α）＝9，即可求得α的值．【解答】解：由题意可得α≤0-α=9或α＞0α2=9∴α＝﹣9或α＝3故答案为：﹣9或314．（2019•怀化三模）f(x)=2ex-1，x＜2log3(x2-1)，x≥2.则f（f（2））的值为　　．【分析】本题是一个分段函数，且是一个复合函数求值型的，故求解本题应先求内层的f（2），再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值，求解过程中应注意自变量的范围选择相应的解析式求值．【解答】解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）＝log3（22﹣1）＝1＜2，故有f（1）＝2×e1﹣1＝2，即f（f（2））＝f（1）＝2×e1﹣1＝2，故答案为215．（2020•江西模拟）若函数f(x)=x2，x≥1a(x+1)，x＜1的值域为R，则a的取值范围是　．【分析】先求得第一段的值域，再分别讨论a的取值，结合值域为R，即可求得结论．【解答】解：当x≥1时，f（x）＝x2≥1，若a＝0，x＜1时，f（x）＝0，f（x）的值域不是R； 若a＜0，x＜1时，f（x）＞2a，f（x）的值域不是R，若a＞0，x＜1时，f（x）＜2a，所以当2a≥1时，f（x）的值域为R，所以a的取值范围是[12，+∞)．故答案为：[12，+∞）．16．（2020春•诸暨市校级期中）设函数f（x）=2x+a，x＞2ax+1，x≤2，若a＝1，则f（f（2））＝　　；若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是　　．【分析】结合分段函数解析式即可直接求解f（f（2）），分别结合指数函数与一次函数的性质分别求出每段函数的值域，然后结合函数值域的性质可求．【解答】解：若a＝1，则f（f（2））＝f（3）＝23+1＝9，当x＞2时，f（x）＝2x+a＞4+a，当x≤2时，由函数的值域为R可知，a＞0，此时f（x）≤2a+1，结合分段函数的性质可知，2a+1≥a+4即a≥3．故答案为：9，[3，+∞）17．（2020•黄浦区二模）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣2，0]，则f（﹣1）＝　．【分析】由题分别讨论0＜a＜1，a＞1两种情况，得出关系式，解方程组即可得出a，再代入f（﹣1）即可．【解答】解：当0＜a＜1时，由题得a-2+b=0a0+b=-2，解得a=33，b＝﹣3，则f（﹣1）=3-3；当a＞1时，由题意得a-2+b=-2a0+b=0，无解；故答案为：3-318．（2019秋•武汉期末）（1）已知f(x)=xx+1，求f(2x)+f(12x)；（2）已知f(x)+2f(1x)=3x-2，求f（x）的解析式．【分析】（1）直接将2x和12x分别代入原函数，进行运算，即可求出对应函数的解析式；（2）用构造方程组的思维来求函数的解析式，将1x代入，构造出一个等式，将新等式与原等式可以看作一个关于f（x）和f(1x)的方程组，然后消去f(1x)，即可得到f（x）的解析式． 【解答】解：（1）f(2x)+f(12x)=2x2x+1+12x12x+1=2x2x+1+12x+1=2x+12x+1=1，x∈(-∞，-12)∪(-12，+∞)．（2）f(x)+2f(1x)=3x-2(1)f(1x)+2f(x)=3x-2(2)，（1）﹣2×（2）得-3f(x)=3x-2-6x+4=3x-6x+2，所以f(x)=2x-x-23，x∈(-∞，0)∪(0，+∞)．19．（2019秋•柳南区校级期末）已知函数f(x)=(1-a2)x2-(1-a)x+2．（1）若f（x）的定义域为[-23，1]，求实数a的值；（2）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．【分析】（1）由题意知（1﹣a2）x2﹣（1﹣a）x+2≥0的解集为[-23，1]，然后结合二次不等式与二次方程的根的关系即可求解．（2）由题意可知（1﹣a2）x2﹣（1﹣a）x+2≥0恒成立，然后对1﹣a2进行分类讨论即可求解．【解答】解：（1）f（x）的定义域为[-23，1]，即（1﹣a2）x2﹣（1﹣a）x+2≥0的解集为[-23，1]，故1-a2＜0(1-a2)⋅29-(1-a)(-23)+2=0(1-a2)-(1-a)+2=0，解得a＝2；（2）f（x）的定义域为R，即（1﹣a2）x2﹣（1﹣a）x+2≥0恒成立，当1﹣a2＝0时，a＝±1，经检验a＝1满足条件；当1﹣a2≠0时，1-a2＞0(1-a)2-8(1-a2)≤0解得a∈[-79，1)，综上，a∈[-79，1]．20．（2020•辽宁模拟）已知函数f（x）＝ln（|x﹣1|﹣|x+2|﹣m）．（1）当m＝2时，求函数y＝f（x）的定义域；（2）已知函数f（x）的定义域为R，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据真数大于零，分类讨论去绝对值，解含绝对值的不等式即可；（2）函数f（x）的定义域为R，转化为m＜|x+2|﹣|x﹣1|在x∈（﹣∞，+∞）上恒成立；只要m＜[|x+2|﹣|x﹣1|]min即可．【解答】解：（1）当m＝2时，解|x﹣1|﹣|x+2|＞2，当x＜﹣2时，得1﹣x﹣（﹣x﹣2）＞2，即3＞2恒成立；∴x＜﹣2； 当﹣2≤x＜1时，得1﹣x﹣（x+2）＞2，即x＜-32；∴﹣2≤x＜-32；当x≥1时，得x﹣1﹣（x+2）＞2，即﹣3＞2不成立；综上可得，x＜-32；∴定义域为{x|x＜-32}．（2）由已知|x﹣1|﹣|x+2|﹣m＞0，即m＜|x+2|﹣|x﹣1|在x∈（﹣∞，+∞）上恒成立；又因为|x+2|﹣|x﹣1|＝﹣（|x﹣1|﹣|x+2|）≥﹣|（x﹣1）﹣（x+2）|＝﹣3；∴m＜﹣3．[B组]—强基必备1．（2019春•镇海区校级期末）若函数f(x)=1x2log24(a+1)a+2xlog22aa+1+log2(a+1)24a2的定义域为R，则实数a的取值范围为（　　）A．(0，1)∪(-3231，-1)B．（0，1）C．(-3231，-1)D．（﹣1，0）【分析】由题意可得a(a+1)＞0①(2log22aa+1)2-4log24(a+1)a⋅log2(a+1)24a2＜0②，再由对数式的运算性质变形，然后求解对数不等式得答案．【解答】解：由题意，a(a+1)＞0①(2log22aa+1)2-4log24(a+1)a⋅log2(a+1)24a2＜0②，解①得：a＜﹣1或a＞0；由②得：(1+log2aa+1)2-2(2+log2a+1a)(log2a+1a-1)＜0，令log2a+1a=t，则（1﹣t）2﹣2（2+t）（t﹣1）＜0，得t2+4t﹣5＞0，解得t＜﹣5或t＞1， 则log2a+1a＜-5或log2a+1a＞1，则0＜a+1a＜132或a+1a＞2．即-3231＜a＜0或0＜a＜1．综上，实数a的取值范围为(0，1)∪(-3231，-1)．故选：A．2．（2019•西湖区校级模拟）已知函数f（x）＝x2﹣2|x|+2的定义域为[a，b]（a＜b），值域为[2a，2b]，则a+b的值为　．【分析】由函数f（x）＝x2﹣2|x|+2的值域为[1，+∞）可得a≥12，此时函数f（x）＝x2﹣2|x|+2＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1≥1，结合函数f（x）＝x2﹣2|x|+2的定义域是[a，b]（a＜b），值域是[2a，2b]及二次函数的图象和性质，分类讨论，可得答案．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣2|x|+2＝（|x|﹣1）2+1≥1，故2a≥1，即a≥12，此时函数f（x）＝x2﹣2|x|+2＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1≥1，若函数f（x）＝x2﹣2|x|+2的定义域是[a，b]（a＜b），值域是[2a，2b]，则①当12≤a＜b＜1时，∴f（a）＝2b，f（b）＝2a，即a2﹣2a+2＝2b，b2﹣2b+2＝2a，两式相减得：（a﹣b）（a+b）﹣2（a﹣b）＝2（b﹣a），即（a﹣b）（a+b）＝0，∵a＜b，a﹣b≠0，而b＞a≥12，a+b＞0，∴不存在满足条件的实数a，b；②当12≤a＜1＜b时，函数最小值即为顶点纵坐标，∴2a＝1，a=12，若b﹣1＜1﹣a，则f（a）＝2b，2b=54，b=58（舍去）； 若b﹣1＞1﹣a，则f（b）＝2b，b2﹣4b+2＝0，解得b＝2-2（舍去）或b＝2+2；③当1＜a＜b时，f（b）＝2b且f（a）＝2a，即b2﹣2b+2＝2b，a2﹣2a+2＝2a，则a，b必然有一根小于1，矛盾，∴不存在满足条件的实数a，b，综上所述a=12，b＝2+2，则a+b=12+2+2=52+2．故答案为：52+2．3．（2019春•楚雄州期中）设[x]表示不大于x的最大整数，如[1.2]＝1，[-2]＝﹣2，已知函数f（x）=[x]lnx+ln(4-x)．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的值域．【分析】（1）根据使解析式有意义的原则，可得x＞04-x＞0lnx+ln(4-x)≠0，解得函数f（x）的定义域；（2）分x∈（0，2-3）∪（2-3，1）时，当x∈[1，2）时，当x∈[2，3）时，当x∈[3，2+3）∪（2+3，4）时几中情况结合对数函数的图象和性质，可得函数f（x）的值域．【解答】解：（1）若使函数f（x）=[x]lnx+ln(4-x)的解析式有意义，则x＞04-x＞0lnx+ln(4-x)≠0，解得：x∈（0，2-3）∪（2-3，2+3）∪（2+3，4）即函数f（x）的定义域为（0，2-3）∪（2-3，2+3）∪（2+3，4）（2）当x∈（0，2-3）∪（2-3，1）时，f（x）=0lnx+ln(4-x)=0恒成立；当x∈[1，2）时，lnx+ln（4﹣x）∈[ln3，ln4），f（x）=1lnx+ln(4-x)∈（1ln4，1ln3]；当x∈[2，3）时，lnx+ln（4﹣x）∈（ln3，ln4]，f（x）=2lnx+ln(4-x)∈[1ln2，1ln3）；当x∈[3，2+3）∪（2+3，4）时，lnx+ln（4﹣x）∈（﹣∞，0）∪（0，ln3]，f（x）=3lnx+ln(4-x)∈ （﹣∞，0）∪[3ln3，+∞）；