2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第14讲导数的概念及运算（达标检测）（Word版附解析）

《导数的概念及运算》达标检测[A组]—应知应会1．（2020春•咸阳期末）已知是可导函数，且，则　　A．2B．C．1D．【分析】根据导数的定义即可得出，从而得出正确的选项．【解答】解：．故选：．2．（2020春•重庆期末）已知函数的导函数为，若，则　　A．4B．2C．1D．【分析】可以求出导函数，从而得出，然后求出的值即可．【解答】解：，，．故选：．3．（2019秋•南岸区期末）函数的图象在点，（1）处的切线的倾斜角为　　A．0B．C．D．【分析】先求出函数在切点出的导数值，即为切线在此处的斜率，从而求得切线在此处的倾斜角．【解答】解：函数的图象在点，（1）处的切线的斜率为，设函数的图象在点，（1）处的切线的倾斜角为，则，，故选：．4．（2020春•钦州期末）已知曲线在点，（1）处的切线与直线垂直，则的值为　　 A．B．0C．1D．2【分析】求出函数的导数，计算（1），利用直线的斜率，列出关系式，即可求出的值．【解答】解：曲线，可得，所以（1），曲线在点，（1）处的切线与直线垂直，所以，解得，故选：．5．（2020春•济南期末）曲线在点，处的切线方程为　　A．B．C．D．【分析】求出导数，求得切线的斜率，切点坐标，由斜截式方程，即可得到切线的方程．【解答】解：的导数为，，，曲线在点，处的切线的方程为．即．故选：．6．（2020春•赤峰期末）若曲线上存在两条垂直于轴的切线，则的取值范围是　A．，B．C．D．【分析】先求出原函数的导函数，令，得到，然后将问题转化为在上有两个不同的解，再构造函数，求出的取值范围，即可得到的取值范围．【解答】解：由，得，令，则，曲线存在两条垂直于轴的切线，在上有两个不同的解．令，则． 当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，，又当时，，．的取值范围为．故选：．7．（2020•河南模拟）已知：过点可作函数图象的两条切线，，且，则　　A．1B．C．D．2【分析】先设切点为，然后利用导数求出切线方程，再将代入切线方程，得到关于的一元二次方程，设，为两切线，切点的横坐标，由韦达定理得到，，根据得，将韦达定理代入，即可解出的值．【解答】解：设切点为，，故切线斜率为．所以切线方程：，将代入整理得：，设，的切点横坐标分别为，，则：，．因为，所以①．结合韦达定理得，解得．故选：．8．（2020•合肥模拟）若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是　　A．B．C．D．【分析】分别设出切点，求出切线，然后根据切线相等，得到的切点横坐标与的关系式，转化为函数的值域问题． 【解答】解：设的切点为，，因为，所以切线为：，即，．设的切点为，，因为，故切线为：．即．．因为是公切线，所以，消去得，，令，．，开口向上，且，．所以，故在上单调递减，故，即，故．故选：．9．（多选）（2020春•菏泽期末）下列各式正确的是　　A．B．C．D．【分析】根据常函数，三角函数和幂函数的导数运算，逐一排除即可．【解答】解：对于，，选项错误；对于，，选项错误；对于，，选项正确；对于，，选项正确；故选：．10．（2020春•信阳期末）已知函数，则　　． 【分析】求出函数的导数，代入，求出的值即可．【解答】解：，令，得，解得：，故答案为：2019．11．（2020春•沙坪坝区校级期末）若函数，则在点，（1）处的切线方程为　　．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再求出（1），利用直线方程的点斜式得答案．【解答】解：，，则（1），又（1），在点，（1）处的切线方程为，即．故答案为：．12．（2020春•凉山州期末）过原点作曲线的切线，则切点为　　．【分析】先另设切点，利用导数求出切线方程，将代入，求出切点坐标，进而得到切线方程．【解答】解：设切点为，，因为．故切线方程为：，将代入得：，解得，所以，故切点为．故答案为：．13．（2020•新课标Ⅰ）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为　　．【分析】求得函数的导数，设切点为，可得切线的斜率，解方程可得切点，进而得到所求切线的方程．【解答】解：的导数为，设切点为，可得，解得，即有切点，则切线的方程为，即，故答案为：． 14．（2020春•信阳期末）已知与有相同的公切线，设直线与轴交于点，，则的值为　　．【分析】分别求得，的导数，可得切线的斜率，求得切线的方程，由直线方程相同可得关于，的方程组，解方程可得所求值．【解答】解：，，设与的切点为，，可得切线的方程为，即为，设的切点为，，可得切线的方程为，即，两函数有公切线，即令上述两切线的方程相同，则有，可得，所以切线的方程为，直线与轴交于点，，则．故答案为：0．15．（2020春•徐州月考）求下列函数的导数（1）（2）（3）【分析】按照导数的计算公式、运算法则将相应的函数看成基本函数的和、差、积、商即可．【解答】解：（1） （2），（3）16．（2019春•张家港市期末）若直线是曲线的一条切线，求实数的值．【分析】先对曲线进行求导，然后令导函数等于3求出切点坐标，代入到曲线方程可得答案．【解答】解：设切点为，，对求导数是，．．（1）当时，，在上，，即．又也在上，．．（2）当时，，在上，，即．又也在上，．．综上可知，实数的值为或1．17．（2020春•西城区校级期中）已知：直线与抛物线为常数）交于两点，，，，且抛物线在点，处的切线互相垂直．（1）求的值；（2）求两条切线交点的横坐标（用表示）．【分析】（1）先联立直线、抛物线方程，消去得到关于的一元二次方程，利用韦达定理结合、两点处的导数积为，即可求出的值；（2）先表示出、两点处的切线方程，然后解出交点的横坐标即可． 【解答】解：（1）由，消去得：，显然．又直线与抛物线交于两点，，，，所以．对求导得，所以两条切线的斜率分别为，．因为两条切线互相垂直，所以，所以．（2）由题意知切点分别为：，，所以两条切线的方程分别为①；和②．联立①②解方程组得：交点的横坐标为：．18．（2019秋•天心区校级期末）已知函数的图象为曲线．（1）求过曲线上任意一点切线斜率的取值范围；（2）若在曲线上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围．【分析】（1）据切点处的导数值为曲线切线斜率，由二次函数的最值求法，求导函数的范围也就是切线斜率范围；（2）互相垂直的切线斜率互为负倒数，由（1）求斜率范围，据切点处的导数值为曲线切线斜率，解不等式，求切点横坐标范围．【解答】解：（1）函数的导数为，即过曲线上任意一点的切线斜率的取值范围是，；（2）设其中一条切线的斜率为，另一条为，由（1）可知，，解得或， 由或，即有或或，得：，，．19．（2020•凉山州模拟）已知函数．（1）设函数在点，（1）处的切线方程为，求的值；（2）若曲线与曲线至少有一条公共切线，求的取值范围．【分析】（1）根据切点处的导数等于切线斜率，列出方程，求出的值；（2）先利用导数、切点，表示出的切线，然后根据与相切，则判别式为零，即可得到关于的方程，再构造关于的函数，研究其零点的个数即可．【解答】解：（1），，，又函数在，（1）处的切线方程为，（1），即，即．（2）设公切线与函数相切于点，，则由，得，公切线为：，即，由，得：，直线与曲线相切，，即，设，则， 由，得；又由，得，函数在上单增，在上单减，，，与曲线至少有一条公切线时，的取值范围为，．[B组]—强基必备1．（2020•昆山市模拟）已知函数，其图象记为曲线，曲线上存在异于原点的点，使得曲线与其在的切线交于另一点，曲线与其在的切线交于另一点，若直线与直线的斜率之积小于，则的取值范围为　　．【分析】，设，，，，，，写出直线方程，联立它与曲线方程得，，，同理得，，再计算，，由题意得，再求取值范围即可．【解答】解：，设，，，，，，，即，联立，得，，同理，则，，，，所以，得，令，则在上有解，由△得，． 故答案为：，．2．（2020•济南模拟）已知函数，若直线与函数，的图象均相切，则的值为　　；若总存在直线与函数，图象均相切，则的取值范围是　　．【分析】设直线与函数的图象相切的切点为，求得的导数，可得切线的斜率，求得切点和切线的方程，联立，运用判别式为0，解方程可得；设与的图象在交点处存在切线，且切点为，分别求得，的导数，可得切线的斜率，得到，，的方程，化简变形可得，设，求得导数和单调性，解方程可得，进而得到的值，结合抛物线的开口与的关系，可得所求范围．【解答】解：设直线与函数的图象相切的切点为，由，可得，即，切点为，则，切线的方程为，联立，可得，由题意可得△，解得；设与的图象在交点处存在切线，且切点为，由，，可得，，化为，，则，即，设，，可得在递增，由（1），可得的解为，则，由的图象可得，当越大时，抛物线的开口越小，可得此时和的图象相离，总存在直线与它们的图象都相切，则的范围是，．故答案为：，，．