2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第9讲指数与指数函数（达标检测）（Word版附解析）

《指数与指数函数》达标检测[A组]—应知应会1．（2019秋•辽源期末）化简的结果为　　A．B．C．D．【分析】先计算系数，然后利用同底数幂的乘除运算求解．【解答】解：．故选：．2．（2019秋•滨海县期末）若指数函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为　　A．B．C．D．【分析】利用指数函数的单调性即可求解．【解答】解：指数函数在上为单调递增函数，，，故选：．3.（2019秋•临渭区期末）函数在区间，上的最小值是　　A．B．C．D．2【分析】利用函数的单调性，求出函数的最值．【解答】解：函数在区间，上单调递减，，（1），故函数在区间，上的最小值为，故选：．4．（2019秋•溧阳市期中）已知，且（1）（3），则实数的取值范围是　　 A．B．C．D．，，【分析】由题意利用函数的单调性，求得实数的取值范围．【解答】解：，且（1）（3），，故选：．5．（2019秋•黔东南州期中）已知，且，，，则关于函数，说法正确的是　　A．函数，都单调递增B．函数，都单调递减C．函数，的图象关于轴对称D．函数，的图象关于轴对称【分析】根据题意，分析可得，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，若，则，则，而，故函数，的图象关于轴对称；故选：．6．（2019秋•滁州期末）如图所示，二次函数与指数函数的图象只可为　　A．B．C．D．【分析】根据二次函数的对称轴首先排除、选项，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案． 【解答】解：根据指数函数可知，同号且不相等则二次函数的对称轴可排除与，又因为二次函数过坐标原点，正确．故选：．7．（2019秋•南充期末）设，则　　A．B．C．D．【分析】根据指数函数是减函数，得，结合指数函数的单调性，得，最后根据幂函数是上的增函数，得，即得本题的答案．【解答】解：，且，因此，排除、两项又函数是上的增函数，可得故选：．8．（2019秋•朝阳区期末）通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则和的关系为　　A．B．C．D．【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：根据题意得：①，②，①②得，，所以， 即，故选：．9．（2019秋•清江浦区校级期末）若，则有　　A．B．C．D．【分析】根据题意，构造函数，由导数判断在定义域上是增函数，得出，化为即可．【解答】解：，，设函数，则，在定义域上是增函数；又，即，，即．故选：．10．（多选）（2019秋•济南期末）若实数，满足，则下列关系式中可能成立的是　　A．B．C．D．【分析】构造，，易知，是递增函数，结合函数的图象，得出结论．【解答】解：由，设，，易知，是递增函数，画出，的图象如下：绿色，蓝色的分别是，的图象，根据图象可知：当，1时，， ，（a）（b）可能成立；故正确；当时，因为，所以（a）（b）可能成立，正确；当时，显然成立，当时，因为（a）（b），所以不可能成立，故选：．11．（2019秋•青云谱区校级月考）计算：　　．【分析】按照分数指数幂的运算法则算得即可．【解答】解：．故答案为：．12．（2020•龙凤区校级一模）函数，的图象恒过定点，则点坐标为　　．【分析】解析式中的指数，求出的值，再代入解析式求出的值，即得到定点的坐标．【解答】解：由于函数经过定点，令，可得，求得，故函数，则它的图象恒过定点的坐标为，故答案为13．（2019秋•张家口期中）关于的不等式的解集为　　．【分析】由题意利用函数的单调性，根式的性质，可得，由此求得的范围． 【解答】解：关于的不等式，即，求得，故答案为：，．14．（2019秋•南关区校级期中）已知实数，满足等式，下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中可能成立的关系式有　　．【分析】分别画出函数，的图象．根据实数，满足等式，即可判断出下列五个关系式中正确的结论．【解答】解：分别画出函数，的图象．根据实数，满足等式，下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中可能成立的关系式有①②⑤．故答案为：①②⑤．15．（2019秋•石景山区期末）已知函数是指数函数，如果（3）（1），那么（8）　　（4）（请在横线上填写“”，“”或“”【分析】由（3）（1）可求，然后代入求值即可比较大小．【解答】解：设且，（3）（1），，，（8），（4），（8）（4）， 故答案为：16．（2020春•城关区校级月考）已知点在函数且图象上，对于函数定义域中的任意，，有如下结论：①；②；③；④上述结论中正确结论的序号是　　．【分析】求出指数函数的解析式，利用指数的基本运算性质判断①、②，根据函数的单调性判断③，根据指数的运算法则和基本不等式判断④．【解答】解：点在函数且图象上，，解得：，，①，故①正确；②，故②错误；③，在递增，故，故③错误；④故④正确；故答案为：①④．17．（2019秋•河西区期中）计算下列各式（式中字母均是正数）．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】利用有理数指数幂的运算性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）原式 ；（Ⅱ）原式．18．（2019秋•浦东新区期末）已知函数在区间，上的最大值比最小值大2，求实数的值．【分析】对于指数函数时，函数在区间，上是增函数，求出最值，作差求出即可．【解答】解：当时，函数在区间，上是增函数，（1），（2），由题意知，解得，（舍弃），故的值为：2．19．（2019秋•温州期末）设函数．（Ⅰ）当时，判断函数在区间内的单调性，并用定义加以证明；（Ⅱ）记，若在区间上有意义，求实数的取值范围．【分析】（Ⅰ）当时，函数在区间内为单调增函数．运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（Ⅱ）由于在区间上有意义，则，即在上恒成立，运用参数分离和指数函数的单调性求出值域，即可得到的范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，函数在区间内为单调增函数．设，则．由于，则，又，则，则，即有，即，则函数在区间内为单调增函数； （Ⅱ）由于在区间上有意义，则，即在上恒成立，即在上恒成立，由于，则有．20．（2019秋•红塔区校级期末）已知函数且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数有零点，求实数的取值范围．（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围．【分析】（Ⅰ）由函数的解析式以及，求得的值．（Ⅱ）由题意可得，函数的图象和直线有交点，故有，求得的范围．（Ⅲ）由题意可得当时，恒成立．令，则，且．利用单调性求得，从而可得的范围．【解答】解：（Ⅰ）对于函数，由，求得，故．（Ⅱ）若函数有零点，则函数的图象和直线有交点，，求得．（Ⅲ）当时，恒成立，即恒成立．令，则，且．由于在上单调递减，，．21．（2019秋•舒城县期末）某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气后4分钟测得车库内的一氧化碳浓度为为浓度单位，一个表示百万分之一），再过4分钟又测得浓度为．由检验知该地下车库一氧化碳浓度 与排气时间（分钟）存在函数关系，为常数）．（1）求，的值（2）若空气中一氧化碳浓度不高于为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？【分析】（1）利用待定系数法，解得即可．（2）由题意，构造不等式，解得即可．【解答】解：（1）函数，为常数）经过点，，解得，，（2）由（1）得，，解得．故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．[B组]—强基必备1．（2019春•浙江期中）设函数，，为非零实数），且（a），（b），若且，则的最小值为　　A．1B．2C．3D．4【分析】根据（a），（b）得到，的关系，即可得到的最小值．【解答】解：由（a），（b），得，两式相减，得，所以，若，则（a），（b）成立时，，与且矛盾，不符合条件， 当时，，因为，所以，所以，当且仅当，即时取得最小值．故选：．2．（2019•西湖区校级模拟）已知函数（1）试求函数，，的最大值；（2）若存在，使成立，试求的取值范围；（3）当，且，时，不等式恒成立，求的取值范围．【分析】（1）把代入到中化简得到的解析式求出的最大值即可；（2）可设，存在使得，讨论求出解集，让大于其最小，小于其最大即可得到的取值范围；（3）不等式恒成立即为恒成立即要，根据二次函数求最值的方法求出最值即可列出关于的不等式，求出解集即可．【解答】解：（1），，，令，，即有，当时，有最大值为1；当时，对称轴为，讨论对称轴和区间的关系，若，即，（1）；若，即，；若，即，（1）．综上可得，． （2）令，则存在使得所以存在使得，或．即存在使得，，或；（3）由得恒成立因为，且，，所以问题即为恒成立，．设令，．所以，当时，，．