2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第7讲函数的奇偶性与周期性（达标检测）（Word版附解析）

《函数的奇偶性与周期性》达标检测[A组]—应知应会1．（2020春•延庆区期末）在下列函数中，定义域为实数集的奇函数为　　A．B．C．D．【分析】结合基本初等函数的性质及奇偶性的定义即可判断．【解答】解：根据幂函数的性质可知，为上的奇函数，符合题意；为上偶函数，不符合题意；的定义域不是，不符合题意；不是奇函数，不符合题意．故选：．2．（2019•上海）已知，函数，存在常数，使为偶函数，则的值可能为　　A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数的性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．【解答】解：由于函数，存在常数，为偶函数，则：，由于函数为偶函数，故：，所以：，当时．故选：．3．（2020春•渭滨区期末）已知是上的奇函数，且当时，，则当时，　　 A．B．C．D．【分析】先设时，则，然后根据已知函数解析式及奇函数的定义可求．【解答】解：时，，因为当时，，所以，故．故选：．4．（2019秋•天津期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若对动于任意的，，则实数的取值范围为　　A．B．C．D．【分析】可去绝对值号，从而画出时的函数的图象，根据奇函数的对称性画出时的的图象，结合图象，根据恒成立，即可求出的范围．【解答】解：时，；根据是上的奇函数，画出图象如下：任意的，；；解得； 实数的取值范围为．故选：．5．（2020•泰安一模）已知定义在上的函数的周期为4，当，时，，则　　A．B．C．D．【分析】根据函数的周期性以及对数值的有关运算，把所求转化到所给区间，即可求解．【解答】解：因为函数的周期为4，当，时，，；；；故选：．6．（2020•新课标Ⅱ）设函数，则　　A．是偶函数，且在，单调递增B．是奇函数，且在，单调递减C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减【分析】求出的取值范围，由定义判断为奇函数，利用对数的运算性质变形，再判断内层函数的单调性，由复合函数的单调性得答案．【解答】解：由，得．又，为奇函数；由， ．可得内层函数的图象如图，在上单调递减，在，上单调递增，则，上单调递减．又对数式是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，在上单调递减．故选：．7．（2020春•海淀区校级期末）已知是定义在上的偶函数，且满足下列两个条件：①对任意的，，，且，都有；②，都有．若，，，则，，的大小关系正确的是　　A．B．C．D．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：由①对任意的，，，且，都有可得在，上单调递增，根据偶函数的对称性可知，在，上单调递减，由②，都有可得函数的周期，，（3），（4），所以， 故．故选：．8．（2020•山西模拟）已知函数，，若，则实数的取值范围是　　A．B．C．D．【分析】由已知函数解析式可判断的单调性及奇偶性，从而可求不等式．【解答】解：因为，由的解析式可知，在上是奇函数且单调递增，为偶函数，当时，有，任取，则，由不等式的性质可得，即，所以，函数在上递增再由，得，即，解得．故选：．9．（2019•烟台二模）已知函数的定义域为，为偶函数，且对，满足，若（3），则不等式的解集为　　A．，B．C．，，D．，，【分析】为上的偶函数，可得，即函数关于直线对称．对，满足，等价于，，可得函数在时的单调性．由（3），可得不等式（3）．即可得出．【解答】解：为上的偶函数，，函数关于直线对称． 对，满足，等价于，，即函数在时，函数单调递减．若（3），则不等式（3）．，解得：．不等式的解集为．故选：．10．（多选）（2020•山东模拟）设是定义在上的偶函数，满足，且在，上是增函数，给出下列关于函数的判断正确的是　　A．是周期为2的函数B．的图象关于直线对称C．在，上是增函数D．．【分析】由是定义在上的偶函数，满足，且在，上是增函数，可得，求出周期，因为，所以，可得是对称轴及在，上单调递减，因为，令可得可得，所以，故选出答案．【解答】解：因为是定义在上的偶函数，满足，所以，而，所以，即，所以可得函数的周期，所以正确，因为，所以，所以对称轴，即关于对称，所以正确；由函数为偶函数关于轴对称，又在，上是增函数，所以在，上单调递减，故不正确；因为，令可得可得，所以，所以正确，故选：．11．（2020•江苏）已知是奇函数，当时，，则的值是　　．【分析】由奇函数的定义可得，由已知可得（8），进而得到．【解答】解：是奇函数，可得， 当时，，可得（8），则（8），故答案为：．12．（2019秋•密云区期末）若函数为奇函数，则　　．【分析】若0不在定义域内，即；若定义域内有0，则，代入即可求解．【解答】解：因为为奇函数，若0不在定义域内，即，此时符合题意，若定义域内有0，根据奇函数的性质可知，故，此时，，满足题意．故答案为：1或．13．（2020春•新华区校级期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，若（a），则实数的取值范围是　　．【分析】根据题意，由函数的解析式可得在，上为增函数，结合函数的奇偶性可得在上增函数，据此可得（a），解可得的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，当时，，易得在，上为增函数，又由是定义在上的奇函数，则在，上为增函数，则在上增函数，若（a），则有，即，解可得：，即不等式的解集为；故答案为：14．（2019秋•上城区校级期末）设函数是以2为最小正周期的周期函数，且，时，，则　　．【分析】根据题意，由函数的周期性可得，结合函数的解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数是以2为最小正周期的周期函数， 则，又由，时，，则，则，故答案为：15．（2020春•海淀区校级期末）函数是上的偶函数，且在，上是增函数，若（a）（3），则实数的取值范围是　　．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式转化为（3），结合单调性进行求解即可．【解答】解：是偶函数，且在，上是增函数，在，上是减函数，则不等式（a）（3），等价为（3），得，得或，故答案为：或16．（2020•江苏四模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为　　．【分析】由已知结合奇函数的定义求出的解析式，然后结合的范围代入已知不等式即可求解．【解答】解：因为是定义在上的奇函数，且当时，，所以时，，所以，所以，故，，①即时，，解可得，，此时， ②时，，解可得，，此时，③当时，，解可得，，此时，综上可得，．故答案为：17．（2020•青岛模拟）已知定义在的偶函数在，单调递减，，若，则取值范围　　．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：因为偶函数在，单调递减，，根据偶函数的对称性可知，在上单调递增，且（1），由，可得，解可得，，故答案为：，18．（2020•南昌三模）已知函数，设，，，则，，的大小关系是　　．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：，则，即为偶函数，因为时，单调递增，，，，因为，故 故答案为：19．（2020春•贵池区校级期中）已知函数是定义在上的奇函数（其中是自然对数的底数）．（1）求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，验证即可得答案；（2）根据题意，求出的导数，分析可得在上为增函数，据此可得原不等式等价于，变形可得，解可得的取值范围，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数，则有，则；当时，，为奇函数，符合题意，故；（2）根据题意，，其导数，则在上为增函数；若，必有，即，则有，变形可得，解可得：，即的取值范围为，．20．（2019秋•石家庄期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．（1）求当时函数的解析式；（2）解不等式．【分析】（1）根据题意，当时，，由函数的解析式可得，结合函数的奇偶性分析可得答案；（2）根据题意，由函数的解析式可得在上为增函数，且（4），据此可得（4），解可得的取值范围，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，当时，，则， 又由为偶函数，则，故当时，；（2）根据题意，当时，，为增函数，且（4），又由为偶函数，则（4），解可得：或，则不等式的解集为或．21．（2020•浙江学业考试）设，，函数，，．（Ⅰ）若为偶函数，求的值；（Ⅱ）当时，若，在，上均单调递增，求的取值范围；（Ⅲ）设，，若对任意，，都有，求的最大值．【分析】（Ⅰ）根据偶函数的概念可知，即可得解；（Ⅱ）若，结合，可得为一次函数，且在上单调递减，与题意不符，于是，即函数为二次函数．再结合二次函数和绝对值函数的单调性可分别列出关于的不等式，解之，并取交集即可；（Ⅲ）由题意可得原不等式等价于对任意的，，恒成立，且恒成立，再由二次函数的图象可得，的不等式组，解不等式可得，结合二次函数的单调性，可得所求最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为为偶函数，所以，即，即对任意的实数恒成立，所以．（Ⅱ）若，则，由于，所以在上单调递减，与题意不符，所以；因为在，上单调递增， 所以，解得，因为在，上单调递增，所以，综上所述，的取值范围为．（Ⅲ）对任意的，，恒成立等价于对任意的，，恒成立，且恒成立，即恒成立，且恒成立，分别令函数，，注意到，故对任意的，，与恒成立的充要条件是，即，也即，由，，可得，因此，从而，即，当且仅当，时，等号成立，所以的最大值为．[B组]—强基必备1．（2020•徐州模拟）已知定义在上的偶函数满足．且当时，．若对于任意，，都有，则实数的取值范围为　　．【分析】先求得（1）的值，由此求得的值，证得时周期为4的函数，将转化为，根据函数周期性和对称性，将原式转化为，结合的取值范围即可求得的取值范围． 【解答】解：因为．令，则（1），即（1），由于时，．所以（1），解得，即有当时，．因为，又因为为偶函数，所以，再根据．，则，所以函数是周期为4的周期函数，当，时，，，所以，所以当，时，．因为，所以，故，所以当，时，，，所以．作出函数的图象如图：由，得，对于任意，成立当时，，解得，所以，即对于任意，成立，当，时，由得的最大值，由于在，单调递减，所以，由得的最小值，由于在，单调递增，所以，综上，的取值范围是，， 故答案为：，．2．（2020春•海淀区校级期中）若，设其定义域上的区间，．（1）判断该函数的奇偶性，并证明；（2）当时，判断函数在区间，上的单调性，并证明；（3）当时，若存在区间，，使函数在该区间上的值域为，，求实数的取值范围．【分析】（1）首先求出函数的定义域，再根据定义法证明函数的奇偶性；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（3）由（1）得，当时，在，为减函数，故若存在定义域，，使值域为，，则有，从而问题可转化为，是方程的两个解，进而问题得解．【解答】解：（1）因为，由解得或，即的定义域为，，，关于原点对称．又，为奇函数．（2）在，为增函数，证明如下：的定义域为，，则，．设，，，，，，则，，，即，因为，所以，即，所以在，为增函数， （3）由（1）得，当时，在，为减函数，若存在定义域，，使值域为，，则有，，，是方程在上的两个相异的根，，即，即在上的两个相异的根，令，则在有2个零点，，解得，即当时，，