2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第15讲导数的应用——导数与函数的单调性（达标检测）（Word版附解析）

《导数的应用——导数与函数的单调性》达标检测[A组]—应知应会1．（2020春•内江期末）如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是　　A．B．C．，D．，【分析】根据原函数的单调性与导函数符号之间的关系，即可得到答案．【解答】解：当时，单调递减，从图可知，当，，时，，所以的单调递减区间为和．故选：．2．（2020春•潮州期末）函数在上是单调函数，则实数的取值范围是　　A．B．，C．，D．，【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质求出的范围即可．【解答】解：依题意可知恒成立，则△，从而，故选：．3．（2020春•黄山期末）已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为　　A．B．C．D．【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性问题转化为，求出不等式的解集即可． 【解答】解：令，则，故在递增，而，故不等式即，解得：，故选：．4．（2020春•内江期末）已知是定义在上的非负可导函数，且满足，则　　A．（1）（2）B．（1）（2）C．（1）（2）D．（1）（2）【分析】令，对求导，判断的单调性，从而得到（1）与（2）的大小关系，进一步得到答案．【解答】解：令，则，在上单调递增，（1）（2），即（1）（2），故选：．5．（2020春•宜宾期末）已知是函数的导函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为　　A．B．C．D．【分析】可设，再设，根据，解得，即可求出，由不等式可得，解不等式即可．【解答】解：令，，，，，，，，，即，解得，故选：．6．（2020•山西模拟）新型冠状病毒属于属的冠状病毒，有包膜，颗粒常为多形性，其中包含着结构为数学模型的，，人体肺部结构中包含，，新型冠状病毒肺炎是由它们复合而成的，表现为，若在区间上为增函数，则的取值范围为　　 A．，B．，C．，D．，【分析】根据函数的单调性得到，求出的导数，得到其范围，求出的范围即可．【解答】解：在区间上是增函数，在上恒成立，，，，，，，在单调递增，，，，，故选：．7．（2020•沙坪坝区校级模拟）定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，，下列不等式中一定成立的有　　①；②；③（1）；④．A．①②③B．②④C．②③D．③【分析】令，求出函数的导数，结合函数的单调性逐一判断即可．【解答】解：由已知，则，故在单调递减，故，展开即为②；由于，故，故③正确；由于，同理，相加得，故①正确； 取，它符合题意，但是④并不成立，综上一定成立的有①②③，故选：．8．（2020春•运城期末）定义在上的函数满足，且对任意的都有（其中为的导数），则下列一定判断正确的是　　A．（2）B．（3）（2）C．（3）D．（3）【分析】根据条件对任意的都有，，构造函数，则，可得在时单调递增．由，注意到；；代入已知表达式可得：，所以关于对称，则由在时单调递增，化简即可得出结果．【解答】解：设，则，对任意的都有；则，则在，上单调递增；；；因为，；，所以关于对称，则（4），在，上单调递增；（3）（4）即（3），（3）；即（3）成立．故正确；（3），（2）故，均错误；（3）（2）（3）（2）．错误．故选：．9．（多选）（2020•泰安四模）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有 成立，则　　A．B．C．D．【分析】根据题意，令，，对其求导分析可得，即函数为减函数，结合选项分析可得答案．【解答】解：根据题意，令，，则其导数，又由，且恒有，则有，即函数为减函数，又由，则有，即，分析可得；又由，则有，即，分析可得．故选：．10．（多选）（2020春•宿迁期末）若函数在定义域内的某个区间上是单调增函数，且在区间上也是单调增函数，则称是上的“一致递增函数”．已知，若函数是区间上的“一致递增函数”，则区间可能是　　A．B．C．D．【分析】由题可知，函数和在区间上都是单调增函数．对求导得，可推出在区间、上为增函数．然后分和两类讨论的单调性，其中当时，需要构造函数，且用到了隐零点的思路．【解答】解：函数是区间上的“一致递增函数”，函数和在区间上都是单调增函数． 对于，有，令，则或，即在区间、上为增函数．对于，有，当时，显然成立，即在上为增函数，区间可能为．当时，令，则在上恒成立，即在上单调递减．而，，，使得，且在上恒成立，即在上恒成立．在上为增函数，其中．对比选项，可知符合题意，即区间可能为．故选：．11．（2020春•海淀区校级期末）函数的单调递减区间是　　．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．【解答】解：，，令，解得：，故在递减，故答案为：．12．（2020春•菏泽期末）已知函数，若（1），则　　；若函数在，单调递增，则实数的取值范围是　　．【分析】求导得，把代入列出关于的方程，解之即可；原问题可转化为在，上恒成立，参变分离后，有，设，，，再次求导，判断出函数在，上的单调性，并求出最大值即可得解．【解答】解：，， （1），，解得．函数在，单调递增，在，上恒成立，即，设，，，则，当，时，，单调递增；当，时，，单调递减．（1）．，即实数的取值范围是．故答案为：2；．13．（2020春•新余期末）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式（2）的解集为　　．【分析】由题可知，当时，有，于是构造函数，可知在上单调递增，而原不等式可以转化为（2），即，解之即可．【解答】解：，当时，有，令，则，即在上单调递增，对于不等式（2），可转化为（2），，解得，不等式的解集为，．故答案为：，．14．（2020春•南平期末）已知函数为自然对数的底数，为常数且，在定义域内单调递减，则的取值范围　　．【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，令， ，根据函数的单调性求出的最小值，求出的范围即可．【解答】解：的定义域是，，若在递减，则在恒成立，即在恒成立，令，，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，则（e），则，故答案为：，．15．（2020•汉阳区校级模拟）已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为　　．【分析】令，则，已知：时，，可得：时，函数单调递减．由（1），利用函数的单调性，可得时，；时，．进而得出：当，，又为奇函数，当，．不等式可化为：，或，即可得出不等式的解集．【解答】解：令，则，时，，时，函数单调递减．（1），时，；时，．时，；时，．当，时，，又（1）（1），（1）．当，，又为奇函数，当，． 不等式可化为：，或，解得．不等式的解集为：．故答案为：．16．（2020春•珠海期末）已知函数，（1）求的单调区间；（2）若，，求的值域．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性，求出函数的极值和端点值，求出函数的值域即可．【解答】解：（1），令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在，递增；（2）若，，结合（1）得：在，递增，在递减，在，递增；而，，，（2），故函数的值域是，．17．（2020春•池州期末）已知函数，其中为常数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，问题转化为在恒成立，结合二次函数的性质求出的范围即可．【解答】解：（1）时，， ，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在，递增；（2），，函数在上单调递增，在恒成立，△，解得：，故实数的范围是，．18．（2020春•海淀区校级期末）已知，函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上单调递减，求的取值范围．【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）时，，，令，解得：或，令，解得：，在递增，在递减，在递增；（2），令，若函数在上单调递减，则在恒成立，则， 解得：，故，．[B组]—强基必备1．（2019春•德州期末）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式（2）的解集为　　A．B．C．D．【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：，，又，，设，则，，（2），即不等式（2）等价为（2），在是增函数且，由（2），得，即，综上可得，．故选：．2．（2019春•江岸区校级期末）设函数在上存在导数，当时，．且对任意，有，若，则实数的取值范围是　　．【分析】根据，构造函数，然后根据，可判断出的奇偶性与单调性，然后即可将转化为关于的不等式．【解答】解：令，．所以是奇函数，易知，．当时，，，结合，在上是减函数．， ，，．，所以．故的取值范围是，．故答案为：，．3．（2019春•广陵区校级月考）设函数，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足：，且当时，，若，使得，则实数的取值范围为　　．【分析】构造函数，通过求导及奇偶性可确定其为减函数，进而可解决所给集合为，，后面的问题转化为即在，有解的问题，在引进函数，利用其递增性可解．【解答】解：设，则，当时，，故函数是上的单调递减函数，又由，可知，，则函数是奇函数，函数是上的单调递减函数．由题设中，可得，可得，解得；由，得，问题转化为在，上有解， 即在，上有解，令，，，则，故在，上单调递增，则（1），即．故答案为：．