2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第19讲导数的应用——利用导数研究函数零点问题（达标检测）（Word版附解析）

《导数的应用——利用导数研究函数零点问题》达标检测[A组]—应知应会1．（2020春•海淀区校级期末）已知函数有最小值，则函数的零点个数为　　A．0．B．1C．2D．不确定【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质判断即可．【解答】解：，若函数有最小值，则不能恒大于等于0，故存在使得，即有2个不相等的实数根，即函数的零点个数为2个，故选：．2．（2020春•辽宁期末）函数在上有两个零点，，且，则实数的最小值为　　A．B．C．D．【分析】函数，变形为，令，利用导数求最值，可得．结合，可得时，取得最小值．再把，代入，求解，再代入，即可求得的最小值．【解答】解：函数，变形为，令，得，当时，，当时，，可得时，函数取得最小值．又当时，，当时，， 且函数在上有两个零点，，得．由，可得时，取得最小值．由，，得，，解得．代入，解得．的最小值为．故选：．3．（2020•包头二模）已知函数是定义在上连续的奇函数，且当时．，则函数的零点个数是　　A．0B．1C．2D．3【分析】分析可得为上连续的奇函数，且在上为增函数，说明函数只有1个零点，可得选项．【解答】解：，函数是定义在上连续的奇函数，则函数，其定义域为，则，则为上连续的奇函数，，则，又由当时，，则有，即函数为上的增函数，又由为上连续的奇函数，且，则为上的增函数，故函数只有1个零点，故选：．4．（2020•武汉模拟）已知函数在无零点，则实数的取值范围为　　A．B．，C．，D．，， 【分析】函数在无零点，可转化为无正实数根，研究函数的值域，只要在值域之外取值即可．【解答】解：函数在无零点，显然不是函数的零点．故问题可转化为无正实数根，令，，，令得，当，，时，，故在上递减；当时，，递增．又时，；时，；时，．；，．作出函数与的图象：可知，当介于轴（包括轴）与点之间时，原函数在上无零点．故即为所求．故选：．5．（2020•湖北模拟）已知存在唯一零点，则实数的取值范围　　A．B．C．D．【分析】先由题设条件得到，再研究的奇偶性，把问题转化为当时，函数无零点．利用放缩法与单调性求出的取值范围． 【解答】解：由题意知，存在唯一零点，只有一个零点0．，是奇函数，故只考虑当时，函数无零点即可．当时，有，．令，，则，，，，在上单调递增，，．故选：．6．（2020•临汾模拟）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为　　A．B．C．D．【分析】原问题等价于关于的方程有且只有一个实根．显然，分离参数可得有且只有一个实根，然后构造函数，结合导数分析函数的特征，结合图象可求．【解答】解：函数有且只有一个零点，等价于关于的方程有且只有一个实根．显然，方程有且只有一个实根．设函数，则．设，，为增函数，又（1）．当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；在时取极小值1．当趋向于0时，趋向于正无穷大；当趋向于负无穷大时，趋向于负无穷大；又当趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大．图象大致如图所示： 方程只有一个实根时，实数的取值范围为，故选：．7．（2019•兰州模拟）已知函数，当时，函数的零点个数为　　．【分析】通过导函数的符号判断函数的单调性，通过零点判断定理转化求解即可．【解答】解：函数，可得，时，，函数是减函数，（1），，所以函数函数，当时，函数的零点个数为1．故答案为：1．8．（2020•济南二模）已知函数，若有两个零点，则实数的取值范围是　　．【分析】先对求导，根据的范围研究的符号，判断的单调性，结合有两个零点，求出的取值范围．【解答】解：由题知：，．①当时，，单调递增，至多有一个零点，不合题意；②当时，令，易知在单调递减，在单调递增，故的最小值为．有两个零点，当时，，，解得故答案为：．9．（2020春•贵池区校级期中）已知函数有3个零点，则实数的取值范围为　　．【分析】构造函数，利用函数的图象，通过函数的导数，求出切线的斜率，然后推出的范围． 【解答】解：函数有3个零点，就是有3个解，也就是与的图象有3个交点，显然，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：设切点，则，，可得，解得，所以直线与指数函数相切时，，函数有3个零点，可得．故答案为：．10．（2020•盐城三模）设函数，若函数与函数都有零点，且它们的零点完全相同，则实数的取值范围是　　．【分析】由题意可求，所以函数，当时，易得符合题意，当时，函数，有两个零点，，由，得和，所以方程无解，利用△即可求出的取值范围．【解答】解：设零点为，则，，，，函数，①当时，函数，，都有唯一零点，符合题意；②当时，函数，有两个零点，，此时，得和， 已满足有两个相同的零点，，方程无解，即方程无解，△，解得：，综上所述，实数的取值范围是：，故答案为：，．11．（2020春•新华区校级期中）设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围　　．【分析】首先，画出函数的图象，然后，借助于图象，结合在区间上有三个零点，进行判断．【解答】解：函数的图象如图示：当时，显然，不满足题意．当时，如图所示，当，时，存在一个零点，当时，，可得，，若，可得，为减函数，若，可得，为增函数，此时必须在上有两个零点，即，解得，，在区间上有三个零点时，， 故答案为：．12．（2020春•烟台期末）已知函数．（1）求函数的极值；（2）若函数有3个零点，求的取值范围．【分析】（1）求导得，令得或，列表格分析随着变化，变化情况，进而得出极值．（2）由（1）可知要使得函数有3个零点，只需，进而解出的取值范围．【解答】解：（1），令，解得或，则随着变化，变化情况如下表：，00单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，当时，取得极大值，当时，取得极小值．（2）要使得函数有3个零点，只需，解得． 13．（2020•新课标Ⅲ）设函数，曲线在点，处的切线与轴垂直．（1）求；（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．【分析】（1）求出原函数的导函数，由题意可得，由此求得值；（2）设为的一个零点，根据题意，，且，得到，由，对求导数，可得在，上的单调性，得到．设为的零点，则必有，可得，由此求得的范围得答案．【解答】（1）解：由，得，，即；（2）证明：设为的一个零点，根据题意，，且，则，由，令，，当，，时，，当，时，可知在，，上单调递减，在，上单调递增．又，（1），，，．设为的零点，则必有，即，，得，即．所有零点的绝对值都不大于1． 14．（2019•新课标Ⅰ）已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．【分析】（1）的定义域为，求出原函数的导函数，进一步求导，得到在上为减函数，结合，，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一得零点，结合单调性可得，在上单调递增，在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当时，，单调递减；当时，，单调递增；由于在，上单调递减，且，，可得函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，当，时，单调递增；当时，单调递减．当，时，单调递减，再由，．然后列，与的变化情况表得答案．【解答】证明：（1）的定义域为，，，令，则在恒成立，在上为减函数，又，，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；当时，单调递增，，单调递增；由于在，上单调递减，且，， 由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，当，时，单调递减，，单调递增；当时，单调递减，，单调递减．当，时，，，于是，单调递减，其中，．于是可得下表：000单调递减0单调递增大于0单调递减大于0单调递减小于0结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，当，时，，则恒成立，因此函数在，上无零点．综上，有且仅有2个零点．15．（2020•沙坪坝区校级模拟）已知函数，，，是自然对数的底数）．（1）若，讨论函数在上的零点个数；（2）设，点是曲线上的一个定点，实数，为的导函数．试比较与的大小，并证明你的结论．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，判断函数的零点个数即可；（2）代入的值，原不等式等价于，不妨设，，原不等式等价于，两边同除以得到，即 令，根据函数的单调性证明结论即可．【解答】解：（1）若，则，所以：，易知，因为，所以在上单调递增，所以：，单调递减，，单调递增，，所以函数在上的零点个数为0（4分）（2）证明：，则所以，，，原不等式等价于，等价于（7分）不妨设，，原不等式等价于两边同除以得到，即令，则令对恒成立，在单调递增，因为，所以对恒成立，所以16．（2020春•未央区校级月考）已知函数有两个零点，．（1）求实数的取值范围；（2）求证：． 【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，由时，，时，，即对任意，存在，满足．再由当时，．可得函数有两个零点的充要条件为，即，化简得的范围；（2）函数有两个零点，，可得，，联立可得，把证转化为证，不妨设，则转化为．令，即证，．令，求导即可证明，故结论成立．【解答】（1）解：．由，解得，由，解得，函数在上单调递增，在，上单调递减．当时，，，当时，，．令，，则．故．，．综上，对任意，存在，满足．另一方面，当时，．因此，函数有两个零点的充要条件为．即，化简得：，故的范围为；（2）证明：函数有两个零点，， ，，，即．要证，即证．不妨设，则．令，即证，．令，则．（1），即，即．[B组]—强基必备1．（2020•全国三模）已知函数有两个零点，，且则下列结论中不正确的是　　A．B．C．D．【分析】求出原函数的导函数，可知当时函数有极小值，求出极小值，再由极小值小于0求解的范围判断；分析函数两零点大于0，代入原函数，可得，，得到判断；由，设，则，为的两个零点，利用导数求解的范围与的范围判断与．【解答】解：，当时，在上恒成立，此时在上单调递减，不合题意；当时，由，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，单调减区间为，单调增区间为， 可知当时，函数取得极小值为，又当时，，时，，要使函数有两个零点，则，得，故正确；由，极小值点，可得．，是的两个零点，，．可得，．故，故错误；由，设，则，为的两个零点，，得在上单调增，在上单调减，，故正确；设，，则，恒成立，则在上单调增，（1），，即，得．又在上单调减，，，，即，故正确．综上，错误的结论是．故选：．2．（2020•绵阳模拟）若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围　　． 【分析】分离参数，先证明；解得：；由于函数有且仅有一个零点；设，；所以直线与函数有且只有一个交点；研究函数的图象特点及单调性，画出大致图象，即可得出结果．【解答】解：令，；则，时，；时，；于是在上递减，在上递增；最小值为（1），，；由，即，解得：；设，；由于函数有且仅有一个零点；所以直线与函数有且只有一个交点；由，此时不能完全判断导函数值的正负；再令，得，当时，；当时，；于是，在上递减，上递增．那么（2）．由此，的正负只同有关，由此得在上递减，在上递增，且的极小值为（1）；又时，；时，；图象大值如图所示，结合的图象，得或．故答案为：或． 3．（2020•浙江）已知，函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：（ⅰ）；（ⅱ）．【分析】（Ⅰ）推导出时，恒成立，，（2），由此能证明函数在上有唯一零点．（Ⅱ），从而，进而，令，，，利用导数性质能证明．要证明，只需证明，只需证，由此能证明．【解答】证明：（Ⅰ），恒成立，在上单调递增，，（2），又，函数在上有唯一零点．（Ⅱ），，，，令，，， 一方面，，，，在单调递增，，，，另一方面，，，当时，成立，只需证明当时，，，，，当时，，当时，，，（1），，（1），，在单调递减，，，综上，，．要证明，只需证，由得只需证，，只需证，只需证，即证，，，，