新高考数学函数压轴专题6 函数整数解问题（解析版）

专题6函数整数解问题1．已知函数，若的解集中有且只有一个正整数，则实数的取值范围为　　A．，B．，C．D．【解析】解：，即，也就是，即，令，则，当时，，当时，．在上单调递增，在上单调递减．作出函数与的图象如图：的图象过定点，，，，．实数的取值范围为，．故选：．2．已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为　　A．B．C．D． 【解析】解：由，得，即，，设，，，由得，函数为增函数，由得，函数为减函数，即当时，取得极大值，极大值为（1），要使，，在，中恰有两个整数，则时，不满足条件．则，当时，（2），当时，（3），即，，则当直线在，之间满足条件，此时两个整数解为1，2，此时满足，即得，即，即的取值范围是，，故选：．3．已知函数，若的解集为，其中；不等式在中有且只有一个整数解，则实数的取值范围是　　A．B．C．D． 【解析】解：设，，由题设原不等式有唯一整数解，即在直线下方，，在递减，在递增，故，恒过定点，结合函数图象得，即，，故选：．4．已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为　　A．B．，C．，D．，【解析】解：设，则当时，，当时，，所以函数在为增函数，在为减函数，的解集为等价于的解集为， 即当且仅当在区间上函数的图象在直线的上方，函数的图象与直线的位置关系如图所示，由图可知：，解得：，故选：．5．已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围　　A．，B．，C．，D．，【解析】解：函数，不等式化为：．分别令，．．可得：函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．，（2）．如图所示．不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，正整数解为1，2， ，即．解得：．数的取值范围是，．故选：．6．已知函数，若恰有三个正整数，使得，则实数的取值范围是　　A．，B．，C．，D．，【解析】解：的定义域为，由可得，（1）显然时，不等式在上无解，不符合题意；（2）当时，不等式为，令，，则当时，，，故不等式没有正整数解，不符合题意；（3）当时，不等式为，显然为增函数， ，令，则，当时，，故在，上单调递减，而（1），（2），存在使得，当，时，，当时，，即当，时，，当时，，在，上单调递增，在．上单调递减，又（1），且时，，故不等式的三个正整数解为1，2，3，，即，解得：．故选：．7．已知函数若，若的解集中恰有两个正整数，则的取值范围为　　A．，B．，C．，D．，【解析】解：由得，即，即的解集中恰有两个正整数，设，则，由得得，由得得，即当时函数取得极大值（1），设函数，作出函数的图象如图， 由图象知当，的解集中有很多整数解，不满足条件．则当时，要使，的解集中有两个整数解，则这两个整数解为和，（2），（3），，，，当直线过，，时，对应的斜率满足，，得，，要使，的解集中有两个整数解，则，即，即实数的取值范围是，，故选：．8．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是　　A．B．C．D．【解析】解：设， 则，可设，．，，，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，（1），当时，，不等式的解集中恰有两个整数，结合图形可知，整数为1，2（3）（2），故选：．9．已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是　　A．B．C．D．【解析】解：，令得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，由当时，，当时，，作出的大致函数图象如图所示：，（1）若，即，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；（2）若，则或，由图象可知有无穷多整数解，不符合题意；（3）若，则或，由图象可知无整数解，故有两个整数解，（1）（2），且在，上单调递减，的两个整数解必为，，又（3），，解得．故选：．10．函数，若的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围为　　A．，B．， C．，D．，【解析】解：令，得：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，结合函数的单调性得：，即，解得：，故选：．11．已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是　　A．B．C．D．【解析】解：，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，作出的函数图象如图所示：由仅有一个整数解得只有一整数解， 设，由图象可知：当时，在上恒成立，不符合题意，当时，若只有1个整数解，则此整数解必为1，，即，解得．故选：．12．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是　　A．B．C．D．【解析】解：函数，可得：，在和上是增函数；在上是减函数，当时，当时，所以函数有三个不同的零点，只需：满足，，，解得故选：．13．已知函数，若不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是　　A．，B．，C．，D．，【解析】解：令，，由题意知，存在2个正整数，使在直线的上方，，当时，，当时，，（1），且，（2），（3）， 直线恒过点，且斜率为，由题意可知，，故实数的取值范围是，，故选：．14．已知函数，且有且只有一个整数解，则的取值范围是　　A．，B．，C．，D．，【解析】解：时，的图象在轴下方，不符题意；时，有且只有一个整数解，即为有且只有一个整数解，由与相切，设切点为，可得，解得，，由题意可得有且只有一个整数解，且为1，可得，即，且，即，故选：．15．函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为　　A．B．C．D． 【解析】解：令，得：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，结合函数的单调性得，即，解得：，故选：．16．已知函数，若的解集中有且只有一个正整数，则实数的取值范围为　　．【解析】解：且的解集中有且只有一个正整数，有且只有一个正整数使，令，，易得的图象如图的图象恒过， 结合和的图象特点可知．且．故答案为：．17．已知函数，若关于的不等式有且只有一个正整数解，则实数的取值范围是　　．【解析】解：即为，设，，，当时，，单增，当时，，单减，（1），当时，，当时，，函数恒过，分别画出函数及函数的图象如图所示，由图可知，要使不等式有且仅有一个正整数解，则的图象在函数图象的上方只有一个正整数值2，（3）且（2），．故答案为：．