高考数学方法技巧第3讲 函数的单调性和最值的处理途径（解析版）

第3讲函数的单调性和最值的处理途径【高考地位】函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．方法一定义法万能模板内容使用场景一般函数类型解题模板第一步取值定大小：设任意，且；第二步作差：；第三步变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；第四步定符号；第五步得出结论.例1已知函数（且）.（1）当时，写出函数的单调区间，并用定义法证明；（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.【来源】辽宁省辽西联合校高三（上）期中数学试题【答案】（1）增区间为，减区间为；证明见解析；（2）.【解析】（1）求得的定义域，运用复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求单调区间，再由单调性的定义证明；（2）由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得的最小值，解不等式，可得所求范围.【详解】（1）由可得，则的定义域为，，,当时，的增区间为，减区间为.证明：设，的增区间为，减区间为，当时，设，可得，，即，可得在递增；设，可得，，即，可得在递减.（2）由，，可得，所以，即为，解得，即的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.例2已知定义域为的函数.（1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【来源】上海市金山区高三上学期一模（期末教学质量检测）数学试题【答案】（1）函数在上单调递减，证明见解析；（2）.【解析】（1）利用证明函数单调性的步骤，取值、作差、变形、等号、下结论即可证明在上的单调性；,（2）首先利用定义证明的奇偶性，再根据奇偶性和单调性脱掉，转化为关于的一元二次不等式恒成立，分离转化为最值问题即可求解.【详解】（1）函数在上单调递减.证明如下：任取，且，，因为，所以，，，即，故函数在上单调递减.（2）因为，故为奇函数，所以，由（1）知，函数在上单调递减，故，即对于任意恒成立，所以，令，则，因为，所以，所以，即实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤1.取值：任取，，规定，2.作差：计算，3.定号：确定的正负，4.得出结论：根据同增异减得出结论.,【变式演练1】（多选）【海南省高三年级第二次模拟考试】下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性.【详解】A，因为，是偶函数，在区间上为增函数，符合题意；B，因为，是奇函数，且在区间上为减函数，不符合题意；C，因为，是偶函数，当时，单调递减，不符合题意；D，因为，是偶函数，且在区间上为增函数，符合题意.故选：AD例3定义在上的奇函数，对任意时，恒有.（1）比较与大小；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）若对满足不等式的任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）函数在上为单调递增函数，证明见解析；（3）.【解析】试题解析：（1）利用作差法，即可比较与大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定的范围，再分离参数求最值，即可求的取值范围.,试题解析：（1）第一步，由得出：∵，，∴，第二步，由奇偶性得出结论：∴∴.（2）第一步，取值、作差：任取且，.第二步，判断符号：∵，，∴，第三步，下结论：∴函数在上为单调递增函数.（3）.考点：函数奇偶性与单调性的综合问题.【变式演练2】已知函数.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；（3）若定义域为，解不等式.【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）,【解析】试题解析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。（2）利函数单调性定义证明单调性，按假设，作差，化简，判断，下结论五个步骤。（3）由（1）（2）奇函数在（-1，1）为单调函数，原不等式变形为f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)