高考数学方法技巧第2讲 常见函数值域或最值的经典求法（解析版）

第2讲常见函数值域或最值的经典求法【高考地位】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.方法一观察法万能模板内容使用场景函数值域求解解题模板第一步观察函数中的特殊函数；第二步利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.例1函数的值域_____________．【答案】【解析】由在上单调递增，∴在上单调递增，而当时，；当时，.∴函数值域为.【变式演练1】求函数的值域.【解析】∵2x＞0，∴0≤8﹣2x＜8．∴0≤＜2．故函数的值域是.方法二分离常数法万能模板内容使用场景函数值域求解解题模板第一步观察函数类型，型如；第二步对函数变形成形式；第三步求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域.例2求函数的值域.,【解析】第一步，观察函数类型，型如；第二步，变形：函数，第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域：根据反比例函数的性质可知：，所以，所以函数的值域为.【变式演练2】【北京大学附属中学高三5月阶段性检测】若函数的定义域是，则的值域是___________.【答案】【解析】由当时，，所以，则所以，即的值域为故答案为：方法三配方法万能模板内容使用场景函数值域求解解题模板第一步将二次函数配方成；第二步根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.例3定义在上的函数的值域是__________．【解析】第一步，将函数配方成：由+10+241第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域：,因为,所以1即函数的值域是【变式演练3】已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因二次函数的对称轴为,且时,函数值,当时,,因此当时,.故当,故应选C.考点：二次函数的图象和性质.方法四反函数法万能模板内容使用场景函数值域求解解题模板第一步求已知函数的反函数；第二步求反函数的定义域；第三步利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域例4设为，的反函数，则的最大值为．【答案】【解析】第一步，先判定函数在区间上是单调递增的；第二步，求出函数的值域；第三步，根据反函数的性质得出反函数在为增函数；,所以在为增函数；所以的最大值为【变式演练4】求函数的值域.方法五换元法万能模板内容使用场景函数值域求解解题模板第一步观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.例5求函数，的值域..【解析】第一步，变化函数为二次函数的形式：，设，第二步，求出换元后函数的定义域：∵，∴，第三步，结合二次函数的性质得出函数的值域：可得，综上所述：函数的值域为.【变式演练5】【高考最后一卷数学第二模拟】函数的值域为______.【答案】【解析】由题可得，，令，则，,即，当，即时，；当，即时，要使方程有解，则需，得.综上，例6求函数的值域.【解析】第一步，换元（注意换元后的变量的取值范围）：令，所以原函数可化为第二步，根据函数解析式判定单调性：因为其开口向下，并且对称轴是，故当时取得最大值为，没有最小值，故值域为.【变式演练6】求函数，的值域.方法六判别式法万能模板内容使用场景函数值域求解,解题模板第一步观察函数解析式的形式，型如的函数；第二步将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域.例7求函数的值域.【解析】第一步，将函数式化成关于的方程的形式：因为所以第二步，根据判别式得出函数值的取值范围：时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实数根即，当时，方程化为7=0，显然不能成立，所以，将，分别代入检验的不符合方程，所以【变式演练7】求函数的值域.【解析】，当时方程有解，当时由可得，综上可知值域为.方法七基本不等式法万能模板内容使用场景函数值域求解解题模板第一步观察函数解析式的形式，型如或的函数；,第二步对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.例8已知，求函数的最小值.【解析】第一步，将函数解析式化成的形式：因为，所以；所以；第二步，利用基本不等式求函数最小值：，当且仅当，即时等号成立。因为在定义域内，所以最小值为1.例9已知函数，求的值域.【解析】第一步，将函数解析式化成的形式：因为，所以；所以；第二步，利用基本不等式求函数最小值：，当且仅当，即时等号成立。因为在定义域内，所以最小值为5.【变式演练8】【新高考同一套题信息原创卷】（多选）下列说法正确的是（）A．已知，则函数B．已知，则函数的值域为C．已知，则函数的最小值为2D．已知，则．【答案】AB,【解析】∵，∴，当且仅当，即时取等号，故A正确；∵，∴在单调递增，∴，故B正确；∵，∴，当且仅当，即或时取等号．∵，∴等号取不到，故C错误；∵，∴，同号．当，同负时，显然，故D错误，故选：AB．【变式演练9】求的最小值；【解析】由题意得，，令，则，又当时，函数单调递增，∴当时，有最小值，且最小值为，故的最小值是．考点：函数的性质；基本不等式.　　方法八单调性法万能模板内容使用场景函数值域求解解题模板第一步确定函数的定义域；第二步求出函数的单调区间；第三步确定函数的值域或最值.例10求函数的值域.【解析】第一步，将函数化成基本初等函数的形式：,令，所以第二步，讨论函数的单调性：因为；所以在上是减函数，在上是增函数；第三步，讨论函数的单调性：又因为在定义域上是减函数；所以在上是增函数，在上是减函数；第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域：所以，，所以函数的值域为。【点评】本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.例11求函数的值域.【解析】第一步，将函数化成基本初等函数的形式：令，所以第二步，讨论函数的单调性：因为；所以在上是增函数，在上是减函数；,第三步，讨论函数的单调性：又因为在定义域上是减函数；所以在上是减函数，在上是增函数；第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域：所以，所以函数的值域为。【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域.（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.（3）本题都是增函数，利用到了复合函数的单调性.【变式演练10】已知函数.当时，求该函数的值域；【解析】，令，此时有，.【变式演练11】求函数的值域.【解析】由，解得，在此定义域内函数是单调递减，所以当时，函数取得最小值，，所以函数的值域是.方法九数形结合法万能模板内容使用场景函数值域求解解题模板第一步作出函数在定义域范围内的图像；第二步利用函数的图像求出函数的值域.,例12求函数的值域.【解析】第一步，将函数解析式转化成两点间的直线的斜率：由题意可得：函数可看成定点到动点的斜率，又因为动点在单位圆上，所以问题转化为求定点到单位圆连线的斜率的问题。第二步，根据直线与圆相切得出函数的值域：设直线的方程为，所以因为直线与圆相切，所以，所以，所以函数的值域为：【点评】（1）对于某些具有明显几何意义的函数，我们可以利用数形结合的方法求该函数的值域.先找到函数对应的形态特征，再求该函数的值域.（2）由于对应着两点之间的斜率（差之比对应直线的斜率），所以本题可以利用斜率分析解答.例13求函数的值域.【解析】第一步，求函数的定义域，对数式应满足真数大于0:所以由得,所以函数的定义域是，第二步，求真数的取值范围，进而求出函数的值域：设点，，所以,所以函数的值域为.,【点评】要迅速地找到函数对应的形，必须注意积累.这样才能提高解题的效率.[来【变式演练12】定义运算a∗b，a∗b=ab(a≤b)(a>b)，例如1∗2=1，则函数y=1∗2x的值域为（）A．(0,1)B．(−∞,1)C．[1,+∞)D．(0,1]【答案】D【解析】当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1，当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．考点：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质．【反馈练习】1．【陕西省榆林市高三上学期第一次高考模拟测试文科】下列四个函数：①；②；③；④，其中定义域与值域相同的函数的个数为（）,A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据基本初等函数的性质，逐个判断函数的定义域和值域，即可得出结果.【详解】①函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；②函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；③指数函数的定义域为，值域为，即定义域和值域不同；④幂函数的定义域为，值域也为，即定义域和值域相同；故选：C.2．【上海市杨浦区高三上学期一模（期末）】下列函数中，值域为的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由题意利用基本初等函数的值域，得出结论．【详解】解：函数的值域为，，故排除；函数的值域为，故排除；函数的值域为，故满足条件；函数的值域为，，故排除，故选：．3．【上海市浦东新区高三上学期一模】已知函数，则以下4个命题：①是偶函数；②在上是增函数；③的值域为；,④对于任意的正有理数，存在奇数个零点.其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】取特殊值可判断①②；根据值域中不含负无理数可判断③；根据为有理数或为无理数，解出可判断④.【详解】①因为，所以，所以不是偶函数，故错误；②因为，所以在不是增函数，故错误；③因为，显然的值域中不含负无理数，故的值域不为，故错误；④的零点即为有理数或为无理数，对于为有理数，必有解，对于为无理数，必有解或无解，故有三个零点或一个，故正确；故选：B.4．【贵州省安顺市全市高三年级第一次教学质量监测统一考试】设集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据二次根式性质求得集合，然后再根据交集定义计算．【详解】,，∴，又，∴．故选：B．5．【上海市南模中学高三三模数学试题】下列函数中，与函数的值域相同的函数为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】试题解析：函数的值域为，而，，只有，所以选B.6．【天津市南开中学高三（上）】下列四个函数：①；②；③；④，其中定义域与值域相同的函数的个数为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】分别求出所给4个函数的定义域和值域比较是否相同.【详解】①的定义域与值域均为R，②的定义域为，值域为，③的定义域为R，值域为，④的定义域和值域均为R.,所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个.故选：B.【点睛】本题考查函数的定义域值域求解，考查学生对于一些简单基本初等函数的掌握情况，较简单.7．【云南省昆明市第一中学高三高中新课标第一次摸底测试】函数的值域为（）A．(-∞，-2]B．[2，+∞)C．(-∞，-2][2，+∞)D．[-2，2]【答案】C【分析】利用基本不等式可求该函数的值域.【详解】当时，，当时，，所以函数的值域为，，故选：C．【点睛】本题考查函数值域、基本不等式，注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，本题属于基础题.8．若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据二次函数性质可确定其最小值为，由可求得，；由此根据值域可确定函数定义域，即可得到的取值范围.【详解】,为开口方向向上，对称轴为的二次函数令，解得：，即实数的取值范围为故选：9．【普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试（三）文科】高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.则函数的值域为（）A．{0，1}B．C．D．【答案】D【分析】先求出函数的值域，再根据题干中要求即可得出的值域.【详解】即函数的值域为,由高斯函数定义可知函数的值域为故选：D10．【金科大联考高三5月质量检测数学（文科）】已知函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之差，若对恒成立，则实数的取值范围为（）.A．B．C．D．【答案】C【分析】由题干条件构造方程组解出函数和的解析式，再用分离参数法将对恒成立转化为对恒成立，进而求得实数的取值范围.【详解】由，有，解得，，可化为，有，有，得，又由，有.故选：C11．【普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟测试题（二）】函数的值域为___________.【答案】【解析】由已知得，解得，所以的定义域为，,且时与都是减函数，所以在上是减函数，，所以的值域为.12．函数的值域是______．【答案】【解析】由题知，因为，所以，所以，则，因此，故答案为:.13．函数的值域是_________【答案】【解析】由题意，函数，因为，所以，则，可得，故函数的值域是.【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中合理化简函数的解析式，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.14．函数的值域为________.【答案】【解析】令，则，故，7由于，∴，，∴，即函数的值域为，故答案为：.15．【江西省顶级名校高三下学期三模数学（理）试题】若函数（且,）的值域是，则实数的取值范围是__________．【答案】【详解】由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围.考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当时，由，得，即，即可求解实数的取值范围.16．【河南省漯河市高三上学期期末】已知函数，.（1）求函数的值域；（2）若函数的值域为，且，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函数可化简为可得当时，.当时，.当时，.故的值域.（2）当时，，，，所以不符合题意.当时，因为，所以函数的值域，若，则，解得或，从而符合题意.当时，因为，所以函数的值域，,此时一定满足，从而符合题意.综上，实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查绝对值函数的值域的求法，考查集合之间的关系和参数范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和解析推理能力.17．【陕西省西安市八校高三上学期第一次联考理科数学试题】已知．（1）解不等式；（2）设(，且)，求的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，函数，因为，可得，可得或，解得或，即，所以不等式的解集为．（2）当，且时，，当时，可得，当且仅当时等号成立，所以，可得，即；当时，，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，所以的值域为．【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.,