2024届新高考：多元变量问题的最值处理技巧

多元变量问题的最值处理技巧【典型例题】2221+z1(2024·河北唐山·统考二模)已知正数x,y,z满足x+y+z=1，则S=的最小值为2xyz33+1A.3B.C.4D.22+12【答案】C【解析】由题意可得，0<z<1,0<1-z<1z+1-z211∴z1-z≤=(当且仅当z=1-z即z=时取等号)242222∵x+y+z=1222∴1-z=x+y≥2xy(当且仅当x=y时取等号)1-z21-z1+z∴≥1即≥12xy2xy1+z1∵1-z>0∴≥2xy1-z1+z161∴≥≥4(当且仅当x=y=,z=时取等号)2xyzz1-z421+z则S=的最小值42xyz2221+z12(2024·浙江杭州·高三杭十四中阶段练习)已知正数x,y,z满足x+y+z=1，则S=+的最小xyz值是()A.2+32B.3+22C.3+23D.4+32【答案】B222222【解析】∵x+y+z=1,∴1-z=x+y≥2xy(当且仅当x=y时取等号)221-z∴1-z≥2xy,∴≥2xy2221+z2又因为已知正数x,y,z满足x+y+z=1，所以0<z<1即≥xy1-z1+z121212z1-z故S=+≥+=+1-z+z=3++≥3+22，xyz1-zz1-zz1-zz当且仅当z=2-1时等号成立，1+z1故S=+的最小值是3+22xyz故选：B12223(2024·浙江·高三镇海中学校联考开学考试)已知a、b、c、d均为正实数，且+=c+d=2，则a+abb的最小值为()cd3+23+22A.3B.22C.D.22【答案】D221222c+d1【解析】因为+=c+d=2，所以cd≤=1，即≥1，当且仅当c=d=1时取等号，所以a+ab2cd1 b1121b2a1b2acd的最小值为a+b的最小值，所以2a+ba+b=23+a+b≥23+2a⋅b=1+2=23+22abb3+22，当且仅当时取等号，所以a+的最小值为.2b=2acd2ab故选：D4(2024·江苏·统考二模)已知实数a,b,c满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值范围是．【答案】1，5【解析】依题意，a=9-b-c，代入ab+bc+ca=24得(9-b-c)b+bc+c(9-b-c)=24；22222整理得c+(b-9)c+b-9b+24=0在实数范围内有解，即Δ=(b-9)-4(b-9b+24)=-3b+18b+15≥0，解得1≤b≤5.考点：1.构造一元二次方程；2.一元二次方程根的分布.2225(2024·河北沧州·高三统考阶段练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a+b+c=2，则a的取值范围是.2323【答案】-,33【解析】因为a+b+c=0，所以c=-a-b22222222所以由a+b+c=2可得a+b+-a-b=2，即b+ab+a-1=0把此方程看成关于b的一元二次方程，说明此方程有根222323所以Δ=a-4a-1≥0，解得-≤a≤332323故答案为：-,332226(2024·北京·高一北京市十一学校校考期末)已知实数a,b,c满足a+b+c=3,a+2b+2c=6,则c的取值范围是.3【答案】0,2【解析】因为实数a,b,c满足a+b+c=3，所以，a=3-b-c222222所以，将a=3-b-c代入a+2b+2c=6得(3-b-c)+2b+2c-6=022整理得：3b-2(3-c)b+3(c-1)=0，22所以关于b的一元二次方程3b-2(3-c)b+3(c-1)=0有实数根，2223所以，Δ=4(3-c)-36(c-1)≥0，即2c-3c≤0，解得0≤c≤.23所以，c的取值范围是0,.23故答案为：0,22227(2024·江苏徐州·统考一模)设实数a，b，c，满足a+b=2c-1，a+b=c+2c-3，则ab的取值范围是．11321132【答案】-,+42421222【解析】因为ab=a+b-a-b，21221212所以ab=2c-1-c-2c+3=3c-6c+4，故ab=3c-1+1，222222122又a+b≥2ab，所以c+2c-3≥2×3c-1+1=3c-6c+4，22 24-24+2整理得到2c-8c+7≤0即≤c≤，224-2124-24+2又>1，故y=3c-1+1在,为增函数，22224-211-6211324+21132当c=时，y==-；当c=时，y=+；244224211321132所以ab的取值范围是-,+4242【过关测试】一、单选题2221(2024·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1，a+b+c=1，则a+b的取值范围是()A.[-1,1]B.-1,04C.0,D.[0,2]33【答案】C222【解析】∵a+b+c=1，a+b+c=1，12222∴a+b=1-c，ab=a+b-a+b=c-c，2a+b2∵ab≤，221-c2∴c-c≤，414∴-≤c≤1，∴0≤1-c≤，334∴0≤a+b≤，3故选：C.2222(2024·浙江宁波·统考三模)已知实数a,b,c满足a+b+c=1，则ab+bc+ca的取值范围是A.(-∞,1]B.[-1,1]C.-1,11,1D.-24【答案】C2222222【解析】因为(a+b+c)≥0，即a+b+c+2ab+2ac+2bc≥0，又a+b+c=1，12221所以ab+ac+bc≥-(a+b+c)=-；22222222因为2ab≤a+b，2ac≤a+c，2bc≤b+c，2222223所以2ab+2ac+2bc≤2a+2b+2c，即ab+ac+bc≤a+b+c=1，当且仅当a=b=c=或a=b=33c=-时取等号.31综上，ab+bc+ca的取值范围是-,1.2故选：C.2223333(2024·全国·高三校联考阶段练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1，a+b+c=1，则a+b+c的最小值是()157A.B.C.D.13993 【答案】B222222【解析】由a+b+c=1，a+b+c=1可得a+b=1-c，a+b=1-c，222222a+b-a+b由a+b=a+b+2ab可得ab=2221-c-1-c2所以ab==c-c，2222由a+b≥4ab可得1-c≥4c-c21即3c-2c-1≤0，解得-≤c≤1，3333223223所以a+b+c=a+ba-ab+b+c=1-c1-c-c+c+c2332=1-c-2c+c+1+c=3c-3c+1，321令fc=3c-3c+1，-≤c≤132fc=9c-6c=3c3c-2，2由fc<0可得0<c<，312由fc>0可得-<c<0或<c<1，331131211f0=1，f-3=3×-3-3×-3+1=9，223225f3=3×3-3×3+1=9，f1=3-3+1=1，3253335所以fc=3c-3c+1的最小值为，即a+b+c的最小值为.99故选：B.5b≥2(a+c),25a+8b+4c4(2024·浙江·模拟预测)设实数a,b,c，满足b=ac,若的最大值和最小值分别a+ba>0,为M,m，则M+m的值为()3249A.9B.C.D.1933【答案】D222bb【解析】由b=ac得c=a，则5b≥2a+a,a>0，25bbb2b1b所以≥21+，即2-5⋅+2≤0，解得，≤≤2．aa2aa2ab3令1+=x，x∈,3，a228b4b25a+8b+4b5++25+8(x-1)+4(x-1)225a+8b+4caaa4x+11=====4x+，a+ba+b1+bxxxa1335a+8b+4c3因为函数y=4x+在x∈,3上单调递增，所以当x=时取得最小值m=4×+x22a+b2220137=，当x=3时取得最大值M=12+=，33333720所以M+m=+=19.33故选D．4 25(2024·重庆·高考真题)若a，b，c>0，且a+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是.A.23B.3C.2D.3【答案】A2【解析】因为a+2ab+2ac+4bc=12，2所以2ab+2ac+2bc=12-a-2bc．2222222而(a+b+c)=a+b+c+2ab+2ac+2bc=12+b+c-2bc=12+(b-c)≥12，且a,b,c>0所以a+b+c≥23，当且仅当b=c时等号成立.21126(2024·河南南阳·高三期中)设a>b>c>0，则2a++-10ac+25c取得最小值时，aabaa-b的值为()A.2B.2C.4D.25【答案】A11221【解析】转化条件为原式=+ab++a(a-b)+(a-5c)，结合基本不等式即可得解.2a+aba(a-b)ab12+-10ac+25caa-b1122=+ab++a(a-b)-ab-a(a-b)+2a-10ac+25caba(a-b)1122=+ab++a(a-b)+a-10ac+25caba(a-b)112=+ab++a(a-b)+(a-5c)aba(a-b)11≥2⋅ab+2⋅a(a-b)+0=4，aba(a-b)ab=122当且仅当a(a-b)=1，即a=2，b=，c=时，等号成立.25a=5c故选：A.xy+yz7(2024·安徽蚌埠·高一统考期末)若x，y，z均为正实数，则的最大值为()222x+2y+z3211A.B.C.D.2224【答案】C2222【解析】因为x，y，z均为正数，所以x+y≥2xy,z+y≥2yz，xy+yzxy+yzxy+yz1所以=≤=，当且仅当x=y=z时等号成立.x2+2y2+z2x2+y2+y2+z22xy+2yz2故选：C二、多选题8(2024·江苏南通·统考模拟预测)若非负实数a，b，c满足a+b+c=1，则下列说法中一定正确的有()22212A.a+b+c的最小值为B.(a+b)c的最大值为3914C.ab+bc+ca的最大值为D.ab+bc的最大值为395 【答案】ACD222222222【解析】对于A，由a+b≥2ab，b+c≥2bc，c+a≥2ca，得2a+2b+2c≥2ab+2bc+2ca，两边同时加上222222222211a+b+c，可得3a+b+c≥(a+b+c)=1，所以a+b+c≥，当且仅当a=b=c=时取等号，所33以A正确.1-c+c21对于B，易得a+b=1-c，所以(a+b)c=(1-c)c≤=，2411当且仅当a+b=，c=时取等号，所以B不正确.222222对于C，由a+b+c≥ab+bc+ca，两边同时加上2ab+2bc+2ca，得l=(a+b+c)≥3(ab+bc+ca)，所11以ab+bc+ca≤，当且仅当a=b=c=时取等号，所以C正确.33222对于D，易得a=1-b-c，令b=x，c=y，所以ab+bc=(1-b-c)b+bc=1-x-yx+x3y=x-x+xy(x-y)，y+x-y2x23333≤x-x+x⋅2≤x-x+x⋅4=x-4x3324记f(x)=x-x，0≤x≤1，利用导数易求得f(x)≤f=，所以D正确.439故选：ACD229(2024·福建泉州·高一福建省德化第一中学校考阶段练习)已知正实数a,b,c满足a-ab+4b-c=c0，当取最小值时，下列说法正确的是()ab2A.a=4bB.c=6b33C.a+b-c的最大值为D.a+b-c的最大值为48【答案】BD22ca4ba4b【解析】对于A，由a-ab+4b-c=0，则=+-1≥2⋅-1=3，当且仅当a=2b时，等号abbaba成立，故A错误，c=3cab2对于B，当取最小值时，，则c=6b，故B正确；aba=2b221233113对于C、D，a+b-c=2b+b-6b=-6b+3b=-6b-+≤，当且仅当a=，b=，c=，等4882483号成立，故a+b-cmax=，故C错误，D正确.8故选：BD.三、填空题2221+z10(2024·福建厦门·高一厦门双十中学校考期中)已知正数x，y，z满足3x+2y+z=1，则s=xyz的最小值为．【答案】86222222【解析】因为3x+2y+z=1，所以3x+2y=1-z=1-z1+z；223x+2y易知z<1，所以1+z=；1-z221+z3x+2y11所以s==，由z1-z≤，当且仅当z=时取等号，xyzxyz1-z426 2243x+2y86xy22323可得s≥≥=86，当且仅当3x=2y=，即x=,y=时，取到最小值.xyxy844故答案为：86.22211(2024·上海青浦·统考一模)已知三个互不相同的实数a、b、c满足a+b+c=1，a+b+c=3，则abc的取值范围为．5【答案】-1,27222【解析】由题a+b+c=1，a+b+c=3，a≠b≠c2222得1=a+b+c=a+b+c+2ab+2bc+2ac=3+2ab+2bc+2ac，得ab+bc+ac=-1，所以-1=ab+cb+a=ab+c1-c，2则ab=c-c-1，又a+b=1-c，22所以由韦达定理得a和b为关于x的方程x+c-1x+c-c-1=0的两不等根，222所以Δ=c-1-4c-c-1>0⇒3c-2c-5<0，5得-1<c<，3232再由ab=c-c-1，所以abc=c-c-c，32构造函数fx=x-x-x，2则fx=3x-2x-1=x-13x+1，1fx=0得x=1或x=-，315所以在-1,-3，1,3上fx>0，fx单调递增，1在-,1上fx<0，fx单调递减，31111551252555f-3=-27-9+3=27，f3=27-9-3=27，f1=-1,f-1=-1，3255所以fx=x-x-x在-1<c<上范围为-1,，3275所以abc的取值范围为-1,.275故答案为：-1,27212(2024·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中)已知实数a>b>c，且满足：a+b+c=1,a22+b+c=3，则s=b+c的取值范围是.2【答案】-,03222【解析】根据题意可得b+c=1-a，b+c-2bc=3-a，从而可得bc=a-a-1，将b,c看为一元二次方2程的根，利用Δ>0求出a的范围，再利用反证法求出a>1，即可求解.由已知可得b+c=1-a，b+c2-2bc=3-a，2即bc=a-a-1，22因此，以b,c为根的方程为x+a-1x+a-a-1=0，22∴Δ=a-1-4a-a-1>0，7 5解得-1<a<，32故b+c>-，355同理可得-1<b<，-1<c<，33下面精确a的下限，假设a≤1，由a>b>c，由-<b<a<1，-<c<a<1，222所以a≤1，b<1，c<1，因此d3=A3-B3=7-1=6，矛盾，故a>1，所以b+c=1-a<02综上，-<b+c<0，32故答案为：-,0.322213(2024·河北石家庄·高一校考阶段练习)已知实数a，b，c满足a+4b+2c=5，则2ab+3c的最大值为．19【答案】/4.75422a+4b【解析】因为2ab=a⋅2b≤，当且仅当a=2b时取到等号，225-2c3219所以2ab+3c≤+3c=-c-+，2242319由2c≤5可知c=可以取到等号，故2ab+3c≤.2419故答案为：.422214(2024·浙江衢州·衢州二中校考一模)已知实数a，b，c满足a+b+2c=1，则ab+c的最小值是.9【答案】-1622【解析】先分离出a+b，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值.若ab+c取最小值，则ab异号，c<0，222根据题意得：1-2c=a+b，222又由a+b≥2ab=-2ab，即有1-2c≥-2ab，21129则ab+c≥c+c-=c+-，24169即2ab+c的最小值为-，169故答案为：-1615(2024·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第70中校考阶段练习)已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=22223，a+2b+3c+6d=5，则a的最大值最小值分别为、．【答案】2111122222222【解析】由柯西不等式得++(2b+3c+6d)≥(b+c+d)，即2b+3c+6d≥(b+c+d)，将条件2361112222代入，我们就可以求出a的取值范围．由柯西不等式得++(2b+3c+6d)≥(b+c+d)2362222即2b+3c+6d≥(b+c+d)8 22将条件代入可得5-a≥(3-a)，解得1≤a≤22b3c6d当且仅当==时等号成立，11123611可知b=1,c=,d=时amax=2，3621b=1,c=,d=时，amin=1.33故答案为：2；1.22c16(2024·天津·高三天津一中阶段练习)已知正实数a,b,c满足a-ab+4b-c=0，当取最小值ab时，a+b-c的最大值为.3【答案】822c【解析】由基本不等式有c=a+4b-ab≥3ab，因ab>0，故≥3，abc当且仅当a=2b时等号成立，故有最小值3，ab22123此时c=6b,a=2b，故a+b-c=-6b+3b=-6b-+，4811333故当a=,b=,c=时，a+b-c有最大值为，故填.248882217(2024·全国·高三专题练习)设x,y为实数，若4x+y+xy=1，则2x+y的最大值是．210【答案】5222【解析】由4x+y+xy=1化简可得2x+y-3xy=1，222令t=2x+y，则y=t-2x，所以t-3xt-2x=1，即6x-3tx+t-1=0，22210210所以Δ=-3t-24t-1≥0，解得-≤t≤，552101010所以2x+y的最大值是，此时x=，y=．5105210故答案为：.5222x+y18(2024·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末)设x，y为正实数，若4x+y+xy=1，则的最6+6xy大值是.10【答案】182222【解析】∵4x+y+xy=1，即4x+y=1-xy222222∵1-xy=4x+y≥24x⋅y=4xy，当且仅当4x=y即2x=y时，取等号，1∴xy≤，当且仅当2x=y时，取等号，5222∵4x+y+xy=1，即(2x+y)-3xy=18∴2x+y=1+3xy≤，当且仅当2x=y时，取等号，582令2x+y=1+3xy=m≤，则3xy=m-1，52x+ym1∴==，6+6xy2m2+42m+4m9 849102x+y10∵当m=时，2m+取最小值，此时最大为：5m56+6xy1810故答案为：.1819(2024·全国·高三专题练习)对任意的x，y∈R，|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为；2224若正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则t=3xy+2yz+xz的最大值是.36【答案】32【解析】①对任意x，y∈R，|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=|x-1|+|-x|+|1-y|+|y+1|≥|x-1-x|+|1-y+y+1|=3，当且仅当x∈0,1，y∈-1,1成立，∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3；222②∵正实数x，y，z满足x+2y+z=1，222224222121212∴1=x+2y+z=x+y+y+z+x+z3332322236≥2×xy+2×yz+2×xz，3366当且仅当x=2y=z时，等号成立，22236336∴2×3xy+2×3yz+2×6xz≤1×=2，2246∴t=3xy+2yz+xz的最大值为.326故答案为：3，.222220(2024·陕西渭南·高二校考阶段练习)已知x，y，z是正实数，且x+y+z=5，则x+2y+z的最小值为.【答案】1012222222【解析】由柯西不等式可得x+2y+z1++1≥(x+y+z)，25222222所以x+2y+z≥25，即x+2y+z≥10，2x2yz当且仅当==即x=2y=z也即x=2,y=1,z=2时取得等号，1112故答案为：102a+1221(2024·浙江嘉兴·高三阶段练习)已知a>0，b>0，c>1且a+b=1，则ab-2⋅c+c-1的最小值为．【答案】4+2222a+1a+12【解析】根据a+b=1和“1”的代换，利用不等式化简ab，代入ab-2⋅c+c-1化简后，利用添补项和基本不等式求出式子的最小值，并求出等号成立时a、b、c的值．因为a>0，b>0，a+b=1，2a2+(a+b)222a+12a+b+2ab22ab+2ab所以==≥=22+2，abababab2a+122又c>1，则ab-2⋅c+c-1≥22c+c-110 =22(c-1)+1+21+2≥222(c-1)⋅=4+22，c-1c-1222a=b其中等号成立的条件：当且仅当a+b=1，2(c-1)=1c-12解得a=2-1，b=2-2，c=1+，22a+12所以ab-2⋅c+c-1的最小值是4+22.故答案为：4+22.233x+y22(2024·广东·统考一模)已知Px,y为函数y=x+图象上一动点，则的最大值为4x2+y2．【答案】3【解析】设Q3,1，原点O，则OQ=3,1，OP=x,y；OP⋅OQ3x+y3x+y所以cos∠POQ==，即=2cos∠POQ，2222OP⋅OQ2x+yx+y233x+y如图所示，所以当直线y=kx与函数y=x+在y轴右侧相切时，cos∠POQ取到最大值，即取4x2+y2得最大值；2323联立直线y=kx与函数y=x+可得x-kx+=0，4423所以△=k-4×=0，解得k=3(k=-3舍去)；43×3+3333x+y22此时x=,y=，所以==3，22x2+y23+9443x+y即的最大值为3.22x+y故答案为：311