高考数学方法技巧第3讲 函数的单调性和最值的处理途径（原卷版）

第3讲函数的单调性和最值的处理途径函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．方法一定义法第一步取值定大小：设任意，且；第二步作差：；第三步变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；第四步定符号；第五步得出结论.例1已知函数（且）.（1）当时，写出函数的单调区间，并用定义法证明；（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.例2已知定义域为的函数.（1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【变式演练1】（多选）【海南省高三年级第二次模拟考试】下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．例3定义在上的奇函数，对任意时，恒有.（1）比较与大小；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；8/8 （3）若对满足不等式的任意恒成立，求的取值范围.【变式演练2】已知函数.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；（3）若定义域为，解不等式.方法二导数法第一步求函数的定义域；第二步求导；第三步在定义域范围内解不等式或；第四步得出函数的增减区间.例4已知函数．求的单调递减区间；【变式演练3】函数，的单调递增区间为__________．方法三复合函数解析法第一步先求函数的定义域；第二步分解复合函数，分别判断内外层函数的单调性；第三步根据同增异减，确定原函数的增减区间.例5求y=log12x2-3x+2的单调区间【变式演练4】已知定义在上的函数是偶函数，且时，.（1）当时，求解析式；8/8 （2）写出的单调递增区间.【变式演练5】函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.方法四图像法第一步通过题目条件画出函数图像；第二步从图像中读出函数的单调区间.例6求函数的单调区间。【变式演练6】已知函数．（）用分段函数的形式表示该函数．（）画出该函数的图象．（）写出该函数的单调区间及值域．【反馈练习】1．【陕西省榆林市高三上学期第一次高考模拟测试文】已知定义在上的偶函数在区间上递减.若，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．2.【上海市浦东新区高三上学期一模数学】已知函数，则以下4个命题：①是偶函数；②在上是增函数；③的值域为；④对于任意的正有理数，存在奇数个零点.其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．38/8 3.【云南省陆良县高三毕业班（9月）第一次摸底考试】已知是奇函数，且对任意且都成立，设，，，则（）A．B．C．D．4.【百师联盟高三一轮复习联考（三）全国卷I文科数学】已知函数的定义域为，且当时，有，当时，有恒成立，则的取值范围为（）A．0,+∞B．-∞,0C．1,+∞D．5.【四川省宜宾市高三上学期第一次诊断考试数学（文）】已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列四个结论中：①图象关于直线对称；②；③在上为减函数；④.其中正确的个数（）A．1B．2C．3D．46.【四川省宜宾市高三上学期第一次诊断考试数学（理）】已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列结论正确的是（）A．图象关于直线对称B．图象关于点中心对称C．在上为减函数D．在上为增函数7.【广西普通高中高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）】设定义在R上的函数满足，且当时，，若存在，则的取值范围为（）A．B．C．D．8/8 8．【甘肃省张掖市第二中学高三第一学期10月月考数学（理）】已知函数，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．9．（济南市·山东师范大学附中高三其他模拟）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．10．（北京高三二模）下列函数中，在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．11．已知函数（）A．是奇函数，单调递增B．是奇函数，单调递减C．是偶函数，单调递减D．是偶函数，单调递增12．已知奇函数的定义域为，且有，，当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．13．设函数，则（）A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减8/8 C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减14．函数（其中mR）的图像不可能是（）A．B．C．D．15．下列函数中，在区间上为增函数的是（）A．B．C．D．16．已知函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C．是奇函数，递减区间是D．是奇函数，递增区间是17．已知函数满足：①对任意、且，都有；②对定义域内的任意，都有，则符合上述条件的函数是（）A．B．C．D．18．若函数在上单调递增，则的取值范围为（）A．B．C．D．19．已知函数在上是减函数，，则a，b，c的大小关系为（）8/8 A．B．C．D．20．函数的大致图象为（）A．B．C．D．21．已知函数，若对任意，且，都有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．22．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．23．已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．24．设函数，则（）A．是偶函数B．是奇函数C．在上单调递增D．在上单调递减8/8 25．已知函数满足，当时，，且.（1）求的值，并判断的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.26．已知定义域为的函数是奇函数．（1）求，的值；（2）用定义证明在上为减函数；（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围．27.【上海市青浦区高三上学期一模数学】设函数，为常数.（1）若为偶函数，求的值；（2）设，，为减函数，求实数的取值范围.28．【安徽省淮北市高三上学期第一次模拟考试文科数学】已知函数的一个极值点是.（1）求a与b的关系式，并求的单调区间；（2）设，，若存在，，使得成立，求实数a的范围.8/8