2024年新高考数学一轮复习：第10讲 函数的奇偶性与周期性、对称性（解析版）

第10讲函数的奇偶性与周期性、对称性1、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2、周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．3．函数对称性常用结论(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称．f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点对称．1、【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若 y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122f(k)=（       ）A．-21B．-22C．-23D．-24【答案】D【解析】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g2-x=gx+2，因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+2)-f(x-2)=7，即g(x+2)=7+f(x-2)，因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，代入得f(x)+7+f(x-2)=5，即f(x)+f(x-2)=-2，所以f3+f5+…+f21=-2×5=-10，f4+f6+…+f22=-2×5=-10.因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f0=1，所以f(2)=-2-f0=-3.因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7，又因为f(x)+g(2-x)=5，联立得，g2-x+gx+4=12，所以y=g(x)的图像关于点3,6中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，所以g3=6因为f(x)+g(x+2)=5，所以f1=5-g3=-1.所以k=122f(k)=f1+f2+f3+f5+…+f21+f4+f6+…+f22=-1-3-10-10=-24.故选：D2、【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（       ）A．-3B．-2C．0D．1【答案】A【解析】因为fx+y+fx-y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f-y=2fy，即fy=f-y，所以函数fx为偶函数，令y=1得，fx+1+fx-1=fxf1=fx，即有fx+2+fx=fx+1，从而可知fx+2=-fx-1，fx-1=-fx-4，故fx+2=fx-4，即fx=fx+6，所以函数fx的一个周期为6． 因为f2=f1-f0=1-2=-1，f3=f2-f1=-1-1=-2，f4=f-2=f2=-1，f5=f-1=f1=1，f6=f0=2，所以一个周期内的f1+f2+⋯+f6=0．由于22除以6余4，所以k=122fk=f1+f2+f3+f4=1-1-2-1=-3．故选：A．3、【2021年甲卷文科】设是定义域为R的奇函数，且.若，则（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.【详解】由题意可得：，而，故.故选：C.4、【2021年甲卷理科】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以， 令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D． 5、【2021年乙卷文科】设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B6、【2021年新高考2卷】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（       ） A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.7、【2020年新课标2卷理科】设函数，则f(x)（       ）A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，又， 为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.8、【2020年新课标2卷文科】设函数,则（       ）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以函数为奇函数．又因为函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递增．故选：A．9、【2020年新高考1卷（山东卷）】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.1、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为ABCD【答案】D【解析】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，故选D．2、已知是奇函数，且当时，．若，则__________．【答案】【解析】：，得，．3、（2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测）已知函数是奇函数，则的值为___________.【答案】【解析】因为函数是奇函数，所以，即，整理得恒成立，解得，经检验当时，函数是奇函数.故答案为：4、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则______.【答案】 【解析】依题意函数是定义在上的奇函数，所以，，，恒成立，所以，所以.故答案为：考向一　奇偶性的定义与判断例1、判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝3x－3－x；(4)f(x)＝；(5)f(x)＝【解析】：(1)∵由得x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f(x)＝＋的定义域为，不关于坐标原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵f(x)的定义域为R，∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0．∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f(x)＝＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．变式1、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xlg(x＋)；(2)f(x)＝(1－x)；(3)f(x)＝(4)f(x)＝.【解析】(1)因为x＋>0恒成立，所以函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．因为f(x)－f(－x)＝x[lg(x＋)＋lg(－x＋)]＝0，所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)为偶函数．(2)由题意，得解得－1≤x<1，所以定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数．(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．不妨设x>0.因为f(x)＋f(－x)＝－x2＋2x＋1＋x2－2x－1＝0，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数．(4)由题意，得解得－2≤x≤2，且x≠0，所以定义域关于原点对称．因为f(x)＝＝＝，所以f(x)＋f(－x)＝－＝0，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数．方法总结：1.判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称．若函数定义域关于原点不对称，则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系结合定义作出判断．2.在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反例就可以了．3. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．考向二函数的周期性及应用例2、已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.【答案】-2【解析】因为图像关于对称，则，，故是以8为周期的周期函数，故答案为：.变式1、函数满足，且在区间上，则的值为．【答案】【解析】因为函数满足()，所以函数的最小正周期是4．因为在区间上，，所以．变式2、已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，；当时，；当时，，则f(6)=A．−2B．−1C．0D．2 【答案】D【解析】当时，为奇函数，且当时，，所以．而，所以，故选D．变式3、若函数f(x)＝则f(2023)＝________.【答案】　－1【解析】　当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，∴f(x)的周期为6，∴f(2023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.方法总结：(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T．(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隐含周期的条件：，，，，，等考向三函数奇偶性与单调性、周期性的应用例3、（1）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，所以，因为， ，所以，又在上单调递减，所以．故选C．（2）(2022·沭阳如东中学期初考试)已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，有下列四个命题：甲：f(x)是奇函数；乙：f(x)的图象关于直线x＝1对称；丙：f(x)在区间[－1，1]上单调递减；丁：函数f(x)的周期为2．如果只有一个假命题，则该命题是A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【解析】由函数f(x)的特征可知：函数在区间[－1，1]上单调递减，其中该区间的宽度为2，所以函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，与函数f(x)的周期为2互相矛盾，即：丙和丁中有一个为假命题，若甲乙成立，故f(－x)＝－f(x)，则f(x＋1)＝f(1－x)，故f(x＋2)＝f[1－(1＋x)]＝f(－x)＝－f(x)，故f(x＋4)＝f(x)，所以函数的周期为4，即丁为假命题，由于只有一个假命题，故答案选D．变式1、函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).　(1)求f(1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(3)当x>0时，f(x)>0恒成立，且f(4)＝1，求不等式f(x－1)＜2的解集．【解析】(1)由题意，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.(2)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．因为f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝f(1)＝0，所以f(－1)＝0，所以f(－1·x)＝f(x)＋f(－1)，即f(x)＝f(－x)，所以f(x)为偶函数．(3)由题意，得f(4)＋f(4)＝f(16)＝2，f(x)＋f＝f(1)＝0，所以f(x)＝－f.不妨设x1>x2>0，则f＝f(x1)＋f＝f(x1)－f(x2)>0，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．又f(x)为偶函数． 所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减．因为f(x－1)<2＝f(16)，所以解得－15<x<1或1<x<17，所以该不等式的解集为(－15，1)∪(1，17).变式2、已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（）A．B．函数在定义域上是周期为的函数C．直线与函数的图象有个交点D．函数的值域为【答案】A【解析】函数是上的奇函数，，由题意可得，当时，，，A选项正确；当时，，则，，，则函数不是上周期为的函数，B选项错误；若为奇数时，，若为偶数，则，即当时，，当时，，若，且当时，，，当时，则，，当时，，则， 所以，函数在上的值域为，由奇函数的性质可知，函数在上的值域为，由此可知，函数在上的值域为，D选项错误；如下图所示：由图象可知，当时，函数与函数的图象只有一个交点，当或时，，此时，函数与函数没有交点，则函数与函数有且只有一个交点，C选项错误.故选：A.方法总结：　1.已知函数的奇偶性，反求参数的取值，有两种思路：一种思路是根据定义，由f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)对定义域内的任意x恒成立，建立起关于参数的方程，解方程求出参数之值；另一种思路就是从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果．2.函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系，奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反，掌握这一关系，对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题，有着极大的帮助，要予以足够的重视．1、（2022·湖南湖南·二模）已知函数是R上的奇函数，当时，，若，是自然对数的底数，则（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：依题意得，，由，即，得，所以当时，所以. 故选：D2、（2022·河北·模拟预测）设偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为是偶函数，所以等价于．又在上单调递增，所以在上单调递减．由，得或又，解得或．故选：D3、（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为为偶函数，所以函数图象关于轴对称， 由图可得时，时，时；又当时，时，时，时，不等式等价于或，所以或或，即不等式的解集为；故选：A4、（2022·湖南·雅礼中学二模）函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（       ）A．是奇函数B．是偶函数C．D．【答案】B【解析】因为是奇函数，∴，∵是偶函数，∴，即，，则，即周期为8；另一方面，∴，即是偶函数.故选：B.5、（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数，若，，（e为自然对数的底数），则（       ）．A．B．C．D． 【答案】D【解析】由题意可知，函数为偶函数，且在上单调递增，又，，，所以，故．故选：D6、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数，以下结论正确的是（）A．B．在区间上是增函数C．若方程恰有3个实根，则D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是【答案】BCD【解析】函数的图象如图所示：对A，，，所以，故A错误；对B，由图象可知在区间上是增函数，故B正确；对C，由图象可知，直线与函数图象恰有3个交点，故C正确；对D，由图象可得，当函数在上有6个零点，则，所以当时，；当时，，所以的取值范围是，故D正确.故选：BCD.