2024年高考数学一轮复习： 函数与基本初等函数 第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性（十三大题型）（课件）

第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性导师：稻壳儿高考一轮复习讲练测2024 01020304目录CONTENTS考情分析网络构建知识梳理题型归纳真题感悟 01PARTONE考情分析 稿定PPT稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你02考点要求考题统计考情分析（1）借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．（2）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．（3）结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义．2022年II卷第8题，5分2022年I卷第12题，5分2021年II卷第8题，5分2021年甲卷第12题，5分从近几年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查． 02PARTONE网络构建 03PARTONE知识梳理题型归纳 增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有__________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增当x1<x2时，都有_________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减1.函数的单调性(1)单调函数的定义f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上_________或_________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.单调递增单调递减前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有________；(2)∃x0∈I，使得_________(1)∀x∈I，都有_________；(2)∃x0∈I，使得_________结论M为最大值M为最小值2.函数的最值f(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝Mf(x0)＝M 奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且___________，那么函数f(x)就叫做偶函数关于____对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且_____________，那么函数f(x)就叫做奇函数关于_____对称3.函数的奇偶性f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点 4.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且____________，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______的正数，那么这个_________就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小最小正数5.函数的对称性(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．(3)若，则函数关于对称．(4)若，则函数关于点对称． 常用结论1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).3.函数对称性常用结论(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)f(2a－x)＝－f(x)＋2b⇔f(x)的图象关于点(a，b)对称. 【例1】已知函数．（1）判断函数的单调性，并利用定义证明；（2）若，求实数的取值范围．【解析】（1）在上递减，理由如下：任取，且，则，因为，且，所以，，所以，即，所以在上递减；（2）由（1）可知在上递减，所以由，得，解得，所以实数的取值范围为．题型一：函数的单调性及其应用 【对点训练1】若定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（）A．f（x）在R上是增函数B．f（x）在R上是减函数C．函数f（x）先增后减D．函数f（x）先减后增【答案】A【解析】由>0知f（a）-f（b）与a-b同号，即当a<b时，f（a）<f（b），或当a>b时，f（a）>f（b），所以f（x）在R上是增函数．故选：A．【解题总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．题型一：函数的单调性及其应用 【例2】函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，得，解得或，所以函数的定义域为，令，则开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增，所以函数的单调递减区间为．故选：D．题型二：复合函数单调性的判断 【对点训练2】（陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高三下学期期末数学试题）函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，令，则，在上递增，在上递减，因为在定义域内为增函数，所以的单调递减区间为，故选：A【解题总结】讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．题型二：复合函数单调性的判断 【例3】（河南省2023届高三下学期仿真模拟考试数学试题）已知函数为定义在R上的单调函数，且，则在上的值域为______．【答案】【解析】因为为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的，使得，则，，即，因为函数为增函数，且，所以，．易知在上为增函数，故，，则在上的值域为．故答案为：．题型三：利用函数单调性求函数最值 【对点训练3】（上海市静安区2023届高三二模数学试题）已知函数为偶函数，则函数的值域为___________．【答案】【解析】函数（）是偶函数，，，易得，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以，所以函数的值域为．故答案为：．题型三：利用函数单调性求函数最值 【对点训练4】（新疆乌鲁木齐市第八中学2023届高三上学期第一次月考）若函数在区间上的最大值为，则实数_______．【答案】3【解析】∵函数，由复合函数的单调性知，当时，在上单调递减，所以最大值为；当时，在上单调递增，所以最大值为，即，显然不合题意，故实数．【解题总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．2、如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．4、若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．5、若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．题型三：利用函数单调性求函数最值 【例4】已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对任意的实数，都有，即成立，可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；可得：，解得，故选：C题型四：利用函数单调性求参数的范围 【对点训练5】（吉林省松原市2022-2023学年高三上学期第一次月考）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数在区间内有意义，则，设则，（1）当时，是增函数，要使函数在区间内单调递增，需使在区间内内单调递增，则需使，对任意恒成立，即对任意恒成立；因为时，所以与矛盾，此时不成立．（2）当时，是减函数，要使函数在区间内单调递增，需使在区间内内单调递减，则需使对任意恒成立，即对任意恒成立，因为，所以，又，所以．综上，的取值范围是故选：B题型四：利用函数单调性求参数的范围【解题总结】若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．1、若在上恒成立在上的最大值．2、若在上恒成立在上的最小值． 【例5】（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知函数是上的偶函数，对任意，，且都有成立．若，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数是R上的偶函数，所以函数的对称轴为，又因为对任意，，且都有成立．所以函数在上单调递增，而，，，所以，所以，因为函数的对称轴为，所以，而，因为，所以，所以，所以．故选：A．题型五：基本初等函数的单调性 【对点训练6】（多选题）（甘肃省庆阳市宁县第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调函数，且，则（　　）A．B．C．D．【答案】BD【解析】函数在区间上是单调函数，又，且，故此函数在区间上是减函数．由已知条件及偶函数性质，知函数在区间上是增函数．对于A，，故，故A错误；对于B，，故，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确．故选：BD．【解题总结】1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决．2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间（同增异减）．3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数．同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系．题型五：基本初等函数的单调性 【例6】（2023·北京·高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于A，函数的定义域为R，且满足，所以其为偶函数，在上单调递减，在上单调递减，故A不符合题意；对于B，设，函数的定义域为R，且满足，所以函数为偶函数，当时，为单调递增函数，故B符合题意；对于C，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故C不符合题意；对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称，且满足，所以函数为奇函数，又函数在上单调递减，故D不符合题意.故选：B.题型六：函数的奇偶性的判断与证明 【对点训练7】（多选题）（黑龙江省哈尔滨市第五中学校2022-2023学年高三下学期开学检测数学试题）设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是偶函数【答案】CD【解析】因为函数的定义域都为R，所以各选项中函数的定义域也为R，关于原点对称，因为是奇函数，是偶函数，所以，对于A，因为，所以函数是奇函数，故A错误；对于B，因为，所以函数是偶函数，故B错误；对于C，因为，所以函数是奇函数，故C正确；对于D，因为，所以函数是偶函数，故D正确．故选：CD．【解题总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性．题型六：函数的奇偶性的判断与证明 【例7】（四川省成都市蓉城联盟2022-2023学年高三下学期第二次联考）已知函数是偶函数，则______．【答案】-1【解析】定义域为R，由得：，因为，所以，故．故答案为：-1题型七：已知函数的奇偶性求参数 【对点训练8】（湖南省部分学校2023届高三下学期5月联数学试题）已知函数，若是偶函数，则______．【答案】【解析】因为是偶函数，所以，，即，解得．故答案为：．【解题总结】利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解．题型七：已知函数的奇偶性求参数 【例8】（广东省湛江市2023届高三二模数学试题）已知奇函数则__________．【答案】【解析】当时，，，则．故答案为：．题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值 【对点训练9】设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数是一个偶函数，是一个奇函数，所以，，因为①，则②，所以①+②得，所以．故选：A．【解题总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式．题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值 【例9】（宁夏银川一中、昆明一中2023届高三联合二模考试数学试题）已知函数，若，则（）A．B．0C．1D．【答案】C【解析】因为，所以，所以．故选：C．题型九：已知