2025年高考数学一轮讲义第5章 第4课时　复数

第4课时　复数[考试要求]　1．通过方程的解，认识复数.2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3．掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i是虚数单位，实部是__，虚部是__．(2)复数的分类复数z＝a＋bi(a，b∈R)实数b__0，虚数b__0当a=0时为纯虚数．(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔______________(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔________________(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作______或____________，即|z|＝|a＋bi|＝__(a，b∈R)．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点____________及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________________________；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝________________________________；5/5 ④除法：z1z2＝a+bic+di＝a+bic-dic+dic-di＝__________(c＋di≠0)．(2)几何意义：如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1+OZ2，Z1Z2＝OZ2-OZ1.[常用结论]1．(1±i)2＝±2i；1+i1-i＝i；1-i1+i＝－i．2．i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)．3．z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝z1z2，|zn|＝|z|n．4．复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z－(a＋bi)|＝r(a，b∈R，r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．5．若ω＝－12±32i，则(1)ω3k＝1(k∈Z)；(2)ω2＋ω＋1＝0.6．z＝z⇔z∈R.一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a∈C，则a2≥0．(　　)(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi．(　　)(4)方程x2＋2x＋4＝0没有解．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P69例1改编)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)A．－1　B．0C．1　D．－1或12．(人教A版必修第二册P80练习T2改编)(1＋i)(1－2i)＝(　　)5/5 A．－1＋2i　B．－1－2iC．3＋i　D．3－i3．(人教A版必修第二册P80习题7.2T2改编)在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数是(　　)A．1－2i　B．－1＋2iC．3＋4i　D．－3－4i4．(人教A版必修第二册P94复习参考题7T1(2)改编)复数5i+2的共轭复数是________．考点一　复数的有关概念[典例1]　(1)(2023·广东广州三模)已知复数z满足|z|＋z＝2＋4i，则z＝(　　)A．3＋4i　　　　B．3－4iC．－3＋4i　D．－3－4i(2)(2023·辽宁沈阳一模)若z是纯虚数，|z|＝1，则21-z的实部为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．[跟进训练]1．(2023·湖北武汉二调)若虚数z使得z2＋z是实数，则z满足(　　)A．实部是－12　B．实部是12C．虚部是0　D．虚部是12考点二　复数的四则运算[典例2]　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝1-i2+2i，则z－z＝(　　)5/5 A．－i　　B．iC．0　　D．1(2)(2024·河南郑州模拟)已知m，n为实数，1－i(i为虚数单位)是关于x的方程x2－mx＋n＝0的一个根，则m＋n＝(　　)A．0　　B．1C．2　　D．4[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数．[跟进训练]2．(1)(2022·全国甲卷)若z＝－1＋3i，则zzz-1＝(　　)A．－1＋3i　B．－1－3iC．－13+33i　D．－13-33i(2)已知复数z＝1＋2i1-i，则1＋z＋z2＋…＋z2024＝________．考点三　复数的几何意义[典例3]　(1)(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　)A．第一象限　　　　　B．第二象限C．第三象限　D．第四象限(2)(多选)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，则下列结论正确的是(　　)A．点P0的坐标为(1，2)B．复数z0的共轭复数在复平面内对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z在复平面内对应的点Z在一条直线上D．点P0与z复平面内对应的点Z间的距离的最小值为22[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5/5 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[跟进训练]3．(1)(2023·江西五市九校联考)若复数z满足|z－2i|＝1，则|z|的最大值为(　　)A．1　　B．3C．2　　D．3(2)(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________．5/5