2025年高考数学一轮讲义第3章 第4课时　利用导数证明不等式

第4课时　利用导数证明不等式考点一　移项构造法证明不等式[典例1]　(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a＞0时，f(x)＞2lna＋32.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一般地，待证不等式的两边含有同一个变量时，可以直接构造“左减右”(或“右减左”)的函数，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值进行证明．提醒：对复杂的式子可以先进行变形，再移项构造函数进行证明．[跟进训练]1．证明：当x∈[0，2]时，x2e2x-2≥－2x2＋8x－5.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点二　隔离分析法证明不等式[典例2]　设函数f(x)＝aexlnx＋bex-1x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)求证：f(x)>1.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3/3 　在同时含lnx与ex的不等式证明中，常采用把对数单独分离的方式，把待证不等式分离．如本例中直接构造函数，求导运算比较复杂，此时把指数与对数分离两边，构造两个函数，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．[跟进训练]2．已知函数f(x)＝xlnx－ax.(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1＞1ex+1-2e2x成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点三　放缩法证明不等式[典例3]　(12分)设函数f(x)＝ex＋asinx＋b(a，b为实数)，且曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为x－y－1＝0.(1)求a，b的值；(2)求证：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＞lnx.[规范解答]　(1)f′(x)＝ex＋acosx，且f(0)＝1＋b.由题意得f′(0)＝e0＋a＝1⇒a＝0.···················2分又点(0，1＋b)在切线x－y－1＝0上，所以0－1－b－1＝0⇒b＝－2.···················4分(2)证明：由(1)知f(x)＝ex－2.先证：ex－2＞x－1，↓关键点1：想到ex＞x+1即ex－x－1＞0(x＞0)，令g(x)＝ex－x－1(x＞0)，则g′(x)＝ex－1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故g(x)＞g(0)＝0，即ex－2＞x－1．　①················7分再证：x－1≥lnx(x＞0)，3/3 ↓关键点2：想到x-1≥lnx即x－1－lnx≥0(x＞0)，令φ(x)＝x－1－lnx(x＞0)，则φ′(x)＝1－1x＝x-1x，······················9分故φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则φ(x)min＝φ(1)＝0，即x－1－lnx≥0，所以x－1≥lnx.　②·······················11分由①②得ex－2＞lnx，即f(x)＞lnx在(0，＋∞)上恒成立．···············12分　导数的综合应用题中，最常见的就是ex和lnx与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以先对ex和lnx进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负．常见的放缩不等式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；(3)当x≥0时，ex≥1＋x＋12x2，当且仅当x＝0时取等号；(4)当x≥0时，ex≥e2x2＋1，当且仅当x＝0时取等号；(5)x-1x≤lnx≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号．提醒：用这些切线不等式放缩时，必须先证明不等式成立，再利用其解题．[跟进训练]3．已知函数f(x)＝lnx＋1x－1.(1)求函数f(x)的最小值；(2)当x∈(0，π)时，证明：ex＞(1－lnx)sinx.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3/3