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2025年高考数学一轮讲义第1章 第4课时 基本不等式
2025年高考数学一轮讲义第1章 第4课时 基本不等式
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第4课时 基本不等式[考试要求] 1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用.1.基本不等式:ab≤a+b2(1)基本不等式成立的条件:______________.(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号.(3)其中,__叫做正数a,b的算术平均数,__叫做正数a,b的几何平均数.2.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,则(1)x+y≥2xy,若xy等于定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值___(简记:积定和最小).(2)xy≤x+y22,若x+y等于定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值___(简记:和定积最大).提醒:利用基本不等式求最值应满足三个条件:“一正、二定、三相等”.[常用结论]几个重要的不等式1a2+b2≥2aba,b∈R;2ba+ab≥2a,b同号且均不为零;3ab≤a+b22a,b∈R;4a+b22≤a2+b22a,b∈R.当且仅当a=b时等号成立.一、易错易混辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的.( )(2)若a>0,则a3+1a2的最小值为2a.( )5/5 (3)函数f(x)=sinx+4sinx,x∈(0,π)的最小值为4.( )(4)“x>0且y>0”是“xy+yx≥2”的充要条件.( )二、教材经典衍生1.(人教A版必修第一册P45例2改编)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为( )A.80 B.77 C.81 D.822.(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x>2,则x+1x-2的最小值是( )A.1 B.2C.22 D.43.(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a,b∈R,则下列不等式成立的是( )A.ba+ab≥2 B.ab≤a2+b22C.a2+b22≥a+b22 D.2aba+b≤ab4.(人教A版必修第一册P46例3(2)改编)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,当这个矩形的长为________m,宽为________m时,菜园面积最大.考点一 利用基本不等式求最值 配凑法[典例1] (1)(2024·河北衡水模拟)若x<23,则函数f(x)=3x+1+93x-2有( )A.最大值0 B.最小值9C.最大值-3 D.最小值-3(2)函数y=x2+2x-1(x>1)的最小值为________.[听课记录] 常数代换法5/5 [典例2] 已知x,y都是正数,且x+y=1,则1x+4y的最小值为________;1x+xy的最小值为________.[听课记录] 消元法[典例3] 已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为________.[听课记录] 1.利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式,常用手段有添加项、拆项、调整参数、分离参数等.2.常数代换法,主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求ax+by的最值”的问题,先将ax+by转化为ax+by·x+yt,再用基本不等式求最值.3.当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,最后利用基本不等式求最值.4.构建目标式的不等式求最值,在既含有和式又含有积式的等式中,对和式或积式利用基本不等式,构造目标式的不等式求解.[跟进训练]1.(1)(多选)(2024·河北沧州模拟)下列函数中,函数的最小值为4的是( )A.y=x(4-x)B.y=x2+9x2+5C.y=1x+11-x(0<x<1)D.y=x+4x(2)(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知x>0,y>0,且xy+x-2y=4,则2x+y的最小值是( )A.4 B.5 5/5 C.7 D.9(3)若实数x>1,y>12且x+2y=3,则1x-1+12y-1的最小值为________.[听课记录] 考点二 基本不等式的常见变形应用[典例4] (多选)(2023·广东汕头三模)若a>0,b>0,a+b=4,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是( )A.ab≤2 B.a+b≤2C.a23+b2≥4 D.1a+1b≥1[听课记录] 基本不等式的常见变形(1)ab≤a+b22≤a2+b22(a∈R,b∈R).(2)21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(a>0,b>0).[跟进训练]2.(1)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x,y满足x2+y2-xy=1,则( )A.x+y≤1 B.x+y≥-2C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1(2)当12<x<52时,函数y=2x-1+5-2x的最大值为________.考点三 基本不等式的实际应用[典例5] (2024·山东威海期末)某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池,其平面图如图所示.每个育苗池的底面面积为200m2,深度为2米,育苗池的四周均设计为2米宽的甬路.设育苗池底面的一条边长为xm(10≤x≤20),甬路的面积为Sm2.5/5 (1)求S与x之间的函数关系式;(2)已知育苗池四壁的造价为200元/平方米,池底的造价为600元/平方米,甬路的造价为100元/平方米,若不考虑其他费用,求x为何值时,总造价最低,并求最低造价.[听课记录] 利用基本不等式解决实际问题的注意点(1)设变量时,一般把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)解题时,一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响.(3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解,如利用f(x)=x+ax(a>0)的单调性.(4)在实际问题中利用基本不等式求最值,必须指明等号成立的条件.[跟进训练]3.(1)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”,“道路容量”与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路1h通过的车辆数N满足关系N=1000v0.7v+0.3v2+d0,其中d0(单位:m)为安全距离,v为车速(m/s).当安全距离d0取30m时,该道路1h“道路容量”的最大值约为( )A.135 B.149 C.165 D.195(2)(2023·浙江温州三模)某公司计划租地建仓库,已知每月土地费用与仓库到车站的距离成反比,每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.经测算,若在距离车站10km处建仓库,则每月的土地费用与运输费用分别为2万元和8万元.要使每月的两项费用之和最小,仓库和车站的距离应为( )A.4km B.5kmC.6km D.7km5/5
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所属:
高考 - 一轮复习
发布时间:2024-10-01 12:20:02
页数:5
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文章作者:180****8757
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