2025年高考数学一轮讲义第1章 第4课时　基本不等式

第4课时　基本不等式[考试要求]　1．了解基本不等式的推导过程.2．会用基本不等式解决简单的最值问题.3．理解基本不等式在实际问题中的应用．1．基本不等式：ab≤a+b2(1)基本不等式成立的条件：______________．(2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号．(3)其中，__叫做正数a，b的算术平均数，__叫做正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，则(1)x＋y≥2xy，若xy等于定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值___(简记：积定和最小)．(2)xy≤x+y22，若x＋y等于定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值___(简记：和定积最大)．提醒：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．[常用结论]几个重要的不等式1a2+b2≥2aba，b∈R；2ba+ab≥2a，b同号且均不为零；3ab≤a+b22a，b∈R；4a+b22≤a2+b22a，b∈R．当且仅当a＝b时等号成立．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的．(　　)(2)若a>0，则a3＋1a2的最小值为2a．(　　)5/5 (3)函数f(x)＝sinx＋4sinx，x∈(0，π)的最小值为4．(　　)(4)“x＞0且y＞0”是“xy+yx≥2”的充要条件．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P45例2改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)A．80　　B．77　C．81　　D．822．(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x>2，则x＋1x-2的最小值是(　　)A．1　B．2C．22　D．43．(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　)A．ba+ab≥2　B．ab≤a2+b22C．a2+b22≥a+b22　D．2aba+b≤ab4．(人教A版必修第一册P46例3(2)改编)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，当这个矩形的长为________m，宽为________m时，菜园面积最大．考点一　利用基本不等式求最值　配凑法[典例1]　(1)(2024·河北衡水模拟)若x<23，则函数f(x)＝3x＋1＋93x-2有(　　)A．最大值0　　　　B．最小值9C．最大值－3　D．最小值－3(2)函数y＝x2+2x-1(x>1)的最小值为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　常数代换法5/5 [典例2]　已知x，y都是正数，且x＋y＝1，则1x+4y的最小值为________；1x+xy的最小值为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　消元法[典例3]　已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式，常用手段有添加项、拆项、调整参数、分离参数等．2．常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求ax+by的最值”的问题，先将ax+by转化为ax+by·x+yt，再用基本不等式求最值．3．当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．4．构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解．[跟进训练]1．(1)(多选)(2024·河北沧州模拟)下列函数中，函数的最小值为4的是(　　)A．y＝x(4－x)B．y＝x2+9x2+5C．y＝1x+11-x(0＜x＜1)D．y＝x+4x(2)(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是(　　)A．4　　B．5　5/5 C．7　　D．9(3)若实数x>1，y>12且x＋2y＝3，则1x-1+12y-1的最小值为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点二　基本不等式的常见变形应用[典例4]　(多选)(2023·广东汕头三模)若a＞0，b＞0，a＋b＝4，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是(　　)A．ab≤2　B．a+b≤2C．a23＋b2≥4　D．1a+1b≥1[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　基本不等式的常见变形(1)ab≤a+b22≤a2+b22(a∈R，b∈R)．(2)21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(a>0，b>0)．[跟进训练]2．(1)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　)A．x＋y≤1　B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2　D．x2＋y2≥1(2)当12＜x＜52时，函数y＝2x-1+5-2x的最大值为________．考点三　基本不等式的实际应用[典例5]　(2024·山东威海期末)某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如图所示．每个育苗池的底面面积为200m2，深度为2米，育苗池的四周均设计为2米宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为xm(10≤x≤20)，甬路的面积为Sm2.5/5 (1)求S与x之间的函数关系式；(2)已知育苗池四壁的造价为200元/平方米，池底的造价为600元/平方米，甬路的造价为100元/平方米，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低造价．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用基本不等式解决实际问题的注意点(1)设变量时，一般把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)解题时，一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f(x)＝x＋ax(a＞0)的单调性．(4)在实际问题中利用基本不等式求最值，必须指明等号成立的条件．[跟进训练]3．(1)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，“道路容量”与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路1h通过的车辆数N满足关系N＝1000v0.7v+0.3v2+d0，其中d0(单位：m)为安全距离，v为车速(m/s)．当安全距离d0取30m时，该道路1h“道路容量”的最大值约为(　　)A．135　　B．149　　C．165　　D．195(2)(2023·浙江温州三模)某公司计划租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．经测算，若在距离车站10km处建仓库，则每月的土地费用与运输费用分别为2万元和8万元．要使每月的两项费用之和最小，仓库和车站的距离应为(　　)A．4km　B．5kmC．6km　D．7km5/5